人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动3 向心加速度教学设计

55 向心加速度

[精讲精练]

[知识精讲]

知识点1 速度变化量

(1)   速度变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差/

(2)   速度变化量是矢量.因为速度是矢量,有大小,有方向，故末速度与初速度之差也有大小和方向。例如，小球向正东方向做直线运动，初速度为v1=5m/s,10s后末速度变为v2=10m/s,方向向西。取正东为正方向，则有:

Δv=v2-v1=(-10m/s)-5m/s=-15m/s

即速度变化量的大小为15m/s,它的方向是向西.

(3)用矢量图表示速度变化量

①    作法:从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2,从初速度矢量v1的末端作一个矢量Δv至末速度矢量v2的末端，所作的矢量Δv就等于速度的变化量.

②      直线运动中的速度变化量:

如果速度是增加的,它的变化量与初速度方向相同(图甲);如果速度是减小的，其速度变化量就与初速度的方向相反(图乙).

③    曲线运动中的速度变化量:

物体沿曲线运动时,初末速度v1和v2不在同一直线上,速度的变化量Δv同样可以用上述方法求得.例如，物体沿曲线由A向B运动,在A,B两点的速度分别为v1,v2(如图1).在此过程中速度的变化量如图2所示.

可以这样理解:物体由A运动到B时,速度获得一个增量Δv,因此v1与Δv的矢量和即为v2.我们知道，求力F1和F2的合力F时,可以以F1和F2为邻边作平行四边形，则F1和F2

所夹的对角线就表示合力F.与次类似，以v1和Δv为邻边作平行四边形,两者所夹的对角线就是v1和Δv的矢量和,即v2.如图3所示.因为AB与CD平行且相等,故可以把v1, Δv,v2放在同一个三角形中，就得到如图2所示的情形.这种方法叫矢量的三角形法.

[例1]物体做匀速圆周运动的速度大小为v,则该物体从A运动到B转过90°角过程中，速度变化的大小为        ,方向为         .

[思路分析]做A,B两点的速度矢量,并将B的速度矢量移到A点，如图所示,则Δv为速度变化，由RtΔ得: Δv=

Δv与A点速度方向夹角α=135°斜向上方.

[答案] 速度变化的方向与A点速度方向成135°角斜向上方.

[方法总结]速度矢量变化量Δv=v末-v初,用作图法求Δv的方法:从同一点作出初,末速度矢量(不在同一点的,平移至同一点),从 v初矢量末端至v末矢量末端作有向线段Δv, Δv即速度的变化量.

[变式训练1]如图所示,设支点沿半径为r的圆周做匀速云周运动，在某时刻t位于A点，速度为vA,经过很短时间Δt运动到B点，速度为vB,做图求出速度改变量Δv=vA-vB

[答案]

 [知识点]向心加速度

(1)探究向心加速度的大小和方向

做匀速圆周运动的物体，其速度的大小(速率)不变,方向不断改变,所以加速度a没有与v同方向的分量，它只是反映了速度v方向的不断改变.

如图甲所示,设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻t位于A点，速度为vA,经过很短的时间Δt,运动到B点，速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量Δv=vB - vA,如图乙所示.

比值Δv/Δt是质点在Δt时间内的平均加速度，方向与Δv方向相同，当Δt足够短,或者说Δt趋近于零时, Δv/Δt就表示出质点在A点的瞬时加速度，在图乙所示矢量三角形中，vA和vB大小相等,当Δt趋近于零时, Δφ也趋近于零, Δv的方向趋近于跟vA垂直而指向圆心，这就是说，做匀速圆周运动的质点在任一点的瞬时加速度方向都沿半径指向圆心.

图乙中的矢量三角形与图甲的三角形ΔOAB是相似形,用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有:

Δv/v =Δl/r  或  Δv=Δlv/r

用Δt除上式得

                    Δv/Δt=(Δl/Δt)·(v/r)

当Δt趋近于零时, Δv/Δt表示向心加速度a的大小, Δl/Δt表示线速度的大小v,于是得到             a = v2/r

这就是向心加速度的公式，再由v=rω得  a=rω2=vω

(2)向心加速度

①    定义:做匀速圆周运动的物体,加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。

②    大小:an= v2/r或 an=rω2

方向:总是沿半径指向圆心，即方向始终于运动方向垂直.

注意:①an方向时刻改变，不论大小是否变化，所以圆周运动是变加速运动.

②    ω相同，a∝1/r

③    向心加速度描述的是速度方向变化的快慢.

④    向心加速度a=v2/r是在匀速圆周运动中推导出来的,对非匀速圆周运动同样适用,只要将公式中的速度v改为瞬时速度即可.

⑤    利用v=rω,向心加速度公式可写成a=ωv.

⑥    利用ω=2π/T,向心加速度公式可写成a=(2π/T)2R.

[例2]关于向心加速度，下面说法正确的是(      )

1. 向心加速度是描述线速度变化的物理量
2. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
3. 向心加速度大小恒定，方向时刻改变

D.向心加速度的大小也可用a=(vt-v0)/t来计算

思路分析  加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向快慢的物理量,因此A错,B对.只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定,C错.公式a=(vt-v0)/t适用于匀变速运动,圆周运动是变速运动,D错.

答案  B

[方法总结] 向心加速度是矢量,方向始终指向圆心.

[变式训练] 物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度，角速度，线速度和周期分别为a,ω,v和T.下列关系正确的是(      )

1. ω=  B、  C、a=vω  D、

[答案]ABCD

[难点精析1]圆周运动中的速度和加速度

[例3]关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是(     )

1. 匀速圆周运动是匀速运动
2. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动
3. 物体做匀速圆周运动是变速曲线运动
4. 做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态

[思路分析]做匀速圆周运动的速度和加速度大小不变,方向时刻在变,因此匀速圆周运动不是匀速运动，也不是匀变速运动,选项A,B错，做匀速圆周运动物体的合外力即向心力,提供向心加速度，当然物体不是处于平衡状态，选项D错

[答案] C

[方法总结] 速度和加速度均是矢量,矢量的变化不仅考虑大小的变化，还要考虑方向的变化，匀速圆周运动应该理解为匀速率圆周运动.

[变式训练3]如右图所示,圆轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点轨道的切线是水平的,一质点自A点从静止开始下滑,不计摩擦和空气阻力,则在质点刚要到达B点时的加速度大小为        ,滑过B点时的加速度大小为        .

[答案] 2g  g

[难点精析2]

[例4]关于质点做匀速圆周运动的说法正确的是(     )

1. 由a= v2/r知a与r成反比
2. 由a= rω2知a与r成正比
3. 由ω=v/r知ω与r成反比
4. 由ω=2πn知 ω与转速n成正比

[思路分析]由a= v2/r,只有在v一定时,a才与r成反比，如v不一定，a与r不一定成反比.同理,只有当ω一定,a才与r成正比；v一定时,ω与r成正比.因2π是定值,故ω与n成正比.

[答案] D

[方法总结]①公式a= v2/r = rω2=(2π/T)2R中有三个量时,在某一个量不变时,剩余的两个量的关系才能明确.即在v一定时a与r成反比,在ω一定时,a与r成正比.

②公式ω=v/r在v一定时,ω与r成反比. ω=2πn知, ω与转速n成正比.

[变式训练4]如图所示,A,B两点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支,由图可知  (        )

A.A物体运动的线速度大小不变

B.A物体运动的角速度大小不变

C.B物体运动的角速度大小不变

D.B物体运动的线速度大小不变

[答案] A C

[难点精析3]传动装置中物理量的联系

[例5]如图为一皮带传动装置，右轮的半径为r,a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑,则   (     )

A.a点与b点线速度大小相等

B.a点与c点

C.a点与d点向心加速度大小相等

5. a,b,c,d四点中,加速度最小的是b点

[思路分析]皮带轮传动的是线速度,所以ac两点线速度大小相等。所以A,B错;a,d两点加速度由a=v2/r有:aa=vc2/r,ad=(2vc2)2/4r,所以aa=ad;在b,c,d中,由a=ω2r,有b点加速度最小，所以C,D正确.

[答案]  CD

[方法总结](1)在传动装置中要抓住两个基本关系:皮带(或齿轮)带动的接触面上线速度大小相等，同一转轴上的各部分角速度相等.

(2)在线速度相等的情况下，比较向心加速度的大小，用公式a=vc2/r;在角速度相等的情况下,用公式a=ω2r则较为方便.

[变式训练5]如下图,一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动,大轮的半径是小轮的2倍,大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的1/3,当大轮边上P点的向心加速度是12cm/s2时,大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度多大?

[答案] as=4cm/s2   ;      aQ=24 cm/s2

[综合拓展]向心加速度大小a=v2/r= rω2=(2π/T)2R;向心加速度方向时刻指向圆心,与速度方向垂直。圆周运动知识与其他力学知识相结合解决问题.

[例6]如图所示,定滑轮的半径r=2cm,绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物,由静止开始释放，测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动在重物由静止下落距离为1m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω=       rad/s,向心加速度a=      m/s2

[思路分析]重物下落1m时,瞬时速度为v

显然,滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s,故滑轮转动的角速度,即滑轮边缘上每一点的转动角速度为:

ω=v/r=(2/0.02)rad/s=100rad/s

向心加速度为

a= rω2=1002×0.02m/s2=200m/s2

[答案] ω=100rad/s    a=200m/s2

[方法总结]本题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮运动的角速度，轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系(v=ωr),向心加速度与角速度,线速度的关系(a= rω2=v2/r)仍然成立.

[活学活练]

[基础达标]

1.关于向心加速度的物理意义,下列说法正确的是(     )

1. 它描述的是线速度方向变化的快慢
2. 它描述的是线速度大小变化的快慢
3. 它描述的是向心力变化的快慢
4. 它描述的是角速度变化的快慢

2.由于地球的自转,下列关于向心加速度的说法正确的是(    )

1. 在地球表面各处的向心加速度都指向地心
2. 在赤道和北极上的物体的角速度相同,但赤道上物体的向心加速度大
3. 赤道和北极上物体的向心加速度一样大
4. 赤道和地球内部物体的向心加速度一样大

3.做匀速圆周运动的两物体甲和乙,它们的向心加速度分别为a1和a2,且a1> a2,下列判断正确的是(     )

1. 甲的线速度大与乙的线速度
2. 甲的角速度比乙的角速度小
3. 甲的轨道半径比乙的轨道半径小
4. 甲的速度方向比乙的速度方向变化得快

4.“月球勘探号”空间探测器绕月球飞行可以看作为匀速圆周运动。关于该探测器的运动，下列说法正确的是（      ）

A．匀速运动

B． 匀变速曲线运动

C． 变加速曲线运动

D．加速度大小不变的运动

5．如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中有A、B、C三点，这三点所在处半径rA>rB=rC则这三点的向心加速度aA aB aC的关系是(      )

A. aA= aB =aC    B. aC >aA >aB      C. aC <aA <aB    D. aC= aB> aA

6.小球m用长为L的悬线固定在O点，在O点正下放L/2处有一光滑钉C,如图所示,今把小球拉到悬线呈水平后无初速度地释放，当悬线呈竖直状态且与钉相碰时(     )

1. 小球的速度突然增大
2. 小球的角速度突然增大
3. 小球的向心加速度突然增大
4. 小球的速度突然变小

7.做匀速圆周运动的物体，其角速度为6rad/s,线速度为3m/s,则在0.1s内，该物体通过的圆弧长度为    m,物体连接圆心的半径转过的角度为    rad,运动的轨道半径为       m.

8.质量相等的A,B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等的时间内通过的弧长之比为2:3,而转过角度之比为3:2,则A,B两质点周期之比为TA:TB=     ,向心加速度之比aA:aB =    .

9.一列火车以72km/h的速率在半径是400m的弧形轨道上飞快的行驶,此时列车的向心加速度是    m/s.

10.如图所示,长度L=0.5m的轻杆,一端上固定着质量为m=1.0kg的小球,另一端固定在转动轴O上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆子每0.1s转过30º角,试求小球运动的向心加速度.

11.一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动,转动周期为2s,则物体在运动过程的任一时刻，速度变化率的大小为多少?

基础达标答案

1. A  2. B  3. D  4. CD  5. C  6. BC  7. 0.3;0.6;0.5  8. 2:3 ;  1:1   9. 1

10. 25π2 m/s2/18    11.4πm/s2

[能力提升]

1.下列说法中，正确的是(     )

1. 匀速圆周运动是一种匀速运动
2. 匀速圆周运动是一种匀变速运动
3. 匀速圆周运动是一种变加速运动
4. 物体做圆周运动时其向心力垂直于速度方向，不改变线速度的大小

2.如图所示为质点P,Q做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图象可知(     )

1. 质点P的线速度大小不变
2. 质点P的角速度大小不变
3. 质点Q的角速度随半径变化
4. 质点Q的线速度大小不变

3.如图所示的皮带传动装置,主动轮O1上两轮的半径分别是3r和r,从动轮O2的半径为2r,A,B,C分别为轮边缘上的三点,设皮带不打滑,则:

(1) A,B,C三点的角速度之比ωA:ωB:ωC=        ;

(2)A,B,C三点的线速度大小之比vA:vB:vC=        ;

(3)A,B,C 三点的向心加速度大小之比aA:aB:aC=      ;

4.做匀速圆周运动的物体，线速度为10m/s,物体从A到B速度增量为10m/s,已知A,B间弧长是3.14m,则AB弧长所对的圆心角为     ,圆半径为     ,向心加速度为       .

5.一汽车以30m/s的速率沿半径为60m的圆形跑道行驶,汽车在运动中向心加速度为多少?

[能力提升答案]

1.CD 2.A 3.(1) 2:2:1 (2) 3:1:1 (3) 6:2:1  4.π/3;3m;33.3m/s2  5. 15m/s2