江苏省苏州市姑苏区振华中学校2021-2022学年九年级上学期10月月考数学【试卷+答案】

这是一份江苏省苏州市姑苏区振华中学校2021-2022学年九年级上学期10月月考数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区振华中学校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+3x+y＝0 B．x+y+1＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2++5＝0
2．用配方法解方程x2+2x﹣2＝0，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝3 B．（x﹣1）2＝3 C．（x+1）2＝1 D．（x﹣1）2＝1
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
4．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
5．在平面直角坐标系xOy中，点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，若y1＜y2，则n的取值范围是（　　）
A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1
6．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点C出发，沿折线CA→AB以3cm/s的速度匀速运动，动点Q从C出发沿CB以1cm/s的速度匀速运动，若动点P、Q同时从点C出发任意一点到达B点时两点都停止运动，则这一过程中，△PCQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A，B，H．以下结论：①当x＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP﹣AP）是定值；④设点M关于x轴的对称点为M'，当a＝2时，点M′在l下方，其中正确个数（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．方程3x2﹣12＝0的解是 　 　．
10．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为 　 　．
11．抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是　 　．
12．已知抛物线y＝x2﹣x+m﹣1恒在x轴上方，则m的取值范围是 　 　．
13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值为　 　．
14．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为　 　cm．

15．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值和最小值的和为 　 　．

16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
q
m
﹣2
n
m
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝q的两个根；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④m+n＞．其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（共6题，满分52分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x﹣18＝0；
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）；
（3）x2﹣4x+1＝0；
（4）．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22+x1x2＝7，求m的值．
19．已知抛物线y＝ax2+bx+1（其中a，b是常数，且a≠0），其自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣2
m
﹣2
1
n
…
（1）求这个抛物线的解析式及m、n的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线的图象；
（3）如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是　 　．

20．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，1），它的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标．
（2）如图，已知点A（P，t）（P＞0）在（1）中的抛物线上，将该抛物线向右平移若干个单位后得到抛物线l，点A在抛物线l上的对应点为点B（t，t），若抛物线l恰好经过点C（2，0），求P，t的值．

21．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
22．如图，已知直线y＝2x+b与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式：
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标；
（3）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（4）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．


参考答案
一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+3x+y＝0 B．x+y+1＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2++5＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
解：A．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意；
B．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意；
C．此方程符合一元二次方程，符合题意；
D．此方程不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
2．用配方法解方程x2+2x﹣2＝0，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝3 B．（x﹣1）2＝3 C．（x+1）2＝1 D．（x﹣1）2＝1
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
解：方程移项得：x2+2x＝2，
配方得：x2+2x+1＝3，
则方程变形为（x+1）2＝3．
故选：A．
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
【分析】根据根的判别式和已知得出△≥0且k≠0，求出解集即可．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k•≥0，k≠0，
解得：k≤4且k≠0，
故选：D．
4．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．
解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，
故选：B．
5．在平面直角坐标系xOy中，点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，若y1＜y2，则n的取值范围是（　　）
A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1
【分析】由抛物线的对称轴找到E点的对称点，抛物线开口向下，y1＜y2时结合图象求解；
解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，
E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2），
∵抛物线开口向下，
∴y1＜y2时，n＞3或n＜﹣1，
故选：A．
6．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a．
解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，
∴3a2+3a﹣6＝0，
∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点C出发，沿折线CA→AB以3cm/s的速度匀速运动，动点Q从C出发沿CB以1cm/s的速度匀速运动，若动点P、Q同时从点C出发任意一点到达B点时两点都停止运动，则这一过程中，△PCQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】当点P在AC段时，S＝×PC×CQ＝×3t×t＝t2，当点P在AB段时，S＝×CQ×PH＝t×（9﹣3t）sinB＝（﹣3t2+9t），即可求解．
解：AB＝5，BC＝3，则AC＝4，AC+AB＝9，
当点P在AC段时，S＝×PC×CQ＝×3t×t＝t2，为开口向上的抛物线，
当点P在AB段时，过点P作PH⊥BC于点H，

S＝×CQ×PH＝t×（9﹣3t）sinB＝（﹣3t2+9t），为开口向下的抛物线，
故选：B．
8．如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A，B，H．以下结论：①当x＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP﹣AP）是定值；④设点M关于x轴的对称点为M'，当a＝2时，点M′在l下方，其中正确个数（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），且抛物线开口向上，可对①作判断；根据图形中与x轴交点坐标（﹣1，0）和对称轴与x轴交点（1，0）可对②作判断；根据对称性得：AH＝BH，根据线段的和与差可对③作判断；根据M'的坐标和l到x轴的距离可对④作判断．
解：①由题意得：a＞0，开口向上，
∵抛物线对称轴是直线x＝1，且经过点（﹣1，0），
∴抛物线过x轴另一个点为（3，0），
∴当x＝3.1时，y＞0；故①正确；
②当P在O点时，AP＝PH，
∵a＞0，
∴P不可能与O重合，故②不正确；
③BP﹣AP＝（BH+PH）﹣AP＝AH+PH﹣AP＝2PH＝2，故③正确；
④把（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+k中，k＝﹣4a，
当a＝2时，a+4＝6，﹣（﹣4a）＝8，点M'在l的上方，故④不正确；
∴正确的有：①③，
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．方程3x2﹣12＝0的解是 　x1＝2，x2＝﹣2　．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：∵3x2﹣12＝0，
∴3x2＝12，
∴x2＝4，
则x＝2或x＝﹣2，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
10．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为 　﹣　．
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2t＝﹣3，然后求出t即可．
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2t＝﹣3，
解得t＝﹣，
即方程的另一根为﹣．
故答案为﹣．
11．抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是　（1，1）　．
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
12．已知抛物线y＝x2﹣x+m﹣1恒在x轴上方，则m的取值范围是 　m＞5　．
【分析】抛物线开口向上，只需与x轴无交点即可使抛物线y＝x2﹣x+m﹣1恒在x轴上方，列出Δ＜0即可得到答案．
解：∵抛物线y＝x2﹣x+m﹣1开口向上，恒在x轴上方，
∴抛物线与x轴无交点，即Δ＜0，
∴1﹣4×（m﹣1）＜0，
解得m＞5，
故答案为：m＞5．
13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值为　2019　．
【分析】先把交点坐标代入抛物线解析式得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算代数式m2﹣m+2018的值．
解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2018＝1+2018＝2019．
故答案为2019．
14．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为　15　cm．

【分析】设切去得正方形的边长为xcm，得出盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，再根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝1400，
展开得：x2﹣75x+900＝0，
解得：x1＝15，x2＝60（不合题意，舍去），
则铁皮各角应切去边长为15cm的正方形．
故答案是：15．
15．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值和最小值的和为 　17　．

【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y＝kx﹣3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）2+8＝kx﹣3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
解：当直线经过点（1，12）时，12＝k﹣3，解得k＝15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）2+8＝kx﹣3，
整理得x2﹣（10+k）x+36＝0，
∴10+k＝±12，解得k＝2或k＝﹣22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2＝17．
故答案为：17．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
q
m
﹣2
n
m
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝q的两个根；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④m+n＞．其中所有正确结论的序号是　②④　．
【分析】先由y＝m时的x值计算得到对称轴，然后结合x＝﹣时的y值得到二次函数图象的开口方向，从而得到a和b的正负和判断③，再由点（0，﹣2）得到c的正负，进而判断①，利用对称性和（﹣2，q）判断②，由对称轴得到a和b的关系，结合x＝﹣时，y＞0求得a的取值范围，最后用含有a的式子表示m+n判断④．
解：∵x＝﹣1和x＝2时的函数值相等，
∴对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，即b＝﹣a，
∵当x＝﹣时，y＞0，当x＝0时，y＝﹣2，
∴x＜时，y随x的增大而减小，c＝﹣2＜0，a﹣b+c＝a+a﹣2＞0，
∴二次函数图象开口向上，a＞，
∴a＞0，b＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵x＝﹣2时，y＝q，对称轴为直线x＝，
∴x＝3时，y＝q，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝q的两个根是﹣2和3，故②正确；
∵开口向上，对称轴为直线x＝，
∴0＜x＜时，y随x的增大而减小，x＞时，y随x的增大而增大，故③错误；
∵x＝1时，y＝n，x＝2时，y＝m，
∴a+b+c＝n，4a+2b+c＝m，
∴m+n＝5a+3b+2c＝5a﹣3a﹣4＝2a﹣4，
∵a＞，
∴2a﹣4＞，故④正确；
故答案为：②④．
三、解答题（共6题，满分52分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x﹣18＝0；
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）；
（3）x2﹣4x+1＝0；
（4）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用配方法求解即可；
（4）两边都乘以（x+1）（x﹣1），化分式方程为整式方程，再进一步求解即可．
解：（1）∵x2﹣3x﹣18＝0，
∴（x+3）（x﹣6）＝0，
则x+3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝6；
（2）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝2，x2＝5；
（3）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x＝﹣1，
则x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝±，
则x1＝2+，x2＝2﹣；
（4）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：4+2（x﹣1）＝x（x+1），
整理，得：x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
检验：当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，舍去；
当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝3≠0；
所以分式方程的解为x＝2．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22+x1x2＝7，求m的值．
【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2，利用非负数的意义得到Δ≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，再把x12+x22+x1x2＝7变形为（x1+x2）2﹣x1x2＝7，所以（m+2）2﹣2m＝7，然后解关于m的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m
＝m2+4m+4﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）根据题意得x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，
∵x12+x22+x1x2＝7，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝7，
∴（m+2）2﹣2m＝7，
整理得m2+2m﹣3＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
∴m的值为1或﹣3．
19．已知抛物线y＝ax2+bx+1（其中a，b是常数，且a≠0），其自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣2
m
﹣2
1
n
…
（1）求这个抛物线的解析式及m、n的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线的图象；
（3）如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是　k≥﹣3　．

【分析】（1）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可；
（2）描点、连线画出抛物线图象即可，
（3）根据图象即可求得．
解：（1）把（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣2），（0，1）代入y＝ax2+bx+c，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+1，
把x＝﹣2代入得y＝﹣3，
把x＝1代入得y＝6，
∴m＝﹣3，n＝6；
（2）描点、连线画出抛物线图象如图：
．
（3）由图象可知，如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是k≥﹣3．
故答案为k≥﹣3．
20．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，1），它的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标．
（2）如图，已知点A（P，t）（P＞0）在（1）中的抛物线上，将该抛物线向右平移若干个单位后得到抛物线l，点A在抛物线l上的对应点为点B（t，t），若抛物线l恰好经过点C（2，0），求P，t的值．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）根据题意得到抛物线l为y＝（x﹣2）2，代入B（t，t）即可求得t＝4，把A（p，4）代入y＝x2+2x+1即可求得p的值．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，1），它的对称轴为直线x＝﹣1．
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x+1，
∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴顶点为（﹣1，0）；
（2）∵将该抛物线向右平移若干个单位后得到抛物线l，抛物线l恰好经过点C（2，0），
∴抛物线l的顶点为（2，0），
∴抛物线l为y＝（x﹣2）2，
∵点A在抛物线l上的对应点为点B（t，t），
∴t＝（t﹣2）2，解得t＝4或1（舍去），
∴t＝4，
把A（p，4）代入y＝x2+2x+1得4＝p2+2p+1，整理得p2+2p﹣3＝0，
∴p＝1或﹣3（舍去），
∴p＝1，t＝4．
21．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．
解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理，得：y＝﹣2x+160，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+160；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴当x＝56时，w取最大值为1152，
∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
22．如图，已知直线y＝2x+b与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式：
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标；
（3）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（4）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据顶点坐标设y＝a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入，即可求得答案；
（2）如图1，作PH∥y轴交直线BC于点H，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），则H（x，x﹣3），可得S△PBC＝×PH×OB＝﹣（x﹣）2+，再利用二次函数性质即可得出答案；
（3）分类讨论：①如图2，以AB为矩形AMBN对角线时，②如图3，以AB为矩形ABNM的一边，③如图4，以AB为矩形ABMN的一边，分别运用相似三角形的判定和性质及勾股定理即可得出答案；
（4）如图5，在y轴上取点K（0，﹣1），连接AK，BK，过点A作AT⊥y轴于点T，证明△BKO≌△KAT（SAS），可推出∠BAK＝∠ABK＝45°，运用待定系数法求出直线AK的解析式为y＝﹣3x﹣1，联立方程组即可求得答案，过点B作BL⊥AT交TA的延长线于点L，过点A作AS⊥AK交BL于点S，求出点S的坐标，再求得直线AS的解析式，联立方程组即可求得答案．
解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝2x+b，得：2×1+b＝﹣4，
解得：b＝﹣6，
∴y＝2x﹣6，
令y＝0，得：2x﹣6＝0，
解得：x＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，﹣4），
∴设y＝a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入，得：4a﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴该抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）如图1，作PH∥y轴交直线BC于点H，
∵y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则H（x，x﹣3），
∴PH＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△PBC取得最大值，此时P（，）；
（3）①如图2，以AB为矩形AMBN对角线时，
设M（0，y），
∵∠AMB＝90°，
∴AM2+BM2＝AB2，
∴（1﹣0）2+（﹣4﹣y）2+（3﹣0）2+（0﹣y）2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2，
解得：y1＝﹣1，y2＝﹣3，
∴M1（0，﹣1），M2（0，﹣3），
②如图3，以AB为矩形ABNM的一边，过点A作AM⊥AB交y轴于点M，
则∠DAM＝∠DOB＝90°，
∵∠MDA＝∠BDO，
∴△DMA∽△DBO，
∴＝，
在y＝2x﹣6中，令x＝0，得y＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∴AD＝＝，DB＝＝3，
∴＝，
∴DM＝，
∴OM＝6﹣＝，
∴M（0，﹣），
③如图4，以AB为矩形ABMN的一边，过点B作BM⊥AB交y轴于点M，
则∠OBM+∠OBD＝90°，
∵∠BOM＝∠BOD＝90°，
∴∠OBM+∠BMO＝90°，
∴∠OBD＝∠BMO，
∴△BMO∽△DBO，
∴＝，
∴＝，
∴OM＝，
∴M（0，），
综上所述，点M的坐标为：M（0，﹣1）或M（0，﹣3）或M（0，﹣）或M（0，）．
（4）存在，理由如下：
如图5，在y轴上取点K（0，﹣1），连接AK，BK，过点A作AT⊥y轴于点T，
则∠ATK＝∠KOB＝90°，
∵A（1，﹣4），B（3，0），
∴OK＝AT＝1，OB＝KT＝3，
∴△BKO≌△KAT（SAS），
∴BK＝AK，∠OBK＝∠AKT，
∵∠OBK+∠OKB＝90°，
∴∠AKT+∠OKB＝90°，
∴∠AKB＝90°，
∴∠BAK＝∠ABK＝45°，
设直线AK的解析式为y＝mx+n，
∵A（1，﹣4），K（0，﹣1），
∴，
解得：，
∴直线AK的解析式为y＝﹣3x﹣1，
联立方程组，得：，
解得：，，
∴Q1（﹣2，5）；
如图5，过点B作BL⊥AT交TA的延长线于点L，过点A作AS⊥AK交BL于点S，
则∠BAK+∠BAS＝90°，
∴∠BAS＝45°，
∵∠ATK＝∠L＝90°，
∴∠KAT+∠SAL＝∠SAL+∠ASL＝90°，
∴∠KAT＝∠ASL，
∴△KAT∽△ASL，
∴＝，
即：＝，
∴SL＝，
∴BS＝4﹣＝，
∴S（3，），
设直线AS的解析式为y＝sx+t，
∵A（1，﹣4），S（3，），
∴，
解得：，
∴直线AS的解析式为y＝x﹣，
联立方程组，得：，
解得：，，
∴Q2（，﹣）；
综上，点Q的横坐标为﹣2或．