专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）(解析版)

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专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）
【知识总结】
1．f(x)在D上单调递增(减)，只要f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系。
2．二次函数在区间D上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。
【例题讲解】
【例1】　(1)若函数y＝sin2x＋acosx在区间(0，π)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
(2)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是减函数，则a的取值范围是________。
解析　(1)y′＝cos2x－asinx≥0在(0，π)上恒成立，即a≤＝在(0，π)上恒成立。令t＝sinx∈(0,1]，g(t)＝＝－2t，t∈(0,1]，易知函数g(t)在(0,1]上单调递减，所以g(t)min＝g(1)＝－1，所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]。
(2)f′(x)＝[x2－2(a－1)x－2a]·ex，因为f(x)在[－1,1]上是减函数，所以f′(x)≤0对x∈[－1,1]恒成立，所以x2－2(a－1)x－2a≤0对x∈[－1,1]恒成立。设g(x)＝x2－2(a－1)x－2a，所以所以解得a≥。
答案　(1)A　(2)a≥
【变式训练】　已知函数f(x)＝lnx＋ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________。
解析　f′(x)＝＋ax－2＝(x>0)，函数f(x)存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax2－2x＋1≤0，等价于a小于在x∈(0，＋∞)上的最大值，设g(x)＝，则g′(x)＝，可知，函数g(x)在区间(0,1)上为增函数，在区间(1，＋∞)上为减函数，所以当x＝1时，函数g(x)取得最大值，此时g(x)＝1，所以a<1，故填(－∞，1)。
答案　(－∞，1)
【例题训练】
1．设函数．
（1）当时，讨论在内的单调性；
（2）当时，证明：有且仅有两个零点．
【答案】（1）在或上单调递减，在或上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．
【详解】
（1）当时，，
，
令，解得或，，
当时，解得或，当时，解得或，
在，或，上单调递减，在或上单调递增；
（2）的定义域为，
，
为偶函数，
，
有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点，
，
当时，，恒成立，
在上单调递减，
，
，
在上有且只有一个零点，
当时，令，即，
可知存在唯一，使得，
当或时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
由，，可得，
当，，
，
在上有且只有一个零点，
综上所述，当时，有且仅有两个零点．
【点睛】
方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先求导，分为，，和四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）等价于，令，利用当时的结论，根据导数判断与0的关系，即可证明.
【详解】
解：的定义域为，
则，
当时，，当时，，当时，，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，令，解得或，
当时，恒成立，
函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，，
当或时，，当，时，，
函数的单调递减区间为或，单调递增区间为，，
当，，
当或，时，，当时，，
函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
综上所述：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
当时，函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
（2） 证明：要证，即证，
令，
则，
由（1），当时，，
可得的单调递减区间为，单调递增区间为，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
（1），
在上单调递增，
（1），
当时，，，
当时，，，
，
即．
【点睛】
含有参数的函数单调性讨论常见的形式：
（1）对二次项系数的符号进行讨论；
（2）导函数是否有零点进行讨论；
（3）导函数中零点的大小进行讨论；
（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.
3．已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值；
（2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1）当时，，所以，，列表；









单调递减
极小
单调递增
所以，在区间上的有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，.
当时，，从而，故函数在上单调递减；
当时，若，则，从而；
若，则，从而.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【点睛】
方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：
（1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；
（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.
4．已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若，证明：．
【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）对函数进行求导得，再对分三种情况讨论，即，，三种情况；
（2）要证明，只需证明，而，因此只需证明，再利用函数的单调性，即可得证；
【详解】
解析：（1）因为，
①当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，
当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减；
③当时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．
（2）要证明，只需证明，
而，因此只需证明，
当时，，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以；
当时，，
故．
【点睛】
利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.
5．已知函数，a为非零常数.
（1）求单调递减区间；
（2）讨论方程的根的个数.
【答案】（1）当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；（2）当时，原方程有且仅有一个解；当时，原方程有两个解.
【分析】
（1）求导，对分类讨论，利用可解得结果；
（2）转化为函数与的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.
【详解】
（1），
由得，
①若时，由得，所以的单调递减区间为；
②若时，由得，所以的单调递减区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为.
（2）因为方程等价于，令，
所以方程的根的个数等于函数与的图象的交点的个数，
因为，
由，得，
当，时，，在上单调递增；
当时，，所以在，上单调递减，
又，
所以当时，；
当时，；
当时，.

所以，当时，原方程有且仅有一个解；
当时，原方程有两个解.
【点睛】
方法点睛：讨论函数零点或方程根的个数的常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
6．已知函数，.
（1）判断函数的单调性；
（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）存在，；（3）证明见解析.
【分析】
（1）先求，再对求导，对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；
（2）对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；
（3）先构造函数，证明其小于零，即得时，再将代入求和即证结论.
【详解】
解：（1）由，知，，故，.
当时，，即在为减函数，
当时，在上，所以在为减函数，
在上，所以在增函数.
（2）当时，在为减函数，所以.故不存在最小值3.
当时，，在为减函数，所以
，所以，不合题意，舍去
当时，在上，函数单调递减；在上，函数单调递增，由此，所以.解得
故时，使函数的最小值为2.
（3）构造函数，则，
故在上递减，，故，
即时，而，故，即，将依次代入并相加得
，即.
【点睛】
本题解题关键在于观察证明式，构造函数，以证明，将代入求和即突破难点.用导数解决与正整数n有关的不等式证明问题，属于难点，突破点就在于观察构造合适的函数，通过导数证明不等式，再将关于n 的式子代入即可.
7．已知函数，.
（1）判断函数的单调性；
（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）答案见解析；（2）存在，.
【分析】
（1）先求，再对求导，对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；
（2）对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；
【详解】
（1）由，知，，故 .
当时，，即在为减函数，
当时，在上，所以在为减函数，
在上，所以在增函数.
（2）当时，在为减函数，所以.故不存在最小值3.
当时，，在为减函数，所以
，所以，不合题意，舍去.
当时，，在上，函数单调递减；在上，函数单调递增，由此，
所以.解得，
故时，使函数的最小值为2.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性和最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，讨论不等式何时和③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.
8．已知函数.
（1）讨论函数的单调性.
（2）若，设是函数的两个极值点，若，求证:.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求得的定义域和导函数，对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）求得的表达式，求得，利用根与系数关系得到的关系式以及的取值范围，将表示为只含的形式，利用构造函数法求得的最小值，从而证得不等式成立.
【详解】
(1)由题意得，函数的定义域为，.
当时，，
函数在上单调递增.
当时，令，得.
若，则，此时函数单调递增；
若，则，此时函数单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)，，
.
由得，
，，.
，，
，解得.
.
设，
则，
函数在上单调递减.
当时，.
时，成立.
【点睛】
求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.
9．已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间，（2）证明见解析
【分析】
（1）先求出函数的定义域，再求导数，分和，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调区间；
（2）要证明，只要证，构造函数，然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明，只要证，构造函数，然后用导数求其最小值，构造函数，然后利用导数求其最大值，或要证明．
由于当时，，只要证，构造函数，令，，再利用导数求其最小值即可
【详解】
（1）解：的定义域为，．
当时，，则的增区间为，无减区间．
当时，由，得．
当时，；当时，，
所以的减区间为，增区间．
（2）证明：法一：要证明．
由于当时，，只要证．
设，则，，
所以在上是增函数．
又，，
所以存在，使得，即，．
所以当时，；当时，，
因此在上是减函数，在上是增函数，
所以有极小值，
且极小值为．
因此，即．
综上，当时，．
法二：要证明，只要证．
设，则．
当时，；当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以是的极小值点，也是最小值点，且．
令，则．
当时，；当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，
所以是的极大值点，也是最大值点，且，
所以当时，，即．
综上，当时，．
法三：要证明．
由于当时，，只要证．
设，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，即．
设，则．
当时，；当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，即．
综上，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
所以，
故当时，．
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题
10．已知函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）对任意，满足的图象与直线恒有且仅有一个公共点，求k的取值范围.
【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）或.
【分析】
（1）首先求函数的导数，分和两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程，转化为，构造函数，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据有唯一解，确定的取值范围.
【详解】
（1）
当时，恒有，所以在单调递增；
当时，令，则，则 ，
（舍去），
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）原命题等价于对任意， 有且仅有一解，
即；
令 则，，令得
所以在上递减，在上递增，

当时，，所以在R上单调递增，
又当时，，所以；
当时，，所以.
所以在R上必存在唯一零点，此时；
当时，，同时又当时，，
所以；当时，，所以.
所以方程存在两根，即
且，
所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为
要使有方程唯一解，必有或，
又，
又 ，则，，所以在递减，
且时，，所以；
同理，，在递增，
，所以.
综上可得，或.
【点睛】
思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.
11．设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）先对求导，对导函数分和两种情况讨论即可.
（2）因为函数在处取得最大值，所以，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.
【详解】
解：（1），
当时，，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，得或，
所以的单调递增区间为和
令，得，
所以的单调递减区间为.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）由题意得.
因为函数在处取得最大值，
所以，
即，
当时，显然成立.
当时，得，
即.
令，则，
恒成立，所以 是增函数，，
所以，即，
所以a的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.
12．已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；
（2原不等式化为：在上恒成立，设，，
求出函数的导数，再令，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【详解】
（1）
，，
令，则或，
当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
（2）原不等式化为：在上恒成立，
设，，
，令，则，
所以在上单调递增，，所以，
则函数在上单调递增，且，.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为在上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.
13．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作、，且，若，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）利用分析法得出所证不等式等价于，令，构造函数，其中，利用导数证明出对任意的恒成立，由此可证得原不等式成立.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，
方程的判别式.
①当时，，，在为增函数；
②当时，，方程的两根为，，
（i）当时，，对任意的，，在为增函数；
（ii）当时，，令，可得，令，可得.
所以，在为增函数，在为减函数.
综上所述：当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间为，减区间；
（2）证明：，所以，
因为有两极值点、，所以，，
欲证等价于要证：，即，
所以，
因为，，所以原不等式等价于要证明.
又，，作差得，，
所以原不等式等价于要证明，
令，，上式等价于要证，，
令，所以，
当时，，则，所以在上单调递增，因此，
在上恒成立，所以原不等式成立.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
14．已知实数，函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极值点，曲线在点､()处的切线分别为､，且､在y轴上的截距分别为､.若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，按照、分类，求得、的解集即可得解；
（2）由极值点的性质可得，由导数的几何意义可得、及，转化条件为，构造新函数结合导数即可得解.
【详解】
（1）由题意，，
，，∴，
①当，即时，，在上单调递减；
②当，即时，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）∵是的极值点，∴，即，
解得或（舍），
此时，，
方程为，
令，得，
同理可得，
，，整理得：，，
又，则，解得，
，
令，则，
设，则，
在上单调递增，
又，，，
即的取值范围为.
【点睛】
关键点点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，再构造新函数，结合导数即可得解.
15．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数在上恒成立，求证：.
【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；
（2）由题意求出，转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值，即可求解.
【详解】
（1）

若时，，在上单调递增；
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，解得 ，
所以，
由时，，可知在上恒成立
可化为在上恒成立，
设，
则，
设，则 ，
所以在上单调递增，
又，
所以方程有且只有一个实根，且
所以在上，， 单调递减，在上，单调递增，
所以函数的最小值为，
从而
【点睛】
关键点点睛：解答本题的难点在于得到后，不能求出的零点，需要根据的单调性及零点存在定理得到的大致范围，再利用的范围及证明不等式.
16．设，其中是不等于零的常数，
（1）写出的定义域；
（2）求的单调递增区间；
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由已知得出，解出可得的定义域；
（2）对函数求导，按，，和四种情况，分别求出函数的单调递增区间即可．
【详解】
（1）∵，∴
∴的定义域为
（2）
时，恒成立，在递增；
时，令，解得或，即函数的单调增区间为，
当即时，在递增
当即时，在递增