专题四 垂面模型(原卷版)

专题四　垂面模型

【方法总结】

垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

【例题选讲】

[例]　(1)已知在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1．则该三棱锥的外接球的体积为(　　)

A．π　　　　　　B．13π　　　　　　C．π　　　　　　D．π

答案　D　解析　∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆半径r＝＝，则三棱锥外接球即为以△ABC为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径R满足R＝＝，故三棱锥外接球的体积V＝πR3＝π．故选D．

第(1)小题图                     第(2)小题图1　　　　     　　　第(2)小题图2

(2)三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)

A．23π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．64π　　　　　　　　D．π

答案　D　解析　如图1，设O为三棱锥外接球的球心，O1为正△PAC的中心，则OO1＝AB＝2．2AO1＝＝，AO1＝，R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝＋4＝，故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π．

另解：如图2，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点．由平面PAC⊥平面ABC，则O′H⊥平面ABC．作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2．∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝．故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π．

(3)在三棱锥S－ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)

A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．π

答案　B　解析　由题意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，则在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，设△ABC的外接圆半径为r，则△ABC的外接圆直径2r＝＝，∴r＝，又∵侧棱SA⊥底面ABC，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离h＝SA＝，则外接球的半径R＝＝，则该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝π.

(4)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120˚，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A．10π　　　　　　　B．18π　　　　　　　C．20π　　　　　　　D．9π

答案　C　解析　如图1，先由余弦定理求出BC＝2，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直径R＝＝，所以该球的表面积为4πR2＝20π．

第(3)小题图                          第(4)小题图1　　　　     　　     　第(4)小题图2

另解　如图2，该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P－ABC，PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R＝＝2⇒R＝，所以该球的表面积为4πR2＝20π．

(5)在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________．

答案　　解析　在中，，，，由余弦定理得：

，即，解得：．设的外接圆半径为，由正弦定理得解得：；且

，又为中点，在中，，，．由余弦定理得：，即：，解得．又因为平面，所以为直线与平面所成角，由，得，，所以在中，．设三棱锥的外接球半径为，所以，三棱锥外接球表面积为．

【对点训练】

1．三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)

A．18π　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．21π　　　　　　　　D．42π

2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若

AB＝2，则球O的表面积为(　　)

A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．32π

3．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠

BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)

A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．64π

4．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点

都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．12π

5．在三棱锥A－BCD中，AC＝CD＝，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面

上，则球的表面积是________．

6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD

的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是(　　)

A．7π　　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　　C．3π　　　　　　　　　D．π

7．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为的正方形．若

，则△OAB的面积为(　　)．

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

8．三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为

________．

9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且

有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD＝，ED＝，若鳖臑P－ADE的外接球的体积为9π，则阳马P－ABCD的外接球的表面积为________．

10．在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且

，，直线与平面所成的角为．记点的轨迹长度为，则________．；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为________．