2017年长春市汽车开发区中考一模数学试卷

这是一份2017年长春市汽车开发区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 6 的相反数是
A. −6B. −16C. 16D. 6

2. 下图是由 6 个相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是
A. B.
C. D.

3. 某市今年第一季度快递业务总量达到 4210000 件．4210000 这个数用科学记数法表示为
A. 0.421×107B. 4.21×106C. 4.21×107D. 4.21×104

4. 不等式 2x−4≤0 的解集是
A. x≥−2B. x≤−2C. x≥2D. x≤2

5. 对于实数 a，b，规定 a⊕b=a−2b，若 4⊕x−3=2，则 x 的值为
A. −2B. −12C. 52D. 4

6. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，CD∥AB，点 E 在 BC 的延长线上．若 ∠A=30∘，则 ∠DCE 的大小为
A. 30∘B. 52.5∘C. 75∘D. 85∘

7. 如图，半径为 1 的 ⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 A，D，则弧 AD 的长为
A. 16πB. 13πC. 23πD. 56π

8. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 0,3，1,0．将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90∘，得到线段 BC．若点 C 落在函数 y=kxx>0 的图象上，则 k 的值为
A. 3B. 4C. 6D. 8

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 分解因式：x2−25= ．

10. 一元二次方程 x2+2x−1=0 的根的判别式 Δ 0．（填“>”，“=”或“<”）

11. 一次函数 y=kx+b 与正比例函数 y=3x 的图象平行且经过点 1,−1，则 b 的值为 ．

12. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O．若 ∠ADC=130∘，则 ∠AOC 的大小为 度．

13. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘．按以下步骤作图，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作圆弧，两弧交于点 E 和点 F；作直线 EF 交 AB 于点 D；连接 CD，若 AC=8，BC=6，则 CD 的长为 ．

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2−4x 与 x 轴正半轴交于点 A，其顶点为 M．将这条抛物线绕点 O 旋转 180∘ 后得到的抛物线与 x 轴负半轴交于点 B，其顶点记为 N，连接 AM，MB，BN，NA．则四边形 AMBN 的面积为 .

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 先化简，再求值：x−22−xx−6，其中 x=−12．

16. 一个不透明的袋子里有三个小球，上面分别标有数字 3，−4，5．每个小球除数字不同外其余均相同．小文先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字．请用画树状图（或列表）的方法，求小文两次摸出小球上的数字都是正数的概率．

17. 七年级（三）班开展“诵读经典，光亮人生”读书活动．小智和小慧同学读了同一本 360 页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数．

18. 如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 AC 的中点 O 作 AC 的垂线，分别交射线 AD 和 CB 于点 E，F，连接 AF，CE．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形 AFCE 是菱形．

19. 如图，小东在教学楼距地面 8 米高的窗口 C 处，测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 55∘，旗杆底部 B 点的俯角为 45∘，求旗杆 AB 的高．（结果精确到 0.1 米）
【参考数据：sin55∘≈0.819，cs55∘≈0.574，tan55∘≈1.428 】

20. 某校体育组为了解本校九年级学生“1 分钟跳绳”项目的训练情况，随机抽取该年级 n 名学生进行了一次测试，并按测试成绩分成四类：优秀、良好、及格、不及格进行统计，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求 n 的值．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）估计该校九年级 800 名学生中“1 分钟跳绳”项目成绩为不及格的学生人数．

21. 小明家到公园的路程为 2000 米，小明爸爸和小明先后从家出发步行去公园．爸爸先出发一直匀速前行，小明在爸爸走出 200 米后出发，途中他在休闲广场观棋停留一段时间．小明所走的路程 y（米）与小明的步行时间 x（分）的函数图象如图所示．
（1）求直线 BC 所对应的函数表达式.
（2）在小明出发后的第 20 分钟，爸爸与小明第二次相遇．请在图中画出爸爸所走的路程 y（米）与小明的步行时间 x（分）的函数图象．
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早 8 分钟到达公园，请直接写出小明需怎样调整在休闲广场的观棋时间．

22. （1）【探究】如图①，分别以 △ABC 的两边 AB 和 AC 为边向 △ABC 外作正三角形 ABD 和正三角形 ACE，连接 DC，BE．求证：DC=BE；
（2）【拓展】如图②，在四边形 ABCD 中，AB=BC=5，∠ABC=45∘，连接 AC，BD．若 ∠DAC=90∘，AC=AD，则 BD 的长为 ．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，AB 边上的高 CD=4．点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 3 个单位长度的速度向终点 B 运动．当点 P 不与点 A，B 重合时，过点 P 作 PQ⊥AB，交边 AC 或边 BC 于点 Q，以 PQ 为边向右侧作正方形 PQMN．设正方形 PQMN 与 △ABC 重叠部分图形的面积为 S（平方单位），点 P 运动的时间为 t（秒）．
（1）求 tanB 的值；
（2）求点 M 落在边 BC 上时 t 的值；
（3）当正方形 PQMN 与 △ABC 重叠部分为四边形时，求 S 与 t 之间的函数关系式；
（4）边 BC 将正方形 PQMN 的面积分为两部分时，设这两部分的面积比为 k．当 0
24. 如图 ①，在平面直角坐标系中，平行于 x 轴的直线与抛物线 y=ax2a>0 相交于 A，B 两点．设点 B 的横坐标为 mm>0．
（1）求 AB 的长（用含 m 的代数式表示）．
（2）如图 ②，点 C 在直线 AB 上，点 C 的横坐标为 2m．若 a=1，m=2，求顶点在 x 轴上且经过 B，C 两点的抛物线的顶点坐标．
（3）点 D 在直线 AB 上，BD=2AB，过 O，B，D 三点的抛物线的顶点为 P，其对应函数的二次项系数为 a1．
ⅰ 求 a1a 的值．
ⅱ当 m=2，△BPD 为等腰直角三角形，直接写出 a 的值．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B
4. D
5. D
6. C
7. C
8. B
第二部分
9. x+5x−5
10. >
11. −4
12. 100
13. 5
14. 32
第三部分
15. 原式=x2−4x+4−x2+6x=2x+4.
当 x=−12 时，
原式=2×−12+4=−1+4=3.
16. 树状图如下：
或列表如下：
∴P两次摸出的小球所标数字都是正数=49．
17. 设小慧每天读这本名著 x 页．
根据题意，得
360x−3601.2x=2,
解得
x=30.
经检验，x=30 是原方程的解，且符合题意．
答：小慧每天读这本名著 30 页．
18. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AE∥CF．
∴∠AEO=∠CFO．
∵ 点 O 为对角线 AC 的中点，
∴AO=CO．
又 ∵∠AOE=∠COF，
∴△EOA≌△FOC．
∴AE=CF．
（2） ∵AE∥CF，AE=CF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形．
又 ∵EF⊥AC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形．
19. 由题意，CD⊥AB，DB=CE=8 米．
在 Rt△BCD 中，∠BDC=90∘，∠BCD=45∘，
∴∠CBD=∠BCD=45∘．
∴CD=BD=8 米．
在 Rt△ACD 中，∠ADC=90∘，∠ACD=55∘，tan∠ACD=ADCD，
∴AD=CDtan55∘≈8×1.428=11.424（米）．
∴AB=AD+BD=11.424+8=19.424≈19.4（米）．
答：旗杆 AB 的高度约为 19.4 米．
20. （1） n=15÷25%=60．
（2） 成绩为优秀的人数：60−24−15−9=12（人）．
补全条形统计图如图所示：
（3） 800×960=120（人）．
∴ 该校九年级 800 名学生中“1 分钟跳绳”项目成绩为不及格的学生人数约为 120 人．
21. （1） 设所求直线 BC 所对应的函数表达式为 y=kx+b．
将点 36,800，60,2000 代入，得 36k+b=800,60k+b=2000,
解得 k=50,b=−1000.
∴ 直线 BC 所对应的函数表达式为 y=50x−1000．
（2） 爸爸所走的路程 y（米）与小明的步行时间 x（分）的函数图象如图所示．
（3） 少观棋 8 分钟（或观棋时间调整为 12 分钟）．
22. （1） ∵△ABD 和 △ACE 是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60∘，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即 ∠DAC=∠BAE．
∴△ADC≌△ABE．
∴DC=BE．
（2） 53
23. （1） 因为 CD⊥AB，
所以 ∠ADC=∠CDB=90∘．
因为在 Rt△ACD 中，AD=AC2−CD2=3，
所以 BD=AB−AD=5−3=2．
所以在 Rt△BCD 中，tanB=CDBD=2．
（2） 当点 M 落在 BC 边上时，PQ=PN=MN=4t，BN=2t．
所以 3t+4t+2t=5，
所以 t=59．
（3） 当 0所以当 P 运动到如图位置时，
N 点与 B 点重合，
此时开始直到 Q 点 C 重合，正方形 PQMN 与 △ABC 重叠部分为四边形，
设 CN 与 QM 交于点 H，
NP=5−3t，MN=PQ=4t，
因为 MQ∥AB，
所以 ∠CND=∠NHM，
所以 HM=12MN=2t，
所以 QH=QM−HM=5−5t，
当 57≤t<1 时，S=5−5t+5−3t⋅4t2=−16t2+20t．
（4） 5924. （1） ∵ 点 B 的横坐标为 m，点 A 与点 B 关于 y 轴对称，
∴ 点 A 的横坐标为 −m．
∴AB=m−−m=2m．
（2） 把 x=2 代入 y=x2，得 y=4．
∴ 点 B 的坐标为 2,4．
∵2m=4，
∴ 点 C 的坐标为 4,4．
∵BC∥x 轴，
∴ 点 B，C 关于这条抛物线的对称轴对称．
∴ 该对称轴为直线 x=3．
∵ 顶点在 x 轴上，
∴ 这个顶点坐标为 3,0．
（3） ⅰ如图①，点 D 在点 B 右侧，
设过 O，B，D 三点的抛物线所对应函数表达式为 y=a1x−3m2+k，
把 0,0 代入得，k=−9a1m2．
∴y=a1x−3m2−9a1m2．
∵ 点 B 的坐标为 m,am2，
∴ a1m−3m2−9a1m2=am2，
∴ a1a=−15．
如图②，点 D 在点 B 左侧，
设过 O，B，D 三点的抛物线所对应函数表达式为 y=a1x+m2+k，把 0,0 代入得，k=−a1m2．
∴ y=a1x+m2−a1m2．
∵ 点 B 的坐标为 m,am2，
∴ a1m+m2−a1m2=am2，
∴ a1a=13．
ⅱ a=34 或 a=54．