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2020-2021学年北京市海淀实验中学八年级上学期期中数学试卷 （解析版）
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这是一份2020-2021学年北京市海淀实验中学八年级上学期期中数学试卷 （解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市海淀实验中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．a8÷a4＝a2 C．a3+a2＝a5 D．a2•a3＝a5
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
4．（3分）计算（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣2
5．（3分）已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，那么它的周长为（ ）
A．16 B．17 C．16或17 D．10或12
6．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
7．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
8．（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C（3，﹣1），则点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为（ ）
A．（3，1），（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1），（﹣3，﹣1）
C．（3，1），（1，3） D．（﹣3，﹣1），（3，1）
10．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
二、填空题（共8小题；共24分）
11．（3分）计算：（ab2）2÷（﹣ab）2＝ ．
12．（3分）等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为 ．
13．（3分）已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，则∠DAC的度数为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝12cm，则BC的长为 cm．
15．（3分）若x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为 ．
16．（3分）如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝ ．
17．（3分）教材中有如下一段文字：
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法 ．（填“正确”或“不正确”）
18．（3分）在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题．
已知：线段AB、线段AC，AB＞AC，在AB上求作点D，使△ACD的周长等于线段AB的长．
小左同学的作法如下：
（1）在线段AB上截取BE＝AC；
（2）连接CE，作线段CE的垂直平分线交AB于点D．
老师说：“小左同学的作法正确．”
请回答：小左同学的作图依据是 ．
三、解答题（共7小题：共46分，第19题10分，第20-22题，每题5分）.
19．（10分）计算：
（1）（4a3b+6a2b2﹣ab3）÷2ab．
（2）（3x+2）（2x2﹣x+1）．
20．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
21．（5分）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
22．（5分）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
23．（7分）如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20＝48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为 （直接写出结果）．
24．（7分）如图，已知等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．
（1）如图（1）当α＝15°时，
①按要求画出图形，
②求出∠ACD的度数，
③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；
（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为 ．
25．（7分）我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝ ，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝ ；（用含n的式子表示）
（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝ ．
参考答案
一、选择题（共10小题：共30分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．a8÷a4＝a2 C．a3+a2＝a5 D．a2•a3＝a5
解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；
故选：D．
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°＝360°×2
解得n＝6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
4．（3分）计算（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣2
解：（x﹣k）（x+3）
＝x2﹣kx+3x﹣3k
＝x2+（3﹣k）x﹣3k．
∵（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，
∴3﹣k＝0．
∴k＝3．
故选：B．
5．（3分）已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，那么它的周长为（ ）
A．16 B．17 C．16或17 D．10或12
解：当腰为6时，则三角形的三边长分别为6、6、5，满足三角形的三边关系，周长为17；
当腰为5时，则三角形的三边长分别为5、5、6，满足三角形的三边关系，周长为16；
综上可知，等腰三角形的周长为16或17．
故选：C．
6．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
解：如图，∵∠1＝60°，∠2＝45°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：A．
7．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°
又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B＝∠C＝60°，
∴OE＝OB•sin60°＝OB，同理OF＝OC．
∴OE+OF＝（OB+OC）＝BC．
在等边△ABC中，高h＝AB＝BC．
∴OE+OF＝h．
又∵等边三角形的高为2，
∴OE+OF＝2，
解法二：三角形ABC的面积等于三角形AOB的面积+三角形AOC的面积，三角形ABC是等边三角形，所以三个三角形是等底，高OF+高OE等于三角形ABC的高2．
故选：C．
8．（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a﹣b，即平行四边形的高为a﹣b，
∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2﹣b2，乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C（3，﹣1），则点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为（ ）
A．（3，1），（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1），（﹣3，﹣1）
C．（3，1），（1，3） D．（﹣3，﹣1），（3，1）
解：∵在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C（3，﹣1），
∴点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为（3，1），（﹣3，﹣1）．
故选：A．
10．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，
当B、P、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，
故选：A．
二、填空题（共8小题；共24分）
11．（3分）计算：（ab2）2÷（﹣ab）2＝ b2 ．
解：（ab2）2÷（﹣ab）2
＝a2b4÷a2b2
＝b2．
故答案为：b2．
12．（3分）等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为 ab＝0 ．
解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为ab＝0，
故答案为：ab＝0．
13．（3分）已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，则∠DAC的度数为 20° ．
解：∵∠B＝∠BAD＝40°，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝80°，
∴∠C＝∠ADC＝80°，
∴∠DAC＝180°﹣160°＝20°，
故答案为20°．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝12cm，则BC的长为 6 cm．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝12cm，
∴∠A＝∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
在Rt△BCD中，BC＝BD＝×12＝6cm．
故答案为：6．
15．（3分）若x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为 ﹣11或13 ．
解：∵x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，
∴m﹣1＝±12，
故m的值为﹣11或13，
故答案为：﹣11或13
16．（3分）如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝ 20 ．
解：∵a+b＝6，ab＝8，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣16＝20，
故答案为：20
17．（3分）教材中有如下一段文字：
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法 正确 ．（填“正确”或“不正确”）
解：小明的说法正确．
理由：如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．
∵∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACG＝∠DFH，
在△ACG和△DFH中，
，
∴△ACG≌△DFH，
∴AG＝DH，
在Rt△ABG和Rt△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF．
（当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似）．
故答案为正确．
18．（3分）在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题．
已知：线段AB、线段AC，AB＞AC，在AB上求作点D，使△ACD的周长等于线段AB的长．
小左同学的作法如下：
（1）在线段AB上截取BE＝AC；
（2）连接CE，作线段CE的垂直平分线交AB于点D．
老师说：“小左同学的作法正确．”
请回答：小左同学的作图依据是 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 ．
解：由作法得D点线段CE的垂直平分线上，
根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，
∴DE＝DC，
而BE＝AC，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+DE＝BE+AE＝AB．
故答案为线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．
三、解答题（共7小题：共46分，第19题10分，第20-22题，每题5分）.
19．（10分）计算：
（1）（4a3b+6a2b2﹣ab3）÷2ab．
（2）（3x+2）（2x2﹣x+1）．
解：（1）原式＝2a2+3ab﹣b2；
（2）原式＝6x3﹣3x2+3x+4x2﹣2x+2＝6x3+x2+x+2．
20．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
21．（5分）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，即x2﹣4x＝1，
∴原式＝4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2＝3x2﹣12x+9＝3（x2﹣4x）+9＝3+9＝12．
22．（5分）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5．
23．（7分）如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20＝48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 24 ．
（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为 976 （直接写出结果）．
解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12＝48﹣24＝24；
故答案为：24；
（2）定值为k2﹣1＝（k+1）（k﹣1）；
证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），
十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）＝x2﹣1﹣x2+k2＝k2﹣1，
故这个定值为k2﹣1＝（k+1）（k﹣1）；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，
根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）＝2015，
解得：a＝976．
故答案为：976．
24．（7分）如图，已知等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．
（1）如图（1）当α＝15°时，
①按要求画出图形，
②求出∠ACD的度数，
③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；
（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为 30°或52.5° ．
解：（1）①如图1：
②∵B、D关于AP对称，
∴AP垂直平分BD，a＝15°，
∴AD＝AB，∠1＝∠2＝15°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠1+∠2+∠BAC＝60°，
∵AC＝AB，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等边三角形
∴∠ACD＝60°．
③DE＝2BF，
证明：连接EB，
∵AP垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠3＝∠4，
∵AB＝AD，∠DAB＝30°，
∴∠ADB＝75°，
又∠ADC＝60°，
∴∠3＝∠4＝15°，
∴∠5＝30°，
又AD＝AC，AB平分∠DAC，
∴AB⊥DC，
∴EB＝2BF，
∴ED＝2BF．
（2）如图2，
∵AD＝AC，
∴△DAC是等腰三角形
∴∠ADC＝（180°﹣2a﹣30°）÷2＝75°﹣a，
∴∠AEF＝∠ADC+∠DAE＝75°﹣a+a＝75°，
当AE＝AF时，∠EAF＝a＝180°﹣75°×2＝180°﹣150°＝30°；
当AE＝EF时，∠EAF＝a＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°；
当EF＝AF时，∠AEF＝∠EAF＝a＝75°（舍去）．
故答案为：30°或52.5°．
25．（7分）我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝ 42 ，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝ n（n+1） ；（用含n的式子表示）
（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝ 99 ．
解：（1）如图所示：
（2）图4中a6＝6×7＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）；（用含n的式子表示）
（3）∵＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，
∴﹣＝，
解得n＝99．
故答案为：42，n（n+1）；99．
2020-2021学年北京市海淀实验中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．a8÷a4＝a2 C．a3+a2＝a5 D．a2•a3＝a5
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
4．（3分）计算（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣2
5．（3分）已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，那么它的周长为（ ）
A．16 B．17 C．16或17 D．10或12
6．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
7．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
8．（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C（3，﹣1），则点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为（ ）
A．（3，1），（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1），（﹣3，﹣1）
C．（3，1），（1，3） D．（﹣3，﹣1），（3，1）
10．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
二、填空题（共8小题；共24分）
11．（3分）计算：（ab2）2÷（﹣ab）2＝ ．
12．（3分）等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为 ．
13．（3分）已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，则∠DAC的度数为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝12cm，则BC的长为 cm．
15．（3分）若x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为 ．
16．（3分）如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝ ．
17．（3分）教材中有如下一段文字：
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法 ．（填“正确”或“不正确”）
18．（3分）在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题．
已知：线段AB、线段AC，AB＞AC，在AB上求作点D，使△ACD的周长等于线段AB的长．
小左同学的作法如下：
（1）在线段AB上截取BE＝AC；
（2）连接CE，作线段CE的垂直平分线交AB于点D．
老师说：“小左同学的作法正确．”
请回答：小左同学的作图依据是 ．
三、解答题（共7小题：共46分，第19题10分，第20-22题，每题5分）.
19．（10分）计算：
（1）（4a3b+6a2b2﹣ab3）÷2ab．
（2）（3x+2）（2x2﹣x+1）．
20．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
21．（5分）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
22．（5分）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
23．（7分）如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20＝48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为 （直接写出结果）．
24．（7分）如图，已知等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．
（1）如图（1）当α＝15°时，
①按要求画出图形，
②求出∠ACD的度数，
③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；
（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为 ．
25．（7分）我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝ ，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝ ；（用含n的式子表示）
（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝ ．
参考答案
一、选择题（共10小题：共30分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．a8÷a4＝a2 C．a3+a2＝a5 D．a2•a3＝a5
解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；
故选：D．
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°＝360°×2
解得n＝6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
4．（3分）计算（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣2
解：（x﹣k）（x+3）
＝x2﹣kx+3x﹣3k
＝x2+（3﹣k）x﹣3k．
∵（x﹣k）（x+3）的结果中不含x的一次项，
∴3﹣k＝0．
∴k＝3．
故选：B．
5．（3分）已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，那么它的周长为（ ）
A．16 B．17 C．16或17 D．10或12
解：当腰为6时，则三角形的三边长分别为6、6、5，满足三角形的三边关系，周长为17；
当腰为5时，则三角形的三边长分别为5、5、6，满足三角形的三边关系，周长为16；
综上可知，等腰三角形的周长为16或17．
故选：C．
6．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
解：如图，∵∠1＝60°，∠2＝45°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：A．
7．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°
又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B＝∠C＝60°，
∴OE＝OB•sin60°＝OB，同理OF＝OC．
∴OE+OF＝（OB+OC）＝BC．
在等边△ABC中，高h＝AB＝BC．
∴OE+OF＝h．
又∵等边三角形的高为2，
∴OE+OF＝2，
解法二：三角形ABC的面积等于三角形AOB的面积+三角形AOC的面积，三角形ABC是等边三角形，所以三个三角形是等底，高OF+高OE等于三角形ABC的高2．
故选：C．
8．（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a﹣b，即平行四边形的高为a﹣b，
∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2﹣b2，乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C（3，﹣1），则点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为（ ）
A．（3，1），（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1），（﹣3，﹣1）
C．（3，1），（1，3） D．（﹣3，﹣1），（3，1）
解：∵在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C（3，﹣1），
∴点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为（3，1），（﹣3，﹣1）．
故选：A．
10．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，
当B、P、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，
故选：A．
二、填空题（共8小题；共24分）
11．（3分）计算：（ab2）2÷（﹣ab）2＝ b2 ．
解：（ab2）2÷（﹣ab）2
＝a2b4÷a2b2
＝b2．
故答案为：b2．
12．（3分）等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为 ab＝0 ．
解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为ab＝0，
故答案为：ab＝0．
13．（3分）已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，则∠DAC的度数为 20° ．
解：∵∠B＝∠BAD＝40°，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝80°，
∴∠C＝∠ADC＝80°，
∴∠DAC＝180°﹣160°＝20°，
故答案为20°．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝12cm，则BC的长为 6 cm．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝12cm，
∴∠A＝∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
在Rt△BCD中，BC＝BD＝×12＝6cm．
故答案为：6．
15．（3分）若x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为 ﹣11或13 ．
解：∵x2﹣（m﹣1）x+36是一个完全平方式，
∴m﹣1＝±12，
故m的值为﹣11或13，
故答案为：﹣11或13
16．（3分）如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝ 20 ．
解：∵a+b＝6，ab＝8，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣16＝20，
故答案为：20
17．（3分）教材中有如下一段文字：
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法 正确 ．（填“正确”或“不正确”）
解：小明的说法正确．
理由：如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．
∵∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACG＝∠DFH，
在△ACG和△DFH中，
，
∴△ACG≌△DFH，
∴AG＝DH，
在Rt△ABG和Rt△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF．
（当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似）．
故答案为正确．
18．（3分）在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题．
已知：线段AB、线段AC，AB＞AC，在AB上求作点D，使△ACD的周长等于线段AB的长．
小左同学的作法如下：
（1）在线段AB上截取BE＝AC；
（2）连接CE，作线段CE的垂直平分线交AB于点D．
老师说：“小左同学的作法正确．”
请回答：小左同学的作图依据是 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 ．
解：由作法得D点线段CE的垂直平分线上，
根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，
∴DE＝DC，
而BE＝AC，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+DE＝BE+AE＝AB．
故答案为线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．
三、解答题（共7小题：共46分，第19题10分，第20-22题，每题5分）.
19．（10分）计算：
（1）（4a3b+6a2b2﹣ab3）÷2ab．
（2）（3x+2）（2x2﹣x+1）．
解：（1）原式＝2a2+3ab﹣b2；
（2）原式＝6x3﹣3x2+3x+4x2﹣2x+2＝6x3+x2+x+2．
20．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
21．（5分）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，即x2﹣4x＝1，
∴原式＝4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2＝3x2﹣12x+9＝3（x2﹣4x）+9＝3+9＝12．
22．（5分）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5．
23．（7分）如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20＝48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 24 ．
（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为 976 （直接写出结果）．
解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12＝48﹣24＝24；
故答案为：24；
（2）定值为k2﹣1＝（k+1）（k﹣1）；
证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），
十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）＝x2﹣1﹣x2+k2＝k2﹣1，
故这个定值为k2﹣1＝（k+1）（k﹣1）；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，
根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）＝2015，
解得：a＝976．
故答案为：976．
24．（7分）如图，已知等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．
（1）如图（1）当α＝15°时，
①按要求画出图形，
②求出∠ACD的度数，
③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；
（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为 30°或52.5° ．
解：（1）①如图1：
②∵B、D关于AP对称，
∴AP垂直平分BD，a＝15°，
∴AD＝AB，∠1＝∠2＝15°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠1+∠2+∠BAC＝60°，
∵AC＝AB，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等边三角形
∴∠ACD＝60°．
③DE＝2BF，
证明：连接EB，
∵AP垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠3＝∠4，
∵AB＝AD，∠DAB＝30°，
∴∠ADB＝75°，
又∠ADC＝60°，
∴∠3＝∠4＝15°，
∴∠5＝30°，
又AD＝AC，AB平分∠DAC，
∴AB⊥DC，
∴EB＝2BF，
∴ED＝2BF．
（2）如图2，
∵AD＝AC，
∴△DAC是等腰三角形
∴∠ADC＝（180°﹣2a﹣30°）÷2＝75°﹣a，
∴∠AEF＝∠ADC+∠DAE＝75°﹣a+a＝75°，
当AE＝AF时，∠EAF＝a＝180°﹣75°×2＝180°﹣150°＝30°；
当AE＝EF时，∠EAF＝a＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°；
当EF＝AF时，∠AEF＝∠EAF＝a＝75°（舍去）．
故答案为：30°或52.5°．
25．（7分）我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝ 42 ，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝ n（n+1） ；（用含n的式子表示）
（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝ 99 ．
解：（1）如图所示：
（2）图4中a6＝6×7＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）；（用含n的式子表示）
（3）∵＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，
∴﹣＝，
解得n＝99．
故答案为：42，n（n+1）；99．
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