2017武汉市硚口区六十中学中考模拟数学试卷

这是一份2017武汉市硚口区六十中学中考模拟数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 a，b，c 都是有理数，那么 2a−3b+c 的相反数是
A. 3b−2a−cB. −3b−2a+cC. 3b−2a+cD. 3b+2a−c

2. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 火星和地球的距离约为 34000000 千米，用科学记数法表示 34000000 千米的结果是 千米．
A. 0.34×108B. 3.4×106C. 34×106D. 3.4×107

4. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是
A. 105∘B. 120∘C. 135∘D. 150∘

5. 下列运算正确的是 ．
A. x34=x7B. −x2⋅x3=x5
C. −x4÷x=−x3D. x+x2=x3

6. 下列命题中，正确的个数是
① 13 个人中至少有 2 人的生日是同一个月是必然事件；
②为了解我班学生的数学成绩，从中抽取 10 名学生的数学成绩是总体的一个样本；
③一名篮球运动员投篮命中概率为 0.7，他投篮 10 次，一定会命中 7 次；
④小颖在装有 10 个黑、白球的袋中，多次进行摸球试验，发现摸到黑球的频率在 0.6 附近波动，据此估计黑球约有 6 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 如图，在下列四个几何体中，它的三视图（主视图 、左视图、俯视图）不完全相同的是
A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④

8. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 10，圆周角 ∠ACB=45∘，则这个圆的直径 AD 为
A. 52B. 102C. 152D. 202

9. 如图，直线 y=−43x+8 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，点 M 是 OB 上一点，若直线 AB 沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的点 C 处，则点 M 的坐标是
A. 0,4B. 0,3C. −4,0D. 0,−3

10. 如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，∠OBC=45∘，则下列各式成立的是
A. b−c−1=0B. b+c+1=0C. b−c+1=0D. b+c−1=0

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：a3−4a2+4a= ．

12. 若关于 x 的一元二次方程 x2+k+3x+k=0 的一个根是 x=−2，则另一个根是 ．

13. 如图，若 △ACD 的周长为 7 cm，DE 为 AB 边的垂直平分线，则 AC+BC= cm．

14. 如图，在 3×3 的方格中，A，B，C，D，E，F 分别位于格点上，从 C，D，E，F 四点中任取一点，与点 A，B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．

15. 如图，已知 ⊙O 半径为 2，从 ⊙O 外点 C 作 ⊙O 的切线 CA 和 CB，切点分别为点 A 和点 D，∠ACB=90∘，BC=23，则图中阴影部分的面积是 ．

16. 如图，A，B，C，D 依次为一直线上 4 个点，BC=3，△BCE 为等边三角形，⊙O 过 A，D，E 三点，且 ∠AOD=120∘．设 AB=x，CD=y，则 y 与 x 的函数关系式为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 计算：12+13−2+∣3−1∣−2sin60∘．

18. 先化简，再求值：a2−b2a2−2ab+b2⋅a−ba+b−aa−b，其中 a=1+3，b=1−3．

19. 如图，D 为 ⊙O 上的一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，并且 ∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）过点 B 作 ⊙O 的切线，交 CD 的延长线于点 E，若 BC=12，tan∠CDA=23，求 BE 的长．

20. 每年 11 月的最后一个星期四是感恩节，小龙调查了初三年级部分同学在感恩节当天将以何种方式表达感谢帮助过自己的人．他将调查结果分为如下四类：A类——当面致谢；B类——打电话；C类——发短信息或微信；D类——写书信．他将调查结果绘制成如图不完整的扇形统计图和条形统计图：
请你根据图中提供的信息完成下列各题：
（1）补全条形统计图；
（2）在A类的同学中，有 3 人来自同一班级，其中有 1 人学过主持．现准备从他们 3 人中随机抽出两位同学主持感恩节主题班会课，请你用树状图或表格求出抽出的两人都没有学过主持的概率．

21. 如图，某塔观光层的最外沿点 E 为蹦极项目的起跳点．已知点 E 离塔的中轴线 AB 的距离 OE 为 10 米，塔高 AB 为 123 米（AB 垂直地面 BC），在地面 C 处测得点 E 的仰角 α=45∘，从点 C 沿 CB 方向前行 40 米到达 D 点，在 D 处测得塔尖 A 的仰角为 β=60∘，求点 E 离地面的高度 EF．（结果精确到 1 米，参考数据 2≈1.4，3≈1.7）

22. 某宾馆拥有客房 100 间，经营中发现：每天入住的客房数 y（间）与房价 x（元）180≤x≤300 满足一次函数关系，部分对应值如下表：
x元180260280300y间100605040
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用 100 元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用 60 元．当房价为多少元时，宾馆当日利润最大?求出最大利润．（宾馆当日利润 = 当日房费收入 − 当日支出）

23. 如图 1，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG，BG，CG，DG，且 ∠AGD=∠BGC．
（1）求证：AD=BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图 2，若 AD，BC 所在直线互相垂直，求 AD:EF 的值．

24. 如图，已知 △ABC 为直角三角形，∠ACB=90∘，AC=BC，点 A，C 在 x 轴上，点 B 坐标为 3,mm>0，线段 AB 与 y 轴相交于点 D，以 P1,0 为顶点的抛物线过点 B，D．
（1）求点 A 的坐标（用 m 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连接 PQ 并延长交 BC 于点 E，连接 BQ 并延长交 AC 于点 F，试证明：FC⋅AC+BC 为定值．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. D
4. B
5. B
6. C
7. B
8. B
9. B【解析】令 y=0 得 x=6，
令 x=0 得 y=8，
∴ 点 A 的坐标为：6,0，点 B 坐标为：0,8，
∵∠AOB=90∘，
∴AB2=OA2+OB2=102，
由折叠的性质，得：AB=AC=10，
∴OC=AC−OA=10−6=4，
设 MO=x，则 MB=MC=8−x，在 Rt△OMC 中，OM2+OC2=CM2，即 x2+42=8−x2，解得：x=3，
∴M0,3．
10. B
第二部分
11. aa−22
12. x=1
13. 7
14. 34
【解析】根据从 C，D，E，F 四个点中任意取一点，一共有 4 种等可能情况，选取 D，C，F 时，所作三角形是等腰三角形，
故 P所作三角形是等腰三角形=34．
15. 33−43π
【解析】设 AB 交 ⊙O 于点 E，连接 OE，如图所示，
∵⊙O 的半径为 2，
∴OA=OE=2，∠OAE=∠OEA，
又 ∵BC=23，∠ACD=90∘，
∴ 在 Rt△ABC 中，tan∠BAC=3，
∴∠CAB=60∘，
∴∠OAE=∠OEA=90∘−60∘=30∘，AE=2OAcs30∘=23，
△OAE 中，AE 边的高 h=OAsin30∘=1，
∴∠AOE=120∘，
∴S扇形AOE=π×22×120÷360，S△OAE=AE×h÷2=3，
∵CA 是 ⊙O 的切线，
∴CA 垂直 OA，
∴S△OAB=OA×AC÷2=2，
∴S阴影=S四边形AOBC−S扇形AOE−S△OAB+S△OAE=33−43π.
16. y=9xx>0
【解析】连接 AE，DE，如图，
因为 ∠AOD=120∘，
所以 ∠AED=120∘，
因为 △BCE 为等边三角形，
所以 ∠BEC=60∘；
所以 ∠AEB+∠CED=60∘；
又因为 ∠EAB+∠AEB=∠EBC=60∘，
所以 ∠EAB=∠CED，
因为 ∠ABE=∠ECD=120∘；
所以 △ABE∽△ECD，
所以 ABEC=BECD，
即 x3=3y，
所以 y=9xx>0．
第三部分
17. 原式=23+9+3−1−2×32=23+8．
18. 原式=−aa−b．
∵a=1+3，b=1−3，
∴原式=−1+31+3−1−3=−3+36.
19. （1） 连接 OD，OE，如图，
因为 AB 为直径，
所以 ∠ADB=90∘，即 ∠ADO+∠1=90∘，
又因为 ∠CDA=∠CBD，而 ∠CBD=∠1，
所以 ∠1=∠CDA，
所以 ∠CDA+∠ADO=90∘，即 ∠CDO=90∘，
所以 CD 是 ⊙O 的切线；
（2） 因为 EB 为 ⊙O 的切线，
所以 ED=EB，OE⊥DB，
所以 ∠ABD+∠DBE=90∘，∠OEB+∠DBE=90∘，
所以 ∠ABD=∠OEB，
所以 ∠CDA=∠OEB，而 tan∠CDA=23，
所以 tan∠OEB=OBBE=23，
因为 Rt△CDO∽Rt△CBE，
所以 CDCB=ODBE=OEBE=23，
所以 CD=23×12=8，
在 Rt△CBE 中，设 BE=x，
所以 x+82=x2+122，解得 x=5．
即 BE 的长为 5．
20. （1） 由题意可知总人数 =5÷10%=50（人），
∴ D类所占的百分比为 12÷50×100%=24%，
C所占的百分比 =108360×100%=30%，
∴ C所占的人数 =50×30%=15（人）；
B所占的百分比 =1−10%−24%−30%=36%，
B所占的人数 =50×36%=18（人），
由此补全统计图可得：
（2） 设两个没学过主持的学生分别标记为 A1，A2，学过主持的学生标记为 B1，列表如下：
A1A2B1A1 A1,A2A1,B1A2A2,A1 A2,B1B1B1,A1B1,A2
共有 6 种等可能的情况；
P两人都没有学过主持=26=13．
21. 在 Rt△ADB 中，tan60∘=123DB，
∴DB=1233=413，CF=DB−FB+CD=413+30．
∵∠α=45∘，
∴EF=CF≈100．
答：E 离地面的高度 EF 约为 100 米．
22. （1） 设一次函数表达式为 y=kx+bk≠0．
由题意得
180k+b=100,260k+b=60,
解得
k=−12,b=190,∴y
与 x 之间的函数表达式为 y=−12x+190180≤x≤300．
（2） 解法一：设房价为 x 元 180≤x≤300 时，宾馆当日利润为 w 元．
由题意得
w=−12x+190x−100−60100−−12x+190=−12x2+210x−13600=−12x−2102+8450.
答：当房价为 210 元时，宾馆当日获得最大利润 8450 元．
【解析】解法二：设房价为 x 元 180≤x≤300 时，宾馆当日利润为 w 元．
由题意得
w=−12x+190x−100−60100−−12x+190=−12x2+210x−13600.
当 x=−2102×−12=210 时，
w最大=4×−12×−13600−21024×−12=8450.
答：当房价为 210 元时，宾馆当日获得最大利润 8450 元．
23. （1） ∵ GE 是 AB 的垂直平分线，
∴ GA=GB．
同理 GD=GC．
在 △AGD 和 △BGC 中，
GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,
∴ △AGD≌△BGC．
∴ AD=BC．
（2） ∵ ∠AGD=∠BGC，
∴ ∠AGB=∠DGC．
在 △AGB 和 △DGC 中，GAGD=GBGC，∠AGB=∠DGC，
∴ △AGB∽△DGC．
∴ AGDG=EGFG．
又 ∠AGE=∠DGF，
∴ ∠AGD=∠EGF，
∴ △AGD∽△EGF．
（3） 如图 1，延长 AD 交 GB 于点 M，交 BC 的延长线于点 H，
则 AH⊥BH．
由 △AGD≌△BGC，知 ∠GAD=∠GBC．
在 △GAM 和 △HBM 中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB．
∴ ∠AGB=∠AHB=90∘，
∴ ∠AGE=12∠AGB=45∘，
∴ AGEG=2．
又 △AGD∽△EGF，
∴ ADEF=AGEG=2．
24. （1） 由 B3,m 可知 OC=3，BC=m，
又 △ABC 为等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m−3，
∴ 点 A 的坐标是 3−m,0．
（2） ∵∠ODA=∠OAD=45∘，
∴OD=OA=m−3，
则点 D 的坐标是 0,m−3．
又抛物线顶点为 P1,0，且过点 B，D，
∴ 可设抛物线的解析式为：y=ax−12，得：a×3−12=m,a×0−12=m−3,
解得 a=1,m=4,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x+1．
（3） 过点 Q 作 QM⊥AC 于点 M，过点 Q 作 QN⊥BC 于点 N，设点 Q 的坐标是 x,x2−2x+1．
则 QM=CN=x−12，MC=QN=3−x，
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴QMEC=PMPC，即 x−12BC=x−12，
得 EC=2x−1，
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴QNFC=BNBC，即 3−xFC=4−x−124，
得 FC=4x+1，
又 AC=4，
∴FCAC+EC=4x+14+2x−1=4x+12x+2=4x+1⋅2x+1=8,
即 FC⋅AC+EC 为定值 8