专题18 利用导数求函数的最值(解析版)

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专题18 利用导数求函数的最值
【知识总结】
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【例题讲解】
【例1】已知函数f(x)＝－lnx。
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)。
解　(1)f(x)＝－lnx＝1－－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)。
所以f′(x)＝－＝，
由f′(x)>0，得01，
所以f(x)＝1－－lnx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减。
(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝1－1－ln1＝0。
又f＝1－e－ln＝2－e，f(e)＝1－－lne＝－，且f 所以f(x)在上的最小值为f＝2－e。
所以f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e。

1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数在(a，b)内的极值；
第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值。
【变式训练】设函数f(x)＝lnx－2mx2－n(m，n∈R)。
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有最大值－ln2，求m＋n的最小值。
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－4mx＝，
当m≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m>0时，令f′(x)>0得0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减。
(2)由(1)知，当m≤0时，f(x)无最大值；
当m>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减。
所以f(x)max＝f＝ln－2m·－n＝－ln2－lnm－－n＝－ln2，
所以n＝－lnm－，
所以m＋n＝m－lnm－，
令h(x)＝x－lnx－(x>0)，
则h′(x)＝1－＝，
所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以h(x)min＝h＝ln2，
所以m＋n的最小值为ln2。
【例题训练】
一、单选题
1．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.
【详解】
，易知，当时，，当或时，，
所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，
，当时，，所以最大值为，解得.
故选：C
2．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]
【答案】B
【分析】
结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0 故选:B．
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.
3．已知函数，对于任意都有，则实数的最小值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
由题可得，只需满足即可.
【详解】
对于任意都有，即，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，
，，，
，即的最小值为4.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式化为，利用导数求最值即可.
4．设函数．当时（e为自然对数的底数），记的最大值为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．e D．
【答案】C
【分析】
由，分，，三种情况分别讨论出函数在上的单调性，从而求出的最大值，再根据的解析式求的最小值.
【详解】

当，即时，在时，，则
此时，在上恒成立,
所以在上单调递增，则
当，即时，在时，，则
所以在上单调递增，则
当，即时，
若，则，，此时单调递增
，则，，此时单调递增
又时，两段在处的函数值相等，所以在上单调递增
所以
综上所述可得：
由一次函数的单调性可得当时，有最小值
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值问题，解答本题的关键是打开绝对值得到，然后由时，，当时， ，时，，再由单调性得出最大值，属于中档题.
5．函数在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.
【详解】
对于函数，.
当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，.
故选：C.
【点睛】
利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
6．已知函数(为自然对数的底数)，则以下结论正确的为（ ）
A．函数仅有一个零点，且在区间上单调递增；
B．函数仅有一个零点，且在上单调递减，在递增；
C．函数有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；
D．函数有二个零点，且当时，取得最小值为.
【答案】D
【分析】
利用导数研究函数的单调性，然后可得最值及零点．
【详解】
是增函数，∴时，，递减，时，，递增，
显然，∴，又时，，∴在上也有一个零点，因此共有两个零点．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题用导数研究函数的单调性，研究函数的零点与最值．解题方法是求出导函数，确定导函数的零点与正负，从而得原函数的单调性与极值，得最值，利用零点存在定理确定零点的存在性．
7．函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．11 D．
【答案】A
【分析】
先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
由得，由得或；
又，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：
求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上的极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
根据体积公式用表示出，得出费用关于的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.
【详解】
解：由题意知，
故，
由可知.
∴ 建造费用，()，
则.
当时，，时，.
当时，该容器的建造费用最小.
故选：C.
【点睛】
本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.
9．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（ ）
①的解集是；
②是极大值，是极小值；
③没有最大值，也没有最小值；
④有最大值，没有最小值；
⑤有最小值，没有最大值.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
直接不等式可判断①；对函数求导，求函数的极值，可判断②；利用导数求函数的最值可判断③④⑤
【详解】
解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以①正确；
由，得，令，则，解得或，
当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以②错误；
因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值，所以有最大值，没有最小值，所以④正确，③⑤错误，
故选：B
【点睛】
此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题
10．函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对函数求导分析单调性即可求出函数的最值．
【详解】
解：因为，

，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，有最小值，又，
当时，有最小值，
且．
故选：C
【点睛】
本题解答的关键是利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值；

二、多选题
11．在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数；
B．在上为减函数，在上为增函数；
C．在上恒成立；
D．函数的最大值为.
【答案】ACD
【分析】
依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求值域可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，，，
对于A，函数是偶函数，是奇函数，故A正确；
对于B，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数在上为减函数，函数在为增函数，在为减函数，故B错误；
对于C，当时，
，故C正确；
对于D，函数，
求导，
令，则；令，则，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
当即，时，函数取得极大值，
又当即，时，，
所以函数取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
12．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．在内单调递增
B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4
C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D．和之间存在唯一的“隔离直线”
【答案】AD
【分析】
求出的导数，检验在内的导数符号，即可判断选项A；选项B、C可设、的隔离直线为，对一切实数x都成立，即有，又对一切都成立，，，，根据不等式的性质，求出、的范围，即可判断选项B、C；存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A：，，
当时，，
所以函数在内单调递增；故选项A正确
对于选项BC：设、的隔离直线为，则对一切实数x都成立，即有，即，又对一切都成立，则，即 ，，，，即有且，，
可得，同理可得：，故选项B不正确，故选项C不正确；
对于选项D：函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，即，由，可得
对于恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，
，当时，，当时，，当时，，则当时，取到极小值，极小值是，也是最小值.所以
，则当时恒成立.所以和之间存在唯一的“隔离直线”，故选项D正确.
故选：AD
【点睛】
本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.
三、解答题
13．已知函数，.
（1）判断函数的单调性；
（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）答案见解析；（2）存在，.
【分析】
（1）先求，再对求导，对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；
（2）对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；
【详解】
（1）由，知，，故 .
当时，，即在为减函数，
当时，在上，所以在为减函数，
在上，所以在增函数.
（2）当时，在为减函数，所以.故不存在最小值3.
当时，，在为减函数，所以
，所以，不合题意，舍去.
当时，，在上，函数单调递减；在上，函数单调递增，由此，
所以.解得，
故时，使函数的最小值为2.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性和最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，讨论不等式何时和③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.
14．已知函数在x=1处取得极值-6.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）求导，根据函数在x=1处取得极值-6，由求解.
（2）由（1）知，分别求得极值和端点的函数值求解.
【详解】
（1）由得：.
由题意知： 即
解得：
经检验符合题意.
（2）由（1）知，
令得：或，
当x变化时，的变化情况如下：
x
-2
(-2, 1)
1
(1, 2)
2


-
0
+


21
单调递减
-6
单调递增
5
由表可知：
【点睛】
方法点睛：（1）导数法求函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，再列方程求解参数．
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，两点，设点的横坐标为，的面积为.
（i）求证：；
（ii）当取得最小值时，求的值.
【答案】（1）的增区间为和；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【分析】
（1）求导，令，再利用导数法研究其正负即可.
（2）（i）设，(其中)，则的面积，即，由，得到，然后再由及，利用斜率公式得到求解；（ii）由（1）得到为增函数，则最小最小最小，令，再利用导数法求解.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
，
令，则.
因为；，
所以在上为减函数，在上为增函数.
当时，，即，
当时，，即.
所以当时，，
所以在区间和上都是增函数.
因此的增区间为和，没有减区间.
（2）（i）证明：，设(其中)，
由题意，得的面积，即.
由，得，
由及，得，
所以，
故成立.
（ii）由（1），得为增函数，
于是最小最小最小.
令，则，
再令，
则，
所以当时，单调递增.
又，，
所以存在唯一的，使得，即.
当时，，即；
当时，，即，
所以是的极小值点，也的最小值点，
所以当时，取得最小值，等价于最小，此时，
所以.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
16．已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值；
（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对函数进行求导得，易得在上恒成立，即可得答案；
（2）由题意得：恒成立，即在恒成立.构造函数
，利用导数求出函数的最小值即可；
【详解】
（1）当时，
显然在上恒成立，
所以在单调递减，
所以；
（2）因为，
所以恒成立，即在恒成立.
令；
则
当时，，所以
当时，令，因为，所以在
单调递减，所以，所以时，
综上，当时，恒成立，所以在单调递减，
所以，所以.
【点睛】
根据导数的正负研究函数的单调性；不等式恒成立问题，常用参变分离进行求解.
17．已知函数，.
（1）当时，求在上的最大值和最小值；
（2）若在上单调，求的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.
【分析】
（1）代入，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；
（2）先利用极限思想进行估值时，来确定在上单增，，再对分离参数，研究值得分布即得结果.
【详解】
（1）
当时，
∴在和上为正，在和上为负，
∴在和上单增，在和上单减，
有，，，
故在上的最大值为，最小值为；
（2）由知，当时，，
若在上单调则只能是单增，
∴在恒成立，即
∴，令，，则，
∴在递减，，∴.
【点睛】
（1）利用导数研究函数的最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.
（2）函数在区间I上递增，则恒成立；函数在区间I上递减，则恒成立.
（3）解决恒成立问题的常用方法：
①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.
18．已知直线与抛物线交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补．
（Ⅰ）求k的值．
（Ⅱ）求面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）设，利用斜率公式得到直线、、的斜率，根据直线、的倾斜角互补．得到，根据三角形的重心的坐标公式可得，从而可得；
（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可.
【详解】
（Ⅰ）设，
则，同理可得，
因为直线、的倾斜角互补，所以，
即，
又重心的纵坐标为，根据三角形的重心的坐标公式可得，
所以，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线，与抛物线方程联立，并整理得，
其判别式，所以．
而，
因此，，
又由（Ⅰ）知，，所以，所以，
到直线的距离为，
所以
令，
则恒成立，
故在上单调递减，所以，
故.
【点睛】
结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为，则三角形的重心的坐标为，
②弦长公式：，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.
19．某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y万元投入万元之间满足：（a，b为常数），当万元时，万元；当万元时，万元.（参考数据：）
（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）
（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）
（1）；（2）投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.
【分析】
（1）利用待定系数法求出，即可得答案；
（2）利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最值；
【详解】
（1）由已知得：，化简得：，
，则该景点改造升级后旅游增加利润为：
；
（2）由（1）得：
则，令得，
当时，单调递增；当单调递减；
时，取得最大值，且，
当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.
【点睛】
待定系数法求函数的解析式，一般是根据条件列出方程，再求参参数值；利用导数求函数的单调性，可求得函数的最值.
20．已知函数，
（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；
（2）若函数的最大值为，求实数的值；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）求出导函数，得切线斜率，得切线方程，与已知直线方程比较可得值，从而得；
（2）求出导函数，由和正负确定单调区间，得最大值，由最大值为5可求得值；
（3）不等式变形为即，令，即证．然后分类讨论，，和，分别证明即可得．
【详解】
（1）因为，所以，则，
点的坐标为，故切线方程为，
即，由于它与直线重合，所以，
解得，故．
（2）因为，所以，
由，解得，由，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，而，
所以，解得
（3）因为，即
即，令，即有．
①当时，，所以不合题意；
②当时，，
当时，，递减，当时，，递增．
所以当时，取得最小值，最小值为，从而，符合题意；
③当时，（放缩）；又由②知，符合题意；
综上，实数的取值范围为．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求最值，不等式恒成立问题，解题时要掌握用导数确定函数的单调性的方法，由此才能确定函数的极值、最值，对不等式问题常常需要变形不等式，然后转化，可能分离参数转化为求函数的最值，也可以分类讨论，利用不等式的性质转化．简化原不等式，得到问题的解决．
21．已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由在上有解可得的取值范围．
（2）求出，由在两个零点确定在上最小值是或，比较它们的大小得最小值，可得的零点．
【详解】
解：（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，
又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0，
而的最大值为，∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
则在，上单调递减，在上单调递增，
又∵当时，，，
∴在上的最大值点为，最小值为或，
而，
当，即时，，得，
此时，的零点为；
当，即时，，得（舍）.
综上的零点为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数与单调性关系，用导数求函数的最值，及零点的概念．求出导函数，解不等式（或）确定函数的增区间（或减区间）是求单调性的基本方法．求函数在闭区间上的最值，一般由单调性确定极值，同时考虑区间两个端点处的函数值的大小才能得出最值．
22．已知函数，，，且.
（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；
（3）设，为的导函数.若存在，使成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）调递增区间是，；单调递减区间是，；（3）.
【分析】
（1）先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数，，
（2）由（1）可得，再求出函数的导函数，利用令和求解函数的单调区间；
（3）将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．
【详解】
解：（1）函数的定义域为.
，由题知
即解得，，