专题二 对棱相等模型(原卷版)

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专题二　对棱相等模型 【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】[例]　(1)正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为________．答案　　解析　这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，，，．(2)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥外接球的表面积为________．答案　　解析　构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，，，，，，．(3)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．答案　　解析　依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为．(4)在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．答案　A　解析　将侧面和展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为，则的最小值为，．在正四面体的边长为2，外接球的半径，外接球的体积．(5)已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则________．答案　　解析　将四面体放置于长方体中，四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个，长方体的外接球就是四面体的外接球，，，且三组对棱两两相等，设，得长方体的对角线长为，可得外接球的直径，所以，三棱锥的外接球表面积为，，解得，即，解之得，因即．【对点训练】1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为________．2．表面积为的正四面体的外接球的表面积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．3．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．4．三棱锥中S－ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝．则三棱锥的外接球的表面积为______.5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝________.6．正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．