2017年长沙市雨花区雅礼中学中考模拟数学试卷

这是一份2017年长沙市雨花区雅礼中学中考模拟数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 将式子 3−5−7 写成和的形式，正确的是
A. 3+5+7B. −3+−5+−7
C. 3−+5−+7D. 3+−5+−7

2. 2015 年我国大学生毕业人数将达到 7490000 人，这个数据用科学记数法表示为
A. 7.49×107B. 7.49×106C. 74.9×105D. 0.749×107

3. 下列计算正确的是
A. a3+a2=a5B. 3a−b2=9a2−b2
C. −ab32=a2b6D. a6b÷a2=a3b

4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 数据 1，2，3，4，4，5 的众数是
A. 5B. 3C. 3.5D. 4

6. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为
A. B.
C. D.

7. 如图，直线 l 经过第二、三、四象限，直线 l 的解析式是 y=m−2x−2，则 m 的取值范围在数轴上表示为
A. B.
C. D.

8. 如图，在正方形 ABCD 中，△ABE 和 △CDF 为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90∘，AE=CF=5，BE=DF=12，则 EF 的长是
A. 7B. 8C. 72D. 73

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 一个数的立方根是 4，那么这个数的平方根是 ．

10. 分解因式：3m2−27= ．

11. 使 x2x−1 有意义的 x 的取值范围是 ．

12. 如图，AD∥BC，BD 平分 ∠ABC，∠A:∠ABC=2:1，则 ∠ADB= 度．

13. 小明第一次抛一枚质地均匀的硬币时反面向上，第二次抛此枚硬币时也是反面向上，则他第三次抛这枚硬币时，正面向上的概率是 ．

14. 如图，DE 与 BC 不平行，当 ABAC= 时，△ABC 与 △ADE 相似．

15. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是 ．

16. 观察下列单项式：−x，3x2，−5x3，7x4，⋯，−37x19，39x20 的特点，写出第 n 个单项式．为了解决这个问题，特提供下面的解题思路：（1）先观察这组单项式系数的符号及绝对值的规律；（2）再看这组单项式次数的规律．请根据你的经验，猜想第 n 个单项式可表示为 ．（用含 n 的式子表示）

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：−14+2016−π0−−12−1+∣1−3∣−2sin60∘．

18. 解下列不等式组 5x−2>3x+1, ⋯⋯①12x−2≤7−52x, ⋯⋯② 并在数轴上表示出该不等式组的解集．

19. 已知 y=2y1+y2，y1 与 x−2 成正比例，y2 与 5x 成反比例，且当 x=2 时，y=0.9；当 x=1 时，y=0.2．求 y 与 x 间的函数解析式．

20. 有一个可自由转动的转盘，被分成了 4 个相同的扇形，分别标有数 1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数 0，1，3 的三个小球（除数不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为 0 的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗?为什么?如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．

21. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于 40%．经试销发现，销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为 Q 元，试写出利润 Q（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润?最大利润是多少元?
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于 600 元，请确定销售单价 x 的取值范围．

22. 如图，山坡上有一根旗杆 AB，旗杆底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 63 米，斜坡 BC 的坡度 i=1:3，小明在山脚的平地 F 处测量旗杆的高，点 C 到测角仪 EF 的水平距离 CF=1 米，从 E 处测得旗杆顶部 A 的仰角为 45∘，旗杆底部 B 的仰角为 20∘．
（参考数值：sin20∘≈0.34，cs20∘≈0.94，tan20∘≈0.36）
（1）求坡角 ∠BCD；
（2）求旗杆 AB 的高度．

23. 如图，Rt△ABC 中，∠A=90∘，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，点 E 在 ⊙O 上，CE=CA，AB，CE 的延长线交于点 F．
（1）求证：CE 与 ⊙O 相切；
（2）若 ⊙O 的半径为 3，EF=4，求 BD 的长．

24. 李老师家距学校 1900 米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有 23 分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用 20 分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的 5 倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用 4 分钟．
（1）求李老师步行的平均速度；
（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．

25. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以底边 BC 的垂直平分线和 BC 所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 y=0.5x2−3.5x−4 经过 A，B 两点．若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段 OA，CA 和抛物线于点 E，M 和 P，连接 PA，PB．设直线 l 移动的时间为 t0
26. （1）发现
如图1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b．
填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示）．
（2）应用
点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=3，AB=1．如图2所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE．
①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段 BE 长的最大值．
（3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 5,0，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA=2，PM=PB，∠BPM=90∘．请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C
4. B【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 正确；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 C 错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误．
5. D
6. C
7. C
8. C【解析】由勾股定理，得 AB=13 .中间小正方形的面积为 132−4×12×12×5=49 .
∴EF=72 .
第二部分
9. ±8
【解析】设这个数为 x，则根据题意可知 3x=4，
解得 x=64，即 64 的平方根为 ±8．
10. 3m+3m−3
11. x≥0 且 x≠12
12. 30
13. 12
14. AEAD
15. 70
16. 2n−1−xn 或 −1n2n−1xn
第三部分
17. 原式=−1+1−−2+3−1−2×32=−1+1+2+3−1−3=1.
18. 解不等式 ①，得
x>52.
解不等式 ②，得
x≤3.
所以原不等式组的解集是
52在数轴上表示如图．
19. 设 y1=kx−2，y2=m5x，
∴y=2kx−2+m5x，
又 ∵ 当 x=2 时，y=0.9；
当 x=1 时，y=0.2，
∴m10=0.9,−2k+m5=0.2.
∴m=9,k=45.
∴y=85x+95x−165．
20. （1） 画树状图如下：
由图（表）知，所有等可能的结果有 12 种，其中积为 0 的有 4 种，
所以，积为 0 的概率为 P=412=13．
（2） 不公平．
因为由图（表）知，积为奇数的有 4 种，积为偶数的有 8 种．
所以，积为奇数的概率为 P1=412=13，积为偶数的概率为 P2=812=23．
因为 13≠23，
所以，该游戏不公平．
游戏规则可修改为：若这两个数的积为 0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢，若 2 人都不胜则游戏继续．
21. （1） 设 y=kx+bk≠0，
根据题意得 55k+b=65,60k+b=60,
解得 k=−1,b=120.
所求一次函数的表达式为 y=−x+120．
（2） 利润 Q 与销售单价 x 之间的函数关系式为 Q=x−50−x+120=−x2+170x−6000=−x−852+1225．
∵ 试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于 40%，
∴ 0所以当试销单价定为 x=70 元时，最大利润为 −70−852+1225=1000（元）．
（3） 当 600=−x2+170x−6000，解得 x1=60，x2=110，
由（2）知，0故 60≤x≤70．
22. （1） ∵ 斜坡 BC 的坡度 i=1:3，
∴ tan∠BCD=BDDC=33，
∴ ∠BCD=30∘；
（2） 在 Rt△BCD 中，CD=BC×cs∠BCD=63×32=9，则 DF=DC+CF=10（米），
∵ 四边形 GDFE 为矩形，
∴ GE=DF=10（米），
∵ ∠AEG=45∘，
∴ AG=DE=10（米），
在 Rt△BEG 中，BG=GE×tan∠BEG≈10×0.36=3.6（米），
则 AB=AG−BG=10−3.6=6.4（米）．
答：旗杆 AB 的高度为 6.4 米．
23. （1） 连接 OE，OC．
在 △OEC 与 △OAC 中，
OE=OA,OC=OC,CE=CA,
∴△OEC≌△OAC．
∴∠OEC=∠OAC．
∵∠OAC=90∘，
∴∠OEC=90∘．
∴OE⊥CF 于 E．
∴CE 与 ⊙O 相切．
（2） 连接 AD．
∵∠OEC=90∘，
∴∠OEF=90∘．
∵⊙O 的半径为 3，
∴OE=OA=3．
在 Rt△OEF 中，∠OEF=90∘，OE=3，EF=4，
∴OF=OE2+EF2=5，
tanF=OEEF=34．
在 Rt△FAC 中，∠FAC=90∘，AF=AO+OF=8，
∴AC=AF⋅tanF=6．
∵AB 为直径，
∴AB=6=AC，∠ADB=90∘．
∴BD=BC2．
在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，
∴BC=AB2+AC2=62．
∴BD=32．
24. （1） 设李老师步行的平均速度为 x m/分钟，骑电瓶车的平均速度为 5x m/分钟，
由题意得，
1900x−19005x=20.
解得：
x=76.
经检验，x=76 是原分式方程的解，且符合题意，
则 5x=76×5=380，
答：李老师步行的平均速度为 76 m/分钟，骑电瓶车的平均速度为 380 m/分钟．
（2） 由（1）得，李老师走回家需要的时间为：19002×76=12.5（分钟），
骑车走到学校的时间为：1900380=5（分钟），
12.5+5+4=21.5<23，
答：李老师能按时上班．
25. 对于抛物线 y=0.5x2−3.5x−4，令 y=0，得到 0.5x2−3.5x−4=0，
解得 x1=−1，x2=8；令 x=0，解得 y=−4；
所以 A8,0，B0,−4，
因为 AB=AC，OA⊥BC，
所以 OB=OC，
所以 C0,4，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
将 A8,0，C0,4 代入得 8k+b=0,b=4, 解得 k=−12,b=4.
所以直线 AC 的解析式为 y=−12x+4，
因为直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，时间为 t，
所以 OE=2t，P2t,2t2−7t−4，M2t,4−t，
因为 BC=8，PM=4−t−2t2−7t−4=−2t2+6t+8，AE=8−2t，
所以
S=S梯形BCMP+S△PMA=12⋅−2t2+6t+8+8×2t+128−2t−2t2+6t+8=−8t2+32t+32=−8t−22+64,
因为 −8<0，
所以当 t=2 时，四边形 PBCA 的最大面积为 64．
26. （1） CB 延长线上；a+b．
（2） ① DC=BE，理由如下：
∵ △ABD 和 △ACE 为等边三角形，
∴ AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∘．
∴ ∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即 ∠CAD=∠EAB．
∴ △CAD≌△EAB．
∴ DC=BE．
② BE 长的最大值是 4．
（3） AM 的最大值为 3+22，点 P 的坐标为 2−2,2．
如图1，
构造 △BNP≌△MAP，则 NB=AM．
由（1）知，当点 N 在 BA 的延长线上时，NB 有最大值（如图2）．
易得 AN=22，
∴ AM=NB=3+22．
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，
PE=AE=2，
∴ P2−2,2．