2017年苏州市立达中学中考二模数学试卷

这是一份2017年苏州市立达中学中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 67 的相反数是
A. −67B. 67C. −76D. 76

2. 下列运算正确的是
A. x4+x2=x6B. x2⋅x3=x6C. x8÷x2=x4D. x23=x6

3. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有 0.000000076 克，将数 0.000000076 用科学记数法表示为
A. 7.6×10−9B. 7.6×10−8C. 7.6×109D. 7.6×108

4. 小明在一次射击训练中，共射击 10 发，成绩如下（单位：环）：8，7，7，8，9，8，7，7，10，8，则中靶 8 环的频率是
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4

5. 已知关于 x 的方程 mx+3=4 的解为 x=1，则直线 y=m−2x−3 一定不经过的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

6. 如图，在 △ABC 中，∠B=55∘，∠C=30∘，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则 ∠BAD 的度数为
A. 65∘B. 60∘C. 55∘D. 45∘

7. 下列说法正确的是
A. 为了解苏州市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
B. 某种彩票的中奖机会是 1%，则买 100 张这种彩票一定会中奖
C. 一组数据 1，5，3，2，3，4，8 的众数和中位数都是 3
D. 若甲组数据的方差 s甲2=0.1，乙组数据的方差 s乙2=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定

8. 圆锥的底面半径为 4 cm，高为 3 cm，则它的表面积为
A. 20π cm2B. 16π cm2C. 36π cm2D. 56π cm2

9. 如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，以 CD 为边作等边三角形 CDE，BE 与 AC 相交于点 M，则 DM 的长为
A. 3+1B. 2+1C. 2D. 23−2

10. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，∠DAB=60∘，AE 分别交 BC，BD 于点 E，F，若 CE=2，连接 CF．
以下结论：① ∠BAF=∠BCF；②点 E 到 AB 的距离是 23；③ S△CDF︰S△BEF=9:4；④ tan∠DCF=37．
其中正确的有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 分解因式：2x2−2= ．

12. 如图，直线 l1∥l2，CD⊥AB 于点 D，若 ∠1=50∘，则 ∠BCD 的度数为 ∘．

13. 若式子 1x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

14. 某校在“祖国好、家乡美”主题宣传周里推出五条A，B，C，D，E旅游线路．某校摄影社团随机抽取部分学生举行“最爱旅游路线”投票活动，参与者每人选出一条心中最爱的旅游路线，社团对投票进行了统计，并绘制出如图不完整的条形统计图和扇形统计图．全校 2400 人中，请你估计，选择“C”路线的人数约为 ．

15. 如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是 ．

16. 如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，若 ⊙O 的半径为 2，∠BOC 与 ∠A 互补，则 BC 的长为 ．

17. 如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC，BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角 △ACD 和 △BCE，那么 DE 长的最小值是 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=5，AC=12，将 △ABC 沿射线 BC 方向平移 m 个单位长度到 △DEF，顶点 A，B，C 分别与 D，E，F 对应，若 △ADE 是等腰三角形，则 m 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：∣−1∣+9−1−30−12−1．

20. 解不等式组：x−1<2,2x+3≥x−1.

21. 先化简，再求值：1+1x2−1÷x2x2+2x+1，其中 x=2+1．

22. 某大型企业为了保护环境，准备购买A，B两种型号的污水处理设备共 8 台，用于处理不同成分的污水，若购买A型 2 台、B型 3 台需 54 万；购买A型 4 台、B型 2 台需要 68 万元．
（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水 220 吨，一台B型设备一个月可处理污水 190 吨，如果该企业每月的污水处理量不低于 1565 吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．

23. 如图，3×3 的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格 A，B，C 中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格 D，E，F 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．
（1）若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 ．
（2）若甲、乙均可在本层移动．
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．
②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 ．

24. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，且 BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若 AD=23，∠DAC=30∘，求 △ABC 的周长．

25. 如图，反比例函数 y=mx 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 2,3n，点 B 的坐标为 5n+2,1．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）将一次函数 y=kx+b 的图象沿 y 轴向下平移 a 个单位，使平移后的图象与反比例函数 y=mx 的图象有且只有一个交点，求 a 的值；
（3）点 E 为 y 轴上一个动点，若 S△AEB=5，则点 E 的坐标为 ．

26. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的 ⊙O 交 AB 于点 D，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F，连接 DE．
（1）求证：直线 DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求线段 AD 和 DE 的长．

27. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，P 是 BC 边上一动点（不与 B，C 两点重合），将 △ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 落在点 E 处；在 CD 上取一点 M，使得将 △CMP 沿直线 MP 翻折后，点 C 落在直线 PE 上的点 F 处，直线 PE 交 CD 于点 N，连接 AM，AN．
（1）若 P 为 BC 的中点，则 sin∠CPM= ；
（2）求证：∠PAN 的度数不变；
（3）当 P 在 BC 边上运动时，△ADM 的面积是否存在最小值，若存在，请求出 PB 的长；若不存在，请说明理由．

28. 在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=ax2−2ax+32 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），抛物线的顶点为 C，直线 AC 交 y 轴于点 D，D 为 AC 的中点．
（1）如图 1，求抛物线的顶点坐标；
（2）如图 2，点 P 为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，点 Q 的横坐标为 m，求 m 与 t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图 3，连接 AP，过点 C 作 CE⊥AP 于点 E，连接 BE，CE 分别交 PQ 于 F，G 两点，当点 F 是 △EPG 的外心时，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B
4. D
5. A
6. A【解析】由题意可得：MN 是 AC 的垂直平分线，则 AD=DC，故 ∠C=∠DAC，
∵∠C=30∘，
∴DAC=30∘，
∵∠B=55∘，
∴∠BAC=95∘，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=65∘．
7. C
8. C
9. C【解析】如图，连接 BD 交 AC 于点 N，
∵ ∠BCE=∠BCD+∠DCE=90∘+60∘=150∘，BC=EC，
∴ ∠EBC=∠BEC=12180∘−∠BCE=15∘，
∵ ∠BCM=12∠BCD=45∘，
∴ ∠BMC=180∘−∠BCM+∠EBC=120∘，
∴ ∠AMB=180∘−∠BMC=60∘，
∵ AC 是线段 BD 的垂直平分线，M 在 AC 上，
∴ ∠AMD=∠AMB=60∘，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AC⊥BD，
∴ ∠DNM=90∘，DN=12BD=1262+62=3，
∴ DM=DNsin∠DMN=DNsin60∘=2．
10. B
【解析】∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ AB=BC=6，
∵ ∠DAB=60∘，
∴ AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60∘，
在 △ABF 和 △CBF 中，
AB=BC,∠ABF=∠FBC,BF=BF,
∴ △ABF≌△CBF，
∴ ∠BAF=∠BCF，
∴ ①正确；
过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 延长线于点 G，如图：
∵ CE=2，BC=6，∠ABC=120∘，
∴ BE=6−2=4，∠CBG=60∘，
∵ EG⊥AG，
∴ GE=23，
∴ 点 E 到 AB 的距离是 23，
故②正确；
∵ BE=4，EC=2，
∴ S△BFE:S△FEC=4:2=2:1，
∴ S△ABF:S△FBE=3:2，
∴ S△FBE=25S△ABE=25×12×6×23=1235，S△ABF=35S△ABE=35×12×6×23=1835，
∵ S△ADB=12×6×33=93，
∴ S△DFC=S△ADB−S△ABF=93−1835=2735，
∴ S△CDF:S△FBE=9:4，
故③正确，
过点 F 作 FM 垂直 CD 于点 M ，
∴ FM=935，
∴ DM=MF3=95，
∴ CM=DC−DM=6−95=215，
∴ tan∠DCF=MFCM=337，
故④错误；
∴ 正确的结果有 3 个．
第二部分
11. 2x+1x−1
12. 40
13. x>1
14. 600 人
15. π4
【解析】∵ AB 为直径，
∴ ∠ACB=90∘．
∵ AC=BC=2，
∴ △ACB 为等腰直角三角形，
∴ OC⊥AB，
∴ △AOC 和 BOC 都是等腰直角三角形，
∴ S△AOC=S△BOC，OA=1，
∴ S阴影=S扇形AOC=90⋅π⋅12360=π4．
16. 23
17. 1
【解析】如图，连接 DE，
在等腰 Rt△ACD 和等腰 Rt△CBE 中，AD=CD，CE=BE，∠ACD=∠A=45∘，∠ECB=∠B=45∘，
∴ ∠DCE=90∘，
∴ AD2+CD2=AC2，CE2+BE2=CB2，
∴ CD2=12AC2，CE2=12CB2，
∴ DE2=CD2+CE2，
∴ DE=12AC2+12CB2=2−AC×CB=CB−12+1，
当 CB=1 时，DE 的值最小为 1，即 DE=1．
18. 5013，5 或 132
【解析】分三种情况讨论：
①如图 1，
当 m=AD=DE=5 时，△ADE 是等腰三角形；
②如图 2，
当 AE=DE=5 时，△ADE 是等腰三角形，
作 EM⊥AD，垂足为 M，则有：AM=12AD=12m，
在 Rt△AEM 中，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，
即 52=60132+12m2，
解得：m=5013 或 m=−5013（舍去）；
③当 m=12BC=132 时，△ADE 是等腰三角形，
∵ 当 m=132 时，BE=CE=132，
∵ ∠BAC=90∘，
∴ AE=12BC=132，
又 ∵ AD=m，
∴ AE=AD=132，
即当 AE=AD=132 时，△ADE 是等腰三角形，
综上所述，m 的值为 132，5013 或 5．
第三部分
19. ∣−1∣+9−1−30−12−1=1+3−1−2=1.
20.
x−1<2,2x+3≥x−1.
解得
x<3,x≥−4.
所以不等式组的解集为：
−4≤x<3.
21. 原式=x2x2−1⋅x2+2x+1x2=x+1x−1,
当 x=2+1 时，原式=2+22=1+2．
22. （1） 设A型污水处理设备的单价为 x 万元，B型污水处理设备的单价为 y 万元．
根据题意可得：
2x+3y=54,4x+2y=68,
解得：
x=12,y=10.
答：A型污水处理设备的单价为 12 万元，B型污水处理设备的单价为 10 万元．
（2） 设购进 a 台A型污水处理器，根据题意可得：
220a+1908−a≥1565,
解得：
a≥1.5,∵
A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，
∴ A型污水处理设备买越少，越省钱，
∴ 购进 2 台A型污水处理设备，购进 6 台B型污水处理设备最省钱．
23. （1） 23
【解析】若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有 3 种可能，其中有两种情形是轴对称图形，
∴ 若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 23．
（2） ①由树状图可知，共有 9 种等可能的情况，黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率 =59．
② 29
【解析】黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形，
①甲在 B 处，乙在 F 处，
②甲在 C 处，乙在 E 处，
∴ 黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 29．
24. （1） ∵AD 平分 ∠BAC，且 DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90∘，
在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，
BD=CD,DE=DF,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
（2） ∵∠BAD=∠CAD=30∘，
∴∠BAC=60∘，
又 AB=AC，
∴△ABC 为等边三角形，
又 BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AC=ADcs∠DAC=ADcs30∘=4，
∴△ABC 的周长为：3AC=3×4=12．
25. （1） 将 A，B 两点坐标代入反比例函数得：
3n=m2,1=m5n+2, 解得 m=12,n=2,
所以反比例函数的表达式为：y=12x，A2,6，B12,1，
将 A，B 坐标代入一次函数得：
6=2k+b,1=12k+b, 解得：k=−12,b=7.
所以一次函数表达式为：y=−12x+7．
（2） 两函数图象有且只有一个交点，
即 −12x+7−a=12x 只有一个解，
即 x2+2a−7x+24=0 有两个相等的根，
所以 Δ=2a−142−4×24=0，
解得：a1=7−26，a2=7+26．
（3） 0,6 或 0,8
26. （1） 连接 OD，如图 1 所示，
∵ 点 A 、点 D 均在圆上，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵EF 垂直平分 BD，
∴BE=DE，
∴∠B=∠EDF，
∵ 在 △ABC 中，∠C=90∘，
∴∠B+∠BAC=90∘．
又 ∵∠ODA=∠OAD，∠B=∠EDF，
∴∠ODA+∠EDF=90∘，
∴∠ODE=180∘−90∘=90∘，
∴OD⊥DE，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图 2，过点 O 作 OH⊥AD 于 H，则 AH=DH．
∵∠A=∠A，∠C=∠AHO=90∘，
∴△AOH∽△ABC，得 AH6=210，解得 AH=65，
∴AD=125；
连接 OE．设 DE=x，则 EB=ED=x，CE=8−x．
∵∠C=∠ODE=90∘，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2．
∴42+8−x2=22+x2，解得：x=4.75，即 DE=4.75．
27. （1） 55
（2） 连接 AC，
由题可得：2∠CPM=180∘−2∠APB，
∴∠CPM=90∘−∠APB，
又 ∵ 在 △ABP 中，∠B=90∘，
∴∠BAP=90∘−∠APB，
∴∠CPM=∠BAP，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴∠PAN=90∘−∠DAN−∠BAP=180∘−∠APN+∠ANP=180∘−∠BAP−∠ANC=45∘,
∴∠PAN 的度数为 45∘ 不变．
（3） 设 PB=x，由 △ABP∽△PCM，可得 CM=−14x2+x，
∴DM=14x2−x+4，
S△ADM=12×4×14x2−x+4=12x2−2x+8=12x−22+6，
故当 PB=x=2 时，△ADM 的面积存在最小值为 6．
28. （1） 抛物线 y=ax2−2ax+32=ax−12+32−a，
∴ 点 C1,32−a，
∵ 点 D 为 AC 中点，且 D 在 y 轴上，
∴ A−1,0，
将点 A 坐标代入抛物线解得：a=−12，
∴ C1,2．
（2） 由（1）得抛物线解析式为：y=−12x2+x+32，
∵ A−1,0，C1,2，
∴ 直线 AC 的解析式为 y=x+1，
作 QQʹ⊥PQʹ 于点 Qʹ，
∴ ∠CAO=∠AQQʹ=45∘，
∵ 点 Q 在直线 AC 上，
∴ Qm,m+1，
∵ 点 P 在抛物线上，
∴ Pt,−12t2+t+32，
∵ PQ⊥AC，
∴ ∠PQQʹ=∠QPQʹ=45∘，
∴ tan∠QPQʹ=1，
∴ 有 m+1−−12t2+t+32m−t=−1，即 m=−14t2+t+14．
（3） 如图，连接 DE，BD，BC，
∵ CE⊥AP，
∴ ∠ACE+∠CAE=90∘，
∴ PQ⊥AC，
∴ ∠APQ+∠CAE=90∘，
∴ ∠ACE=∠APQ，
∵ ∠CAE=∠CAE，
∴ △ACE∽△APQ，
∴ ∠APQ=∠ACE，
∵ ∠AEC=90∘，
∴ DE=AD=CD，
∴ ∠ACE=∠DEC，
∵ F 是 △EPG 的外心，
∴ EF=GF=PF，
∴ ∠APQ=∠PEF，
∴ ∠PEF=∠APQ=∠ACE=∠CED，
∴ ∠CED+∠BEC=∠PEF+∠BEC=∠PEC=90∘，
∵ A−1,0，D0,1，
∴ OA=OD，
∴ ∠BAC=45∘，
∵ 点 A，B 是抛物线与 x 轴的交点，点 C 是抛物线的顶点，
∴ AC=BC，
∴ ∠ABC=∠BAC=45∘，
∴ ∠ACB=90∘，
在 Rt△BCD 和 Rt△BED 中，
BD=BD,CD=ED,
∴ Rt△BCD≌Rt△BED，
∴ ∠BDC=∠BDE，
∵ DE=DC，
∴ BD⊥CE，
∵ AP⊥CE，
∴ AP∥BD，
∵ B3,0，D0,1，
∴ 直线 BD 的解析式为 y=−13x+1，
∵ A−1,0，
∴ 直线 AP 的解析式为 y=−13x−13，
联立抛物线和直线 AP 的解析式得 y=−13x−13,y=−12x2+x+32,
∴ x1=113,y1=−149, x2=−1,y2=0（舍去），
∴ P113,−149．