2020-2021学年2 简谐运动的描述学案

2.简谐运动的描述

[核心素养·明目标]

知识点一　描述简谐运动的物理量

1．振幅

(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。

(2)物理含义：振幅是描述振动幅度大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的两倍。

2．全振动

一个完整的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。

3．周期(T)和频率(f)

(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。单位：秒(s)。

(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。

(3)周期T与频率f的关系式：T＝。

4．相位

在物理学上，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)

(1)振幅就是指振子的位移。  (×)

(2)振幅就是指振子的路程。      (×)

(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。  (√)

(4)始末速度相同的一个过程一定是一次全振动。     (×)

(5)振子个周期通过的路程一定等于1个振幅。    (×)

知识点二　简谐运动的表达式

1．表达式：简谐运动的表达式可以写成

x＝Asin或x＝Asin

2．表达式中各量的意义

(1)“A”表示简谐运动的振幅。

(2)“ω”是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率。

(3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝。

(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位。

(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相。

　1.相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量。

2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。

2：思考辨析(正确的打√，错误的打×)

(1)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关。 (×)

(2)按x＝5sincm的规律振动的弹簧振子的振动周期为 s。  (√)

(3)按x＝5sincm的规律振动的弹簧振子的振幅为5 cm。 (√)

考点1　描述简谐运动的物理量

1．振幅与位移、路程、周期的关系

(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅。

(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

2．对全振动的理解

(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。

(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征。

①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：历时一个周期。

③路程特征：振幅的4倍。

④相位特征：增加2π。

　根据运动过程分析物理量

【典例1】　如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：

(1)振子振动的振幅、周期和频率；

(2)振子由A首次到O的时间；

(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小。

思路点拨：解此题关键有两点。

(1)振子的振动范围是振幅的2倍。

(2)振动具有周期性，且一个周期内的路程是振幅的4倍。

[解析]　(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，

t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s。

由f＝得f＝5 Hz。

(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等，均为0.05 s。

(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm。振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm。5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。

[答案]　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s

(3)1 000 cm　10 cm

　根据图像分析物理量

【典例2】　(多选)(2020·江苏南京中华中学月考)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　)

A．振动周期是2×10－2s

B．第2个10－2s内物体的位移是－10 cm

C．物体的振动频率为25 Hz

D．物体的振幅是10 cm

思路点拨：解此题的关系是从图像中正确获取周期和振幅的信息。

BCD　[由图可知，物体完成一次全振动需要的时间为4×10－2s，故周期为T＝4×10－2s，A错误；在第2个10－2s内，即在1×10－2s到2×10－2s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝Hz＝25 Hz，C正确；由图可知，物体的最大位移为10 cm，则振幅为10 cm，故D正确。]

振幅与路程的关系

振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍的振幅。

(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于振幅。

(2)若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅。

1．(角度1)(多选)(2020·江苏徐州一中月考)如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是(　　)

A．小球的最大位移是10 cm

B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0

C．无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm

D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm

CD　[小球位移的起点是O点，小球经过B点或C点时位移最大，最大位移的大小为5 cm，故A错误；小球做简谐运动，振幅不变，由题意知，振幅A＝5 cm，故B错误，C正确；根据对称性和周期性可知，从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是4倍振幅，即4A＝4×5 cm＝20 cm，故D正确。]

2．(角度2)(多选)如图所示为质点的振动图像，下列判断正确的是(　　)

A．质点振动周期是8 s

B．振幅是±2 cm

C．4 s末质点的速度为负，加速度为零

D．10 s末质点的加速度为正，速度为零

AC　[由振动图像可得，质点的振动周期为8 s，A项正确；振幅为2 cm，B项错误；4 s末质点经平衡位置向负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，C项正确；10 s末质点在正的最大位移处，加速度为负值，速度为零，D项错误。]

考点2　简谐运动表达式的理解和应用

1．对表达式x＝Asin(ωt＋φ)的理解

(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间。

(2)由于ω＝＝2πf，所以表达式也可写成：

x＝Asin或x＝Asin(2πft＋φ)。

2．简谐运动两种描述方法的比较

(1)简谐运动图像即x­t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。

(2)x＝Asin(ωt＋φ)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。

(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解决的两类问题：一是根据振动方程作出振动图像；二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，写出位移的函数表达式。

【典例3】　A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。

请根据图像写出；

(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。

(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。

[解析]　(1)由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。

(2)由题图知，t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得＝5πrad/s。则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π)cm。t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得＝2.5π  rad/s,  则简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm。

[答案]　(1)0.5　0.4　0.2　0.8

(2)xA＝0.5sin(5πt＋π) cm　xB＝0.2sincm

[母题变式]

在上例中，t＝0.05 s时两质点的位移分别是多大？

[解析]　将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得xA＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm；

xB＝0.2sincm＝0.2sinπ cm。

[答案]　xA＝－ cm　xB＝0.2sinπ cm

应用简谐运动的函数表达式的四点技巧

(1)明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝，f＝。

(2)把明确的物理量与所要求解的问题相对应，找到对应关系。

(3)同频率的两个简谐运动进行比较时，相位差的取值范围一般为－π≤Δφ≤π。

(4)比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程。

3．(2020·陕西西安期末)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的函数关系式为x＝5sincm，则下列关于质点运动的说法正确的是(　　)

A．质点做简谐运动的振幅为10 cm

B．质点做简谐运动的周期为4 s

C．在t＝4 s时质点的速度最大

D．在t＝4 s时质点的加速度最大

C　[由位移随时间变化的函数关系式x＝5sincm，可知质点做简谐运动的振幅为5 cm，圆频率ω＝rad/s，则周期为T＝＝8 s，故A、B错误；在t＝4 s时质点的位移为零，说明质点正通过平衡位置，速度最大，加速度最小，故C正确，D错误。]

考点3　简谐运动的周期性和对称性

简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，OC＝OD。

1．时间的对称

(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。

(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。

2．速度的对称

(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。

(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

3．位移的对称

(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。

(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。

【典例4】　(2020·河北沧州第一中学高二下月考)如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，aO＝bO，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为(　　)

A．1 Hz B．1.25 Hz

C．2 Hz  D．2.5 Hz

B　[由题可知，a、b两点关于平衡位置对称，从a到b历时t1＝0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，即从b到c所用时间为t2＝s＝0.1 s，所以弹簧振子振动的周期为T＝4＝0.8 s，则振动频率为f＝＝1.25 Hz，故B正确，A、C、D错误。]

由于简谐运动是一种变加速运动，所以计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处或从最大位移处到平衡位置的时间，即\f(T,4)，再计算一个周期T的大小。

4．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　)

A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s

B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s

C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s

D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s

AD　[若振幅为0.1 m，自题意知，Δt＝T(n＝0、1、2、…)，解得T＝s，(n＝0、1、2、…)，代入n＝1，则T＝ s，A项正确，代入T＝ s，则n＝0.75不符上式要求，B项错误；若振幅为0.2 m，t＝0时，由振子做简谐运动的表达式y＝0.2sinm可知，0.2sin φ0 m＝－0.1 m，解得φ0＝－或φ0＝－；t＝1 s时，有0.2sinm＝0.1 m，将T＝6 s代入0.2sinm＝0.1 m可知，D项正确；将T＝4 s代入0.2sinm≠0.1 m可知，C项错误。]

1．(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是(　　)

A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处

B．周期和频率的乘积是一个常数

C．振幅增加，周期必然增加而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关

BD　[振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，A错误；周期和频率互为倒数，即T＝，故T·f＝1，B正确；振动周期或频率只与振动系统本身有关，与振幅无关，C错误，D正确。]

2.(多选)弹簧振子在A、B之间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s。则(　　)

A．振动周期是2 s，振幅是8 cm

B．振动频率是2 Hz

C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm

D．振子过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm

CD　[由题意可知振动周期T＝s＝2 s，振幅A＝cm＝4 cm，故A错误；频率f＝＝Hz＝0.5 Hz，B错误；振子完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，故C正确；振子在3 s内通过的路程为·4A＝×4×4 cm＝24 cm，D正确。]

3．(2020·河北承德第一中学高二下月考)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)

A．1∶1　1∶1 B．1∶1　1∶2

C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2

B　[弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1，振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关。故选B。]

4．(新情境题，借助传感器分析简谐运动表达式)某实验小组利用数字实验系统探究弹簧振子的运动规律，装置如图所示，水平光滑导轨上的滑块与轻弹簧组成弹簧振子，滑块上固定有传感器的发射器。把弹簧拉长5 cm后由静止释放，滑块开始振动。他们分析位移—时间图像后发现，滑块的运动是简谐运动，滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，则弹簧振子的振动频率为多少？以释放的瞬时为初始时刻、向右为正方向，求滑块运动的表达式。

[解析]　滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，知周期T＝2 s，

则振动频率f＝＝0.5 Hz，ω＝2πf＝π rad/s，

根据x＝Asin(ωt＋φ)知，

A＝5 cm，φ＝，

所以x＝5sin＝5cosπt(cm)。

[答案]　0.5 Hz　x＝5cosπt(cm)

回归本节知识，自我完成以下问题：

1．描述简谐运动的物理量有哪些？

提示：振幅、周期、频率、相位。

2．如何判断一个振动过程是不是为一个全振动？

提示：在判断物体的运动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。

3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？

提示：振幅、圆频率、初相位。

心脏跳动与心电监测

心脏监护系统种类很多，一般均包括心电示波屏、记录装置、心率报警和心律紊乱报警等几个部分，可持续监测心率和心律的变化。心电信号经过人体组织传到体表，在体表利用心电电极监测这种信号并将其在时间轴上描记出来，就构成心电图。

心电监测分为心律(节律)监测和心率(速率)监测。所谓心律，是指心跳的规律性，即每一次心跳与下一次心跳的周期是否相等；所谓心率，是指心脏每分钟跳动的次数，心律和心率是两个完全不同的概念。对危重病人，心脏节律监测是最有效的检查手段之一。通过监测，可发现心脏节律异常，各种心律紊乱，如房性、室性早搏、心肌供血情况、电解质紊乱等。

提示：已知甲的心率为60次/min，则甲每次心跳时间间隔t＝1 s。