专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小(原卷版)

专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小

【知识总结】

此类涉及已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解。

【例题讲解】

一、x与f(x)的组合函数

【例1】若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________。

【例2】π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，eπ，π3,3π，πe六个数中，最小的数与最大的数分别是(　　)

A．3e,3π B．3e，eπ

C．e3，π3 D．πe,3π

二、ex与f(x)的组合函数

【例1】已知f(x)(x∈R)有导函数，且∀x∈R，f′(x)>f(x)，n∈N*，则有(　　)

A．enf(－n)<f(0)，f(n)>enf(0)

B．enf(－n)<f(0)，f(n)<enf(0)

C．enf(－n)>f(0)，f(n)>enf(0)

D．enf(－n)>f(0)，f(n)<enf(0)

【例2】设a>0，b>0，e是自然对数的底数，则(　　)

A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b

B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a<b

C．若ea－2a＝eb－3b，则a>b

D．若ea－2a＝eb－3b，则a<b

【例题训练】

一、单选题

1．设则下列判断中正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．是定义在上的非负､可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（    ）

A． B．

C． D．

3．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（    ）

①，②，③，④

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

5．已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

7．上的函数满足：，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

8．若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知为定义在上的偶函数，其导函数为，对于任意的总有成立，则下列不等式成立的有（    ）

A． B．

C． D．

10．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

11．已知是定义在上的函数的导函数，且，当时，恒成立，则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（    ）.

A． B． C． D．

13．下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ）

A． B． C． D．

14．已知函数（）满足，且的导函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

15．已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

16．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

17．已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（    ）

A． B．

C． D．

18．设是定义域为R的函数的导函数，，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

19．已知函数，，若，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

20．已知函数f(x)(x∈R)满足，且的导数f′(x)>，则不等式的解集（    ）

A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－1，1)

21．设函数是定义在上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

22．已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

23．已知函数f（x）的定义域为R，且，则不等式解集为（    ）

A． B． C． D．

24．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

25．若函数，则（    ）

A．

B．

C．

D．

26．若，则（    ）

A．

B．

C．

D．

27．设是定义域为R的恒大于0的可导函数，且，则当时有（    ）

A． B．

C． D．

28．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

29．已知，，，其中，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

30．下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

31．已知数列{an}满足：0＜a1＜1，．则下列说法正确的是（    ）

A．数列{an}先增后减 B．数列{an}为单调递增数列

C．an＜3 D．

32．定义在上的函数的导函数为，且对恒成立.下列结论正确的是（    ）

A．

B．若，，则

C．

D．若，，则

33．已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．当时，

34．函数在定义域R内可导，若，且，若，则a，b，c的大小关系正确的有（    ）

A． B． C． D．

35．已知函且，，，则（    ）

A．为偶函数 B．在单调递增

C． D．

36．已知函数，若 ，则下列结论正确的是(    )

A．

B．

C．

D．当时，  

37．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

38．对于定义城为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

39．下列不等式正确的有（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

40．设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为_______.

41．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为_____

42．已知函数，下列结论中，

①函数的图象关于原点对称；

②当时，；

③若，则；

④若对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.

所有正确结论的序号为______.

43．已知函数满足，的导数，则不等式的解集为____.

44．已知函数定义在上的函数，若，当时，，则不等式的解集为__________

45．已知实数，且满足，则，，的大小关系是______．

46．已知定义在上的函数的导函数满足，则不等式的解集是____.

47．已知函数的定义域为，其导函数为，对任意，恒成立，且，则不等式的解集为________.

48．已知函数与的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为______________.

四、解答题

49．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；

（3）比较与的大小，并加以证明.

50．已知

当（其中是自然对数的底数），求的单调区间；

若既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.