第02讲 一元二次不等式及其解法（解析版）练习题

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第2讲　一元二次不等式及其解法 [A级　基础练]1．（2020•重庆模拟）一元二次不等式的解集为　　A． B．或 C． D．或【分析】根据不等式对应方程的解，写出不等式的解集．【解答】解：不等式对应方程的解为和，所以不等式的解集为，．故选：．2．不等式<1的解集是(　　)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)  D．(－1，1)解析：选A.因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1.3．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则＝(　　)A．   B．C．－   D．－解析：选A.由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.4．（2021•临渭区期末）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．【分析】根据一元二次不等式的解集为，△，列不等式求出的取值范围．【解答】解：不等式的解集为，△，解得，实数的取值范围是．故选：．5．(多选)下列四个解不等式，正确的有(　　)A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，则a的值是3D．若关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1解析：选BCD.对于A，因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，所以由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，所以不等式的解集为.故A错误；对于B，因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，所以(2x－1)(3x＋2)≥0，所以x≥或x≤－.故B正确；对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．所以－7×(－1)＝，所以a＝3.故C正确；对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．6．（2020秋•开封期末）不等式的解集为　         　．【分析】不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式可化为，即，解得或，所以不等式的解集为，，．故答案为：，，．7．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________．解析：原不等式可化为(x－a)<0，由0<a<1得a<，所以a<x<.答案：8．若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：方法一：当x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，因为不等式x2＋2ax＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以x2＋2ax＋1＝0在R上无解或有两个相等的实根或x2＋2ax＋1＝0有两个不等的实根且两根均小于0，所以Δ＝4a2－4≤0或解得a≥－1.方法二：因为x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，不等式可化为－2a≤x＋(x∈(0，＋∞))，由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以易知－2a≤2，解得a≥－1.综上，a≥－1.答案：[－1，＋∞)9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入方程解得a＝－2.(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－3<x<，即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为.10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．解：(1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，所以，得，所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因为F(x)＝，所以F(2)＋F(－2)＝8.(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在x∈(0，1]恒成立，根据单调性可得－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.[B级　综合练]11．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　)A．b<0且c>0B．a－b＋c>0C．a＋b＋c>0D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)解析：选ABD.对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)，所以D正确．12．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)A．[－4，1]   B．[－4，3]C．[1，3]   D．[－1，3]解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.13．（2020秋•上饶月考）在上定义运算：若存在使得成立，则实数的取值范围是　         　．【分析】由题意化为，问题等价于“存在使得不等式成立”，求出的最小值，建立关于的不等式，求出解集即可．【解答】解：由题意知，可化为，即；问题化为：存在使得不等式成立，设，则；等价于为，即，解得或，则实数的取值范围是，，．故答案为：，，．14．（2021•聊城期末）若，解关于的不等式．【分析】讨论与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，从而求出不等式的解集．【解答】解：当时，．                                               当时，．当时，，解得．                  当时，．当时，．                                                当时，，或．当时，，或．                                      当时，解集是；当时，解集是；当时，解集是；当时，解集是． [C级　创新练]  15．若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，即x2－2x＋1<a(x＋1)－1，分别令y1＝x2－2x＋1，y2＝a(x＋1)－1，易知y2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A＝{x∈Z|f(x)<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0，1)和点(2，1)在直线上或者在直线上方，点(1，0)在直线下方，所以解得<a≤.答案：16．已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.　(1)当k变化时，试求不等式的解集A；(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．解：(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或x>k＋}；当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝{x|k＋<x<4}．(2)由(1)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．因为k＋＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，此时A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．