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苏科版数学九年级上册月考模拟试卷八（含答案）
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这是一份苏科版数学九年级上册月考模拟试卷八（含答案），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版数学九年级上册月考模拟试卷
一、选择题
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．方程=的解为（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x=4 D．x=8
3．已知，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．6 C．﹣5 D．5
5．已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且k≠0
6．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
9．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
10．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD=∠AED，则t的值为（ ）
A． B．0.5 C． D．1
二、填空题
11．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
12．若分式的值为0，则x的值为 ．
13．为庆祝祖国60周年华诞，在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，已知天安门广场的面积为44万平方米，在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为 cm2．
14．某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2014年的盈利额为 万元．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为 ．
16．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= ．
17．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 ．
三、解答题
19．（1）化简：； （2）计算：﹣．
20．（1）解方程： =； （2）4（x﹣1）2=36；
（3）解方程：x2﹣3x+2=0．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
23．如图：若AB⊥BD，CD⊥BD，动点P在BD上且CP⊥AP，若AB=3，CD=2，BD=7．
（1）说明：△ABP∽△PDC；
（2）求出DP的长．
24．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
（1）在△ABC内放入正方形纸片DEFG，使边EF在斜边AB上，点D、G分别在AC、BC上．则正方形的边长为 ；
（2）类似第（1）小题，使正方形纸片一条边都在AB上，若在△ABC内并排（不重叠）放入两个小正方形，且只能放入两个，试确定小正方形边长的范围；
（3）在△ABC内并排放入（不重叠）边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放 个小正方形纸片．
26．大润发超市销售某厂家生产的A型智能手机，从厂家按出厂价800元/部进货，然后标价1200元/部销售，平均每天可售出10部．国庆七天假期，厂家和超市联合促销．厂家对超市承诺：在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元；对多销的部分，厂家每部再优惠50元．超市经过调查发现，若每部手机降价40元，平均每天可多售4部手机．
（1）若超市国庆期间某天售出10部手机，则每部A型智能手机的进货价是 ．
（2）最后经统计，在这七天中，通过降价销售及厂家让利，超市销售A型智能手机共获得的总利润为58380元，且能让顾客尽可能得到实惠．那国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价是多少？
27．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α=0°时， = ；
②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究：
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决：
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
28．如图∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线l．
（1）当点D恰好落在垂线l上时，求OA的长；
（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△A′O′B′，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△A′O′B′与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的平移过程中，若B′O′与线段BA交于点P，连接PD，PA′，A′D，是否存在这样的t，使△PA′D是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
2．方程=的解为（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x=4 D．x=8
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x﹣8=3x，
解得：x=8，
经检验x=8是分式方程的解，
故选D
3．已知，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【考点】分式的基本性质．
【分析】由，可得a=2b，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由，可得a=2b，
那么==5．
故选：B．
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．6 C．﹣5 D．5
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，
∴x1+x2=﹣=﹣=5，
故选D．
5．已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】令原方程根的判别式△=b2﹣4ac＞0，求得k的取值，保证二次项的系数不为0即可．
【解答】解：由题意得：1﹣4k＞0；k≠0，
解得：k＜且k≠0，
故选D．
6．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．
A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；
C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
即，
解得：EC=2，
故选：B．
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【考点】梯形；线段垂直平分线的性质．
【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．
【解答】解：∵CD的垂直平分线交BC于E，
∴DE=CE，
∵AD=3，AB=5，BC=9，
∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．
故选A．
9．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
∴，
即；
解得AB=9．
故选：A．
10．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD=∠AED，则t的值为（ ）
A． B．0.5 C． D．1
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】根据题意知AE=5t、BF=3t，由==且∠DAE=∠ABF=90°证△ADE∽△BAF得∠2=∠3，结合∠3=∠4、∠1=∠2得∠1=∠4，即可知DF=DA，从而得62+（10﹣3t）2=102，解之可得t的值，继而根据0≤5t≤6且0≤3t≤10取舍可得答案．
【解答】解：如图，
根据题意知，AE=5t，BF=3t，
∵BC=10cm，DC=6cm，
∴==， ==，
∴，
又∵∠DAE=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△BAF，
∴∠2=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∴DF=DA，即DF2=AD2，
∵BF=3t，BC=10，
∴CF=10﹣3t，
∴DF2=DC2+CF2，即DF2=62+（10﹣3t）2，
∴62+（10﹣3t）2=102，
解得：t=或t=6，
∵0≤5t≤6且0≤3t≤10，
∴0≤t≤，
∴t=，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠﹣3 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．
【解答】解：由题意得，x+3≠0，
即x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
12．若分式的值为0，则x的值为 ﹣2 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：若分式的值为0，则x2﹣4=0且x﹣2≠0．
开方得x1=2，x2=﹣2．
当x=2时，分母为0，不合题意，舍去．
故x的值为﹣2．
故答案为﹣2．
13．为庆祝祖国60周年华诞，在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，已知天安门广场的面积为44万平方米，在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为 11 cm2．
【考点】比例线段；相似多边形的性质．
【分析】地图与实际图形的是相似形，比例尺即为相似比，相似比是1：20000，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：设地图上的图形的面积是x×10﹣8万平方米．
根据题意得到：（x×10﹣8）：44=（1：20000）2．解得x=11．
即在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为11cm2．
14．某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2014年的盈利额为 220 万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设出营业额增长的百分率x，根据等量关系“2015年的营业额等于2013年的营业额乘（1+增长的百分率）乘（1+增长的百分率）”列出一元二次方程求解增长的百分率，再通过一元一次方程解得：2014年的盈利额等于2013年的营业额乘（1+增长的百分率）．
【解答】解：设盈利额增长的百分率为x；
由题意得，200（1+x）2=242，
解得x=0.1或﹣2.1（不合题意，舍去），
故x=0.1
∴该公司在2014年的盈利额为：200（1+x）=220万元．
故答案为：220．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为 5 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．
【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴BA=10，
∴其外接圆的半径为5．
16．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= 2 ．
【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解．
【解答】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴=2．
故答案为：2．
17．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是 ∠ABP=∠C（答案不唯一） ．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对应角相等即可．
【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即∠ABP=∠C，
故答案为：∠ABP=∠C（答案不唯一）．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 或5 ．
【考点】相似三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CF：CE=3：4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点．
【解答】解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF=3：4，如图1所示．
∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∴cosA===，
∴AD=AC•cosA=6×=；
②若CF：CE=3：4，如图2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴D点为AB的中点，
∴AD=AB=×10=5．
故答案为：或5．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（1）化简：；
（2）计算：﹣．
【考点】分式的加减法．
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据同分母分式的加减，分母不变分子相加减，可得答案．
【解答】解：（1）原式==x+y；
（2）原式===a+b．
20．（1）解方程： =；
（2）4（x﹣1）2=36；
（3）解方程：x2﹣3x+2=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解分式方程．
【分析】（1）先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可．
（2）先将4（x﹣1）2=36，化为（x﹣1）2=9的形式，再求9的平方根即可．
（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x+2）得：3（x+2）=2x，
解得：x=﹣6，
检验：把x=﹣6代入x（x+2）≠0，
所以x=﹣6是原方程的解，
即原方程的解为x=﹣6．
（2）原方程化为，（x﹣1）2=9，
开方得，x﹣1=±3，
∴x=±3+1，
即x1=4，x2=﹣2．
（3）因式分解得，（x﹣2）（x﹣1）=0，
∴x﹣2=0，x﹣1=0，
∴x1=2，x2=1．
21．先化简，再求值：，其中．
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．
【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．
【解答】解：原式=
=
=
=﹣（x+4），
当时，
原式===．
22．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
【解答】证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=2∠D．
23．如图：若AB⊥BD，CD⊥BD，动点P在BD上且CP⊥AP，若AB=3，CD=2，BD=7．
（1）说明：△ABP∽△PDC；
（2）求出DP的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明△ABP∽△PDC，只要证明∠APB=∠C，∠B=∠D=90°即可．
（2）设DP=x，利用相似三角形的性质，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CP⊥AP，
∴∠D=∠B=∠CPA=90°，
∴∠C+∠CPD=90°，∠CPD+∠APB=90°，
∴∠C=∠APB，
∴△ABP∽△PDC．
（2）设DP=x，
∵△ABP∽△PDC，
∴=，
∴=，
解得x=1或6，
经检验x=1或6都是用方程的解．
∴DP=1或6．
24．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出的值．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示，
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
（1）在△ABC内放入正方形纸片DEFG，使边EF在斜边AB上，点D、G分别在AC、BC上．则正方形的边长为 ；
（2）类似第（1）小题，使正方形纸片一条边都在AB上，若在△ABC内并排（不重叠）放入两个小正方形，且只能放入两个，试确定小正方形边长的范围；
（3）在△ABC内并排放入（不重叠）边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放 16 个小正方形纸片．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作CH⊥AB于H，交DG于P，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CH，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）根据相似三角形的性质求出两个正方形的顶点分别在AC、BC上时，x的值即可；
（3）根据题意、结合图形，根据相似三角形的性质分别计算即可．
【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，交DG于P，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∴CH==4.8，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG∥AB，
∴=，即=，
解得，DG=，
故答案为：；
（2）如图2，当两个正方形的顶点分别在AC、BC上时，
设正方形的边长为x，
由（1）得， =，
解得，x=，
则小正方形边长x的范围是x≤；
（3）如图3，当DE=1时，
由（1）得， =，
解得，DG=，
则一条边都在AB上正方形的个数是7，
当PQ=2时， =，
解得，PR=，
则第二层正方形的个数是5，
同理，第三层正方形的个数是3，第④层正方形的个数是1，
则最多能摆放7+5+3+1=16个小正方形纸片．
故答案为：16．
26．大润发超市销售某厂家生产的A型智能手机，从厂家按出厂价800元/部进货，然后标价1200元/部销售，平均每天可售出10部．国庆七天假期，厂家和超市联合促销．厂家对超市承诺：在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元；对多销的部分，厂家每部再优惠50元．超市经过调查发现，若每部手机降价40元，平均每天可多售4部手机．
（1）若超市国庆期间某天售出10部手机，则每部A型智能手机的进货价是 750元/部 ．
（2）最后经统计，在这七天中，通过降价销售及厂家让利，超市销售A型智能手机共获得的总利润为58380元，且能让顾客尽可能得到实惠．那国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元解题；
（2）等量关系为：每台利润×（10+增加的台数）+50×增加的台数=32200÷7，把相关数值代入求得合适的解即可．
【解答】解：（1）依题意得：800﹣50=750（元）．
故答案是：750元/部；
（2）设国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价为元/部，
由题意得：，
解得x=4或6，为了能让顾客尽可能得到实惠，
所以x=6，1200﹣40×6=960
答：国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价960元/部．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α=0°时， = ；
②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究：
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决：
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据=，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据==，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．
【解答】解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC===10，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE=AC=5，BD=BC=4
∴=．
②如图1，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵=，
∴==．
故答案为：①，②．
（2）如图2，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵==，
∴△ECA∽△DCB，
∴==．
（3）①如图3，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==2，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB=3，
∴AE=AD+DE=2+3，
由（2），可得： =，
∴BD=AE=；
②如图4，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==2，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB=3，
∴AE=AD﹣DE=2﹣3，
由（2），可得： =，
∴BD=AE=．
综上所述，BD的长为．
28．如图∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线l．
（1）当点D恰好落在垂线l上时，求OA的长；
（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△A′O′B′，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△A′O′B′与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的平移过程中，若B′O′与线段BA交于点P，连接PD，PA′，A′D，是否存在这样的t，使△PA′D是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据l⊥ON，可得∠DBA+∠ABO=90°．由∠MON=90°，得∠ABO+∠BAO=90°，∠BAO=∠DBA．由题意知：∠BAD=90°，可得△ABO∽△BDA，从而求出OA
（2）分情况0≤t＜1； 1≤t＜4时； 4≤t≤5时，求出函数关系式．
（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），分两种情况讨论①当PA′=PD时，PA′2=PD2，②当PA′=A′D时，PA′2=A′D2，讨论即可得出结论．
【解答】解：（1）∵l⊥ON，
∴∠DBA+∠ABO=90°．
∵∠MON=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DBA．
由题意知：∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠AOB=90°，
∴△ABO∽△BDA．
∴．
由题意知：AB=2AD，OB=4，
∴，
∴OA=8．
（2）当0≤t＜1时，如图1，
AA1=2t，OB=4，OA=8，AB=4，
∵△AFA1∽△AOB，
∴，
∴AF=，A1'F=，
S=S△AFA1=AF×A1F=．
当1≤t＜4时，如图2，
在Rt△EHA2中，A2E=2t﹣2．A2A=2t．AE=2，
∵△EHA2∽△AOB，
∴，
∴
∴HE=t﹣1
∵△AGA2∽△AOB，
，
∴，
∴AG=，A2G=，
∴S=AG×A2N﹣A2E×EH=﹣．
当4≤t≤5时，如图3，
AA3=2t，OA=8，AE=2，OE=BD=10，AO3=2t﹣8，A3E=2t﹣2，
HE=t﹣1，HA3=（t﹣1），HD=5﹣t，
∵△DHG∽△HEA3，
∴
∴HG=，DG=，
∵△A3EH∽△AFO3，
∴
∴FO3=4（4﹣t），
∴S=AE×DE﹣HE×A3E﹣AO3×FO3=﹣．
（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），理由如下：
如图4，
由题意知：BB'=AA'=2t，O′A′=OA=8，DE=B′O′=BO=4．
∵△BB'P∽△AOB，
∴，
即，
∴B'P=t．
∵△DAE∽△ABO，
∴，
即，
∴AE=2，
∴BD=OE=OA+AE=10．
∴PO′=4﹣t，B′D=10﹣2t，A′E=10﹣8﹣2t或2t+8﹣10．
在Rt△PO'A'中，PA'2=PO'2+O'A'2=t2﹣8t+80．
在Rt△PB'D中，PD2=PB'2+B'D2=5t2﹣40t+100．
在Rt△A'DE中，A'D2=DE2+A'E2=4t2﹣8t+20．
①当PA′=PD时，PA′2=PD2，即t2﹣8t+80=5t2﹣40t+100，
解得．
∵0≤t≤4，
∴t=4﹣．
②当PA′=A′D时，PA′2=A′D2，即t2﹣8t+80=4t2﹣8t+20，
解得t=±2．
∵0≤t≤4，
∴此种情况不成立．
③当PD=A'D时，PD2=A'D2，即：5t2﹣40t+100=4t2﹣8t+20，
∴t=16±4，
∵0≤t≤4，
∴t=16﹣4．
2017年2月28日
苏科版数学九年级上册月考模拟试卷
一、选择题
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．方程=的解为（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x=4 D．x=8
3．已知，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．6 C．﹣5 D．5
5．已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且k≠0
6．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
9．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
10．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD=∠AED，则t的值为（ ）
A． B．0.5 C． D．1
二、填空题
11．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
12．若分式的值为0，则x的值为 ．
13．为庆祝祖国60周年华诞，在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，已知天安门广场的面积为44万平方米，在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为 cm2．
14．某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2014年的盈利额为 万元．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为 ．
16．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= ．
17．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 ．
三、解答题
19．（1）化简：； （2）计算：﹣．
20．（1）解方程： =； （2）4（x﹣1）2=36；
（3）解方程：x2﹣3x+2=0．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
23．如图：若AB⊥BD，CD⊥BD，动点P在BD上且CP⊥AP，若AB=3，CD=2，BD=7．
（1）说明：△ABP∽△PDC；
（2）求出DP的长．
24．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
（1）在△ABC内放入正方形纸片DEFG，使边EF在斜边AB上，点D、G分别在AC、BC上．则正方形的边长为 ；
（2）类似第（1）小题，使正方形纸片一条边都在AB上，若在△ABC内并排（不重叠）放入两个小正方形，且只能放入两个，试确定小正方形边长的范围；
（3）在△ABC内并排放入（不重叠）边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放 个小正方形纸片．
26．大润发超市销售某厂家生产的A型智能手机，从厂家按出厂价800元/部进货，然后标价1200元/部销售，平均每天可售出10部．国庆七天假期，厂家和超市联合促销．厂家对超市承诺：在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元；对多销的部分，厂家每部再优惠50元．超市经过调查发现，若每部手机降价40元，平均每天可多售4部手机．
（1）若超市国庆期间某天售出10部手机，则每部A型智能手机的进货价是 ．
（2）最后经统计，在这七天中，通过降价销售及厂家让利，超市销售A型智能手机共获得的总利润为58380元，且能让顾客尽可能得到实惠．那国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价是多少？
27．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α=0°时， = ；
②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究：
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决：
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
28．如图∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线l．
（1）当点D恰好落在垂线l上时，求OA的长；
（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△A′O′B′，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△A′O′B′与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的平移过程中，若B′O′与线段BA交于点P，连接PD，PA′，A′D，是否存在这样的t，使△PA′D是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
2．方程=的解为（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x=4 D．x=8
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x﹣8=3x，
解得：x=8，
经检验x=8是分式方程的解，
故选D
3．已知，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【考点】分式的基本性质．
【分析】由，可得a=2b，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由，可得a=2b，
那么==5．
故选：B．
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．6 C．﹣5 D．5
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，
∴x1+x2=﹣=﹣=5，
故选D．
5．已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】令原方程根的判别式△=b2﹣4ac＞0，求得k的取值，保证二次项的系数不为0即可．
【解答】解：由题意得：1﹣4k＞0；k≠0，
解得：k＜且k≠0，
故选D．
6．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．
A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；
C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
即，
解得：EC=2，
故选：B．
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【考点】梯形；线段垂直平分线的性质．
【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．
【解答】解：∵CD的垂直平分线交BC于E，
∴DE=CE，
∵AD=3，AB=5，BC=9，
∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．
故选A．
9．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
∴，
即；
解得AB=9．
故选：A．
10．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD=∠AED，则t的值为（ ）
A． B．0.5 C． D．1
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】根据题意知AE=5t、BF=3t，由==且∠DAE=∠ABF=90°证△ADE∽△BAF得∠2=∠3，结合∠3=∠4、∠1=∠2得∠1=∠4，即可知DF=DA，从而得62+（10﹣3t）2=102，解之可得t的值，继而根据0≤5t≤6且0≤3t≤10取舍可得答案．
【解答】解：如图，
根据题意知，AE=5t，BF=3t，
∵BC=10cm，DC=6cm，
∴==， ==，
∴，
又∵∠DAE=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△BAF，
∴∠2=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∴DF=DA，即DF2=AD2，
∵BF=3t，BC=10，
∴CF=10﹣3t，
∴DF2=DC2+CF2，即DF2=62+（10﹣3t）2，
∴62+（10﹣3t）2=102，
解得：t=或t=6，
∵0≤5t≤6且0≤3t≤10，
∴0≤t≤，
∴t=，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠﹣3 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．
【解答】解：由题意得，x+3≠0，
即x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
12．若分式的值为0，则x的值为 ﹣2 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：若分式的值为0，则x2﹣4=0且x﹣2≠0．
开方得x1=2，x2=﹣2．
当x=2时，分母为0，不合题意，舍去．
故x的值为﹣2．
故答案为﹣2．
13．为庆祝祖国60周年华诞，在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，已知天安门广场的面积为44万平方米，在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为 11 cm2．
【考点】比例线段；相似多边形的性质．
【分析】地图与实际图形的是相似形，比例尺即为相似比，相似比是1：20000，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：设地图上的图形的面积是x×10﹣8万平方米．
根据题意得到：（x×10﹣8）：44=（1：20000）2．解得x=11．
即在比例尺为1：20000的地图上天安门的面积为11cm2．
14．某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2014年的盈利额为 220 万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设出营业额增长的百分率x，根据等量关系“2015年的营业额等于2013年的营业额乘（1+增长的百分率）乘（1+增长的百分率）”列出一元二次方程求解增长的百分率，再通过一元一次方程解得：2014年的盈利额等于2013年的营业额乘（1+增长的百分率）．
【解答】解：设盈利额增长的百分率为x；
由题意得，200（1+x）2=242，
解得x=0.1或﹣2.1（不合题意，舍去），
故x=0.1
∴该公司在2014年的盈利额为：200（1+x）=220万元．
故答案为：220．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为 5 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．
【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴BA=10，
∴其外接圆的半径为5．
16．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= 2 ．
【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解．
【解答】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴=2．
故答案为：2．
17．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是 ∠ABP=∠C（答案不唯一） ．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对应角相等即可．
【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即∠ABP=∠C，
故答案为：∠ABP=∠C（答案不唯一）．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 或5 ．
【考点】相似三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CF：CE=3：4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点．
【解答】解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF=3：4，如图1所示．
∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∴cosA===，
∴AD=AC•cosA=6×=；
②若CF：CE=3：4，如图2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴D点为AB的中点，
∴AD=AB=×10=5．
故答案为：或5．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（1）化简：；
（2）计算：﹣．
【考点】分式的加减法．
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据同分母分式的加减，分母不变分子相加减，可得答案．
【解答】解：（1）原式==x+y；
（2）原式===a+b．
20．（1）解方程： =；
（2）4（x﹣1）2=36；
（3）解方程：x2﹣3x+2=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解分式方程．
【分析】（1）先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可．
（2）先将4（x﹣1）2=36，化为（x﹣1）2=9的形式，再求9的平方根即可．
（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x+2）得：3（x+2）=2x，
解得：x=﹣6，
检验：把x=﹣6代入x（x+2）≠0，
所以x=﹣6是原方程的解，
即原方程的解为x=﹣6．
（2）原方程化为，（x﹣1）2=9，
开方得，x﹣1=±3，
∴x=±3+1，
即x1=4，x2=﹣2．
（3）因式分解得，（x﹣2）（x﹣1）=0，
∴x﹣2=0，x﹣1=0，
∴x1=2，x2=1．
21．先化简，再求值：，其中．
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．
【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．
【解答】解：原式=
=
=
=﹣（x+4），
当时，
原式===．
22．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
【解答】证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=2∠D．
23．如图：若AB⊥BD，CD⊥BD，动点P在BD上且CP⊥AP，若AB=3，CD=2，BD=7．
（1）说明：△ABP∽△PDC；
（2）求出DP的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明△ABP∽△PDC，只要证明∠APB=∠C，∠B=∠D=90°即可．
（2）设DP=x，利用相似三角形的性质，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CP⊥AP，
∴∠D=∠B=∠CPA=90°，
∴∠C+∠CPD=90°，∠CPD+∠APB=90°，
∴∠C=∠APB，
∴△ABP∽△PDC．
（2）设DP=x，
∵△ABP∽△PDC，
∴=，
∴=，
解得x=1或6，
经检验x=1或6都是用方程的解．
∴DP=1或6．
24．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出的值．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示，
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
（1）在△ABC内放入正方形纸片DEFG，使边EF在斜边AB上，点D、G分别在AC、BC上．则正方形的边长为 ；
（2）类似第（1）小题，使正方形纸片一条边都在AB上，若在△ABC内并排（不重叠）放入两个小正方形，且只能放入两个，试确定小正方形边长的范围；
（3）在△ABC内并排放入（不重叠）边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放 16 个小正方形纸片．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作CH⊥AB于H，交DG于P，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CH，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）根据相似三角形的性质求出两个正方形的顶点分别在AC、BC上时，x的值即可；
（3）根据题意、结合图形，根据相似三角形的性质分别计算即可．
【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，交DG于P，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∴CH==4.8，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG∥AB，
∴=，即=，
解得，DG=，
故答案为：；
（2）如图2，当两个正方形的顶点分别在AC、BC上时，
设正方形的边长为x，
由（1）得， =，
解得，x=，
则小正方形边长x的范围是x≤；
（3）如图3，当DE=1时，
由（1）得， =，
解得，DG=，
则一条边都在AB上正方形的个数是7，
当PQ=2时， =，
解得，PR=，
则第二层正方形的个数是5，
同理，第三层正方形的个数是3，第④层正方形的个数是1，
则最多能摆放7+5+3+1=16个小正方形纸片．
故答案为：16．
26．大润发超市销售某厂家生产的A型智能手机，从厂家按出厂价800元/部进货，然后标价1200元/部销售，平均每天可售出10部．国庆七天假期，厂家和超市联合促销．厂家对超市承诺：在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元；对多销的部分，厂家每部再优惠50元．超市经过调查发现，若每部手机降价40元，平均每天可多售4部手机．
（1）若超市国庆期间某天售出10部手机，则每部A型智能手机的进货价是 750元/部 ．
（2）最后经统计，在这七天中，通过降价销售及厂家让利，超市销售A型智能手机共获得的总利润为58380元，且能让顾客尽可能得到实惠．那国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元解题；
（2）等量关系为：每台利润×（10+增加的台数）+50×增加的台数=32200÷7，把相关数值代入求得合适的解即可．
【解答】解：（1）依题意得：800﹣50=750（元）．
故答案是：750元/部；
（2）设国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价为元/部，
由题意得：，
解得x=4或6，为了能让顾客尽可能得到实惠，
所以x=6，1200﹣40×6=960
答：国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价960元/部．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α=0°时， = ；
②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究：
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决：
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据=，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据==，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．
【解答】解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC===10，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE=AC=5，BD=BC=4
∴=．
②如图1，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵=，
∴==．
故答案为：①，②．
（2）如图2，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵==，
∴△ECA∽△DCB，
∴==．
（3）①如图3，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==2，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB=3，
∴AE=AD+DE=2+3，
由（2），可得： =，
∴BD=AE=；
②如图4，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==2，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB=3，
∴AE=AD﹣DE=2﹣3，
由（2），可得： =，
∴BD=AE=．
综上所述，BD的长为．
28．如图∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线l．
（1）当点D恰好落在垂线l上时，求OA的长；
（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△A′O′B′，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△A′O′B′与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的平移过程中，若B′O′与线段BA交于点P，连接PD，PA′，A′D，是否存在这样的t，使△PA′D是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据l⊥ON，可得∠DBA+∠ABO=90°．由∠MON=90°，得∠ABO+∠BAO=90°，∠BAO=∠DBA．由题意知：∠BAD=90°，可得△ABO∽△BDA，从而求出OA
（2）分情况0≤t＜1； 1≤t＜4时； 4≤t≤5时，求出函数关系式．
（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），分两种情况讨论①当PA′=PD时，PA′2=PD2，②当PA′=A′D时，PA′2=A′D2，讨论即可得出结论．
【解答】解：（1）∵l⊥ON，
∴∠DBA+∠ABO=90°．
∵∠MON=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DBA．
由题意知：∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠AOB=90°，
∴△ABO∽△BDA．
∴．
由题意知：AB=2AD，OB=4，
∴，
∴OA=8．
（2）当0≤t＜1时，如图1，
AA1=2t，OB=4，OA=8，AB=4，
∵△AFA1∽△AOB，
∴，
∴AF=，A1'F=，
S=S△AFA1=AF×A1F=．
当1≤t＜4时，如图2，
在Rt△EHA2中，A2E=2t﹣2．A2A=2t．AE=2，
∵△EHA2∽△AOB，
∴，
∴
∴HE=t﹣1
∵△AGA2∽△AOB，
，
∴，
∴AG=，A2G=，
∴S=AG×A2N﹣A2E×EH=﹣．
当4≤t≤5时，如图3，
AA3=2t，OA=8，AE=2，OE=BD=10，AO3=2t﹣8，A3E=2t﹣2，
HE=t﹣1，HA3=（t﹣1），HD=5﹣t，
∵△DHG∽△HEA3，
∴
∴HG=，DG=，
∵△A3EH∽△AFO3，
∴
∴FO3=4（4﹣t），
∴S=AE×DE﹣HE×A3E﹣AO3×FO3=﹣．
（3）存在满足条件的t（0≤t≤4），理由如下：
如图4，
由题意知：BB'=AA'=2t，O′A′=OA=8，DE=B′O′=BO=4．
∵△BB'P∽△AOB，
∴，
即，
∴B'P=t．
∵△DAE∽△ABO，
∴，
即，
∴AE=2，
∴BD=OE=OA+AE=10．
∴PO′=4﹣t，B′D=10﹣2t，A′E=10﹣8﹣2t或2t+8﹣10．
在Rt△PO'A'中，PA'2=PO'2+O'A'2=t2﹣8t+80．
在Rt△PB'D中，PD2=PB'2+B'D2=5t2﹣40t+100．
在Rt△A'DE中，A'D2=DE2+A'E2=4t2﹣8t+20．
①当PA′=PD时，PA′2=PD2，即t2﹣8t+80=5t2﹣40t+100，
解得．
∵0≤t≤4，
∴t=4﹣．
②当PA′=A′D时，PA′2=A′D2，即t2﹣8t+80=4t2﹣8t+20，
解得t=±2．
∵0≤t≤4，
∴此种情况不成立．
③当PD=A'D时，PD2=A'D2，即：5t2﹣40t+100=4t2﹣8t+20，
∴t=16±4，
∵0≤t≤4，
∴t=16﹣4．
2017年2月28日
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