必修 第二册第9章 平面向量本章综合与测试学案设计

这是一份必修 第二册第9章 平面向量本章综合与测试学案设计，共9页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是eq \f(a,|a|)．
A．3 B．2 C．1 D．0
D [根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是eq \f(a,|a|)或－eq \f(a,|a|)，故④也是错误的．]
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
D [2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．]
3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \r(3)eq \(BD,\s\up7(→))，|eq \(AD,\s\up7(→))|＝1，则eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝( )
A．2eq \r(3) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \r(3)
D [设|eq \(BD,\s\up7(→))|＝x，则|eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(3)x，
eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→)))·eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))
＝|eq \(BC,\s\up7(→))|·|eq \(AD,\s\up7(→))|cs∠ADB＝eq \r(3)x·1·eq \f(1,x)＝eq \r(3)．]
4 ．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝0，则( )
A．eq \(AO,\s\up7(→))＝2eq \(OD,\s\up7(→)) B．eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(OD,\s\up7(→))
C．eq \(AO,\s\up7(→))＝3eq \(OD,\s\up7(→)) D．2eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(OD,\s\up7(→))
B [因为D为BC的中点，所以eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝2eq \(OD,\s\up7(→))．
所以2eq \(OA,\s\up7(→))＋2eq \(OD,\s\up7(→))＝0，所以eq \(OA,\s\up7(→))＝－eq \(OD,\s\up7(→))，所以eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(OD,\s\up7(→))．]
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)，\f(7,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(7,9))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))
D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x，2＋y)，a＋b＝(3，－1)，
由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22＋y＋3x＋1＝0，,3x－y＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(7,9)，,y＝－\f(7,3)，))即c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))．]
6．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为( )
A．6 N B．2 N C．2eq \r(5) N D．2eq \r(7)N
D [由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cs 60°＝22＋42＋2×2×4×eq \f(1,2)＝28，所以|F3|＝2eq \r(7) N．]
7．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，则m－n的值为( )
A．－eq \f(1,3) B．0 C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
A [eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(BO,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(→))，所以m－n＝－eq \f(1,3)．故选A．]
8．已知A(1，－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9，1) B．(9，－1)
C．(9，1) D．(－9，－1)
C [设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(AC,\s\up7(→))．
因为eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))－(1，－3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(7,2)))，
eq \(AC,\s\up7(→))＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－eq \f(7,2)(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，经检验可知点(9，1)符合要求．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(CD,\s\up7(→))＝b
AB [对于A，∵向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，∴a＝eq \f(2,7)e，b＝－eq \f(8,7)e ，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，要使非零向量a，b是共线向量，由向量共线定理即可证明，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)如果x＝y＝0则不能使a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a ，eq \(CD,\s\up7(→))＝b，如果AB，CD是梯形的上下底，则正确，否则错误；故选AB．]
10．如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有( )
A．eq \(OA,\s\up7(→))＋2eq \(OB,\s\up7(→)) B．eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))
C．eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→)) D．eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,5)eq \(OB,\s\up7(→))
AB [依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F(图略)，则有eq \(OE,\s\up7(→))＝λeq \(OF,\s\up7(→))＝λ[xeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up7(→))]＝λxeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－x)λeq \(OB,\s\up7(→))，其中01，注意到λx＋(1－x)λ＝λ>1；注意到1＋2＝3>1，eq \f(3,4)＋eq \f(1,3)>eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)＝1，eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6)<1，eq \f(3,4)＋eq \f(1,5)＝eq \f(19,20)<1，故选AB．]
11．如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→)) B．eq \(MC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(→))
C．eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(→)) D．eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))
ABD [eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))，A正确；
eq \(MC,\s\up7(→))＝eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up7(→))－\(AC,\s\up7(→))))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(→))，B正确；
eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DN,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(→))，C错误；eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＝－eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))，D正确．故选ABD．]
12． △ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足eq \(AB,\s\up7(→))＝3a，eq \(AC,\s\up7(→))＝3a＋b，则下列结论中正确的有( )
A．a为单位向量 B．b∥eq \(BC,\s\up7(→))
C．a⊥b D．eq (6a＋b)⊥eq \(BC,\s\up7(→))
ABD [对于A，∵eq \(AB,\s\up7(→))＝3a，∴a＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))))＝1，A正确；
对于B，∵eq \(AC,\s\up7(→))＝3a＋b＝eq \(AB,\s\up7(→))＋b，∴b＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，∴b∥eq \(BC,\s\up7(→))，B正确；
对于C，a·b＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)×32×cseq \f(2π,3)≠0，所以a与b不垂直，C错误；
对于D，eq (6a＋b)·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))＋\(AC,\s\up7(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up7(→))－\(AB,\s\up7(→))))＝eq \(AC,\s\up7(→))2－eq \(AB,\s\up7(→))2＝0，所以eq (6a＋b)⊥eq \(BC,\s\up7(→))，D正确．
故选ABD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．
8 [向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，a⊥b，则a·b＝0，－4×6＋3m＝0，m＝8．]
14．已知点A(2，5)，B(3，－2)，则向量eq \(AB,\s\up7(→))＝________，与向量eq \(AB,\s\up7(→))同向的单位向量为________．(本题第一空2分，第二空3分)
(1，－7) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),10)，－\f(7\r(2),10))) [由向量的坐标定义，可知，eq \(AB,\s\up7(→))＝(3－2，－2－5)＝(1，－7)．
∵|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(12＋－72)＝5eq \r(2)．∴与向量eq \(AB,\s\up7(→))同向的单位向量为：eq \f(\(AB,\s\up7(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→)))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5\r(2))，－\f(7,5\r(2))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),10)，－\f(7\r(2),10)))．]
15．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝________．
2 [法一：eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up7(→))))·(eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))＝eq \(AD,\s\up7(→))2－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))2＝22－eq \f(1,2)×22＝2．
法二：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)．
∴eq \(AE,\s\up7(→))＝(1，2)，eq \(BD,\s\up7(→))＝(－2，2)．
从而eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2．]
16．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量eq \(MN,\s\up7(→))的模为________．
8eq \r(2) [∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，
∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，
∴eq \(MN,\s\up7(→))＝(y－x，x－y)＝(－8，8)，∴|eq \(MN,\s\up7(→))|＝8eq \r(2)．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(1，－1)．
(1)求证：(a－b)⊥(a－c)垂直；
(2)若a＋λb与c是共线向量，求实数λ的值．
[解] (1)证明：因为a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(1，－1)，
所以a－b＝(4，－1)，a－c＝(1，4)．
从而(a－b)·(a－c)＝4×1＋(－1)×4＝0，
且(a－b)与(a－c)均为非零向量，
所以(a－b)⊥(a－c)垂直．
(2)因为a＝(2，3)，b＝(－2，4)，所以a＋λb＝(2－2λ，3＋4λ)，
又c＝(1，－1)，且a＋λb与c是共线向量，
所以(2－2λ)×(－1)－(3＋4λ)×1＝0，
解得λ＝－eq \f(5,2)．
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up7(→))－teq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(OC,\s\up7(→))＝0，求t的值．
[解] (1)由题设，知eq \(AB,\s\up7(→))＝(3，5)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(－1，1)，则eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝(2，6)，eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))＝(4，4)．
所以|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))|＝4eq \r(2)．故所求的两条对角线长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10)．
(2)由题设，知eq \(OC,\s\up7(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up7(→))－teq \(OC,\s\up7(→))＝(3＋2t，5＋t)．
由(eq \(AB,\s\up7(→))－teq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(OC,\s\up7(→))＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－eq \f(11,5)．
19．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，eq \(OP,\s\up7(→))＝x·eq \(OA,\s\up7(→))＋y·eq \(OB,\s\up7(→))．
(1)若eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))，求x，y的值；
(2)若eq \(BP,\s\up7(→))＝3eq \(PA,\s\up7(→))，|eq \(OA,\s\up7(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2，且eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为60°时，求eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))的值．
[解] (1)∵eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))，∴eq \(BO,\s\up7(→))＋eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(PO,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→))，即2eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→))，
∴eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))，即x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)．
(2)∵eq \(BP,\s\up7(→))＝3eq \(PA,\s\up7(→))，
∴eq \(BO,\s\up7(→))＋eq \(OP,\s\up7(→))＝3eq \(PO,\s\up7(→))＋3eq \(OA,\s\up7(→))，即4eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋3eq \(OA,\s\up7(→))，
∴eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(→))．∴x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)．
∴eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(OA,\s\up7(→))＋\f(1,4)\(OB,\s\up7(→))))·(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))－eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))
＝eq \f(1,4)×22－eq \f(3,4)×42＋eq \f(1,2)×4×2×eq \f(1,2)
＝－9．
20．(本小题满分12分)设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得eq \f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2|·|e1＋te2|)＜0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0．
整理得：2teeq \\al(2,1)＋(2t2＋7)e1·e2＋7teeq \\al(2,2)＜0．(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°．
∴e1·e2＝2×1×cs 60°＝1．
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7＜0．
解得－7＜t＜－eq \f(1,2)．
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)．
对比系数得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2t＝λ，,7＝λt,λ＜0，))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\r(14)，,t＝－\f(\r(14),2).))
∴所求实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2)))．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，已知A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，AD⊥BC于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)求证：AD2＝BD·DC．
[解] (1)设D点坐标为(x，y)，
则eq \(AD,\s\up7(→))＝(x－2，y－4)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(5，5)，eq \(BD,\s\up7(→))＝(x＋1，y＋2)．
因为AD⊥BC，所以eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝0，
即5(x－2)＋5(y－4)＝0．
所以x＋y＝6．①
又因为B，D，C三点共线，
所以eq \(BD,\s\up7(→))∥eq \(BC,\s\up7(→))，
所以5(x＋1)－5(y＋2)＝0，
所以x－y＝1．②
联立①②，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,2)，,y＝\f(5,2)，))所以点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，\f(5,2)))．
(2)证明：因为eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，
eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，\f(9,2)))，eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，
所以|eq \(AD,\s\up7(→))|2＝eq \f(9,4)＋eq \f(9,4)＝eq \f(9,2)，
|eq \(BD,\s\up7(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))\s\up12(2))＝eq \f(9\r(2),2)，
|eq \(DC,\s\up7(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)，
从而|eq \(BD,\s\up7(→))|·|eq \(DC,\s\up7(→))|＝eq \f(9\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(9,2)．
故|eq \(AD,\s\up7(→))|2＝|eq \(BD,\s\up7(→))|·|eq \(DC,\s\up7(→))|，即AD2＝BD·DC．
22．(本小题满分12分)已知A(－1，0)，B(0，2)，C(－3，1)，eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝5，eq \(AD,\s\up7(→))2＝10．
(1)求D点坐标；
(2)若D点在第二象限，用eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))表示eq \(AC,\s\up7(→))；
(3)若eq \(AE,\s\up7(→))＝(m，2)，3eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))与eq \(AE,\s\up7(→))垂直，求eq \(AE,\s\up7(→))的坐标．
[解] (1)设D(x，y)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(1，2)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(x＋1，y)．
由题得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))·\(AD,\s\up7(→))＝x＋1＋2y＝5，,\(AD,\s\up7(→))2＝x＋12＋y2＝10，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4，,x＋12＋y2＝10.))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
∴D点坐标为(－2，3)或(2，1)．
(2)∵D点在第二象限，
∴由(1)知D(－2，3)．
∴eq \(AD,\s\up7(→))＝(－1，3)．
∵eq \(AC,\s\up7(→))＝(－2，1)，
设eq \(AC,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))＋neq \(AD,\s\up7(→))，则(－2，1)＝m(1，2)＋n(－1，3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝m－n，,1＝2m＋3n，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝1.))
∴eq \(AC,\s\up7(→))＝－eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))．
(3)∵3eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝3(1，2)＋(－2，1)＝(1，7)，eq \(AE,\s\up7(→))＝(m，2)，(3eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))·eq \(AE,\s\up7(→))＝0，
∴m＋14＝0，
∴m＝－14．
∴eq \(AE,\s\up7(→))＝(－14，2)．