2017年重庆市南岸区中考数学一模试卷

这是一份2017年重庆市南岸区中考数学一模试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在实数 −2，1，0，−3 中，最大的数是
A. −2B. 1C. 0D. −3

2. 下列图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 计算 2a3+3a3 结果正确的是
A. 5a6B. 5a3C. 6a6D. 6a3

4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是
A. 调查一批电脑的使用寿命情况
B. 调查全国足球迷的身体健康状况
C. 调查重庆市中小学生课外阅读情况
D. 为保证“神州十一号”载人飞船的成功发射，对其零部件的检查

5. 若 a=2，则 a2−2a+4 的值为
A. −4B. 4C. 8D. 12

6. 如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 相交，若 ∠2=70∘，则 ∠1 等于
A. 130∘B. 120∘C. 110∘D. 70∘

7. 若二次根式 a−4 有意义，则 a 的取值范围是
A. a≥4B. a≤4C. a>4D. a<4

8. 一个多边形内角和是 1080∘，则这个多边形是
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形

9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，分别以直角边 AC，BC 为直径画弧，若 AB=22，则图中阴影部分的面积是
A. π4−12B. 3π4−32C. 3π4−34D. π4+32

10. 假设有足够多的黑白围棋子，摆成一个“中”字，下列图形中，第 ①个图形中有 4 枚黑子和 4 枚白子，第②个图形中有 6 枚黑子和 11 枚白子，第③个图形中有 8 枚黑子和 18 枚白子，⋯，按此规律排列，则第⑧个图形中黑子和白子的枚数分别为
A. 14 和 48B. 16 和 48C. 18 和 53D. 18 和 67

11. 位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度 AB 进行了测量．如图，他们从塔底的点 B 出发，沿水平方向行走了 13 米，到达点 C，然后沿斜坡 CD 继续前进到达点 D 处，已知 DC=BC．在点 D 处用测角仪测得塔顶 A 的仰角为 42∘（点 A，B，C，D，E 在同一平面内）．其中测角仪及其支架 DE 高度约为 0.5 米，斜坡 CD 的坡度（或坡比）i=1:2.4，那么文峰塔的高度 AB 约为 （sin42∘≈0.67，cs42∘≈0.74，tan42∘≈0.90）
A. 22.5 米B. 24.0 米C. 28.0 米D. 33.3 米

12. 若关于 x 的不等式组 5x−36≤12+x3,5x≥a 有且只有三个整数解，且关于 x 的分式方程 xx−2−a+12−x=−1 有整数解，则满足条件的整数 a 的值为
A. 15B. 3C. −1D. −15

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 我们国家现在有 3000000 名乡村教师，他们是我国基础教育的脊梁，尤其是我们农村孩子成长的园丁．把数据 3000000 用科学记数法表示为 ．

14. 计算：9−π−30= ．

15. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，连接 OA，OC，若 ∠ABC=50∘，则 ∠AOC= ∘．

16. 现有五个小球，每个小球上面分别标着 1，2，3，4，5 这五个数字中的一个，这些小球除标的数字不同以外，其余的全部相同．把分别标有数字 4，5 的两个小球放入不透明的口袋A中，把分别标有数字 1，2，3 的三个小球放入不透明的口袋B中．现随机从A和B两个口袋中各取出一个小球，把从A口袋中取出的小球上标的数字记作 m，从B口袋中取出的小球上标的数字记作 n，且 m−n=k，则关于 x 的一元二次方程 2x2−4x+k=0 有解的概率是 ．

17. 甲、乙两人在一条直线道路上分别从相距 1500 米的 A，B 两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点 B 前进（甲到达点 B 时停止运动），乙也立即向 B 点返回．在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动．甲、乙两人之间的距离 y（米）与乙运动的时间 x（秒）之间的关系如图所示．则甲到 B 点时，乙距 B 点的距离是 米．

18. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AD 边上一点，连接 CE，把 △CDE 沿 CE 翻折，得到 △CPE，EP 交 AC 于点 F，CP 交 BD 于点 G，连接 PO，若 PO∥BC，则四边形 OFPG 的面积是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 如图，∠DAB=∠EAC，AB=AE，AD=AC．求证：DE=BC．

20. 在网络时代里，每年网络上都会出现很多红极一时的网络流行语，为了解同学们对网络流行语的使用情况，某数学兴趣小组选取了其中的A：“蓝瘦香菇”，B：“洪荒之力”，C：“老司机”，D：“套路”四个网络流行语在全校 3000 名学生中进行了抽样调查，要求每位被调查学生只能从中选择一个自己用得最多的网络流行语．根据调查结果，该小组绘制了两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，请补全条形统计图并估计该校学生用得最多的网络流行语的人数．

21. 计算：
（1）x+32−xx+2；
（2）2m−6m2−6m+9÷1m+3+1m−3．

22. 如图，已知一次函数 y=k1x+b 的图象分别与 x 轴、 y 轴的正半轴交于 A，B 两点，且与反比例函数 y=k2x 交于 C，E 两点，点 C 在第二象限，过点 C 作 CD⊥x轴 于点 D，AC=22，OA=OB=1．
（1）△ADC 的面积；
（2）求反比例函数 y=k2x 与一次函数的 y=k1x+b 表达式．

23. 春暖花开，市民纷纷外出踏青，某种品牌鞋专卖店抓住机遇，利用 10 周年店庆对其畅销的 M款运动鞋进行促销，M款运动鞋每双的成本价为 800 元，标价为 1200 元．
（1）M款运动鞋每双最多降价多少元，才能使利润率不低于 20%；
（2）该店以前每周共售出M款运动鞋 100 双，2017 年 3 月的一个周末，恰好是该店的 10 周年店庆，这个周末 M款运动鞋每双在标价的基础上降价 13m%，结果这个周末卖出的M款运动鞋的数量比原来一周卖出的M款运动鞋的数量增加了 52m%，这周周末的利润达到了 40000 元，求 m 的值．

24. 对任意一个正整数 m，如果 m=kk+1，其中 k 是正整数，则称 m 为“矩数”，k 为 m 的最佳拆分点．例如，56=7×7+1，则 56 是一个“矩数”，7 为 56 的最佳拆分点．
（1）求证：若“矩数”m 是 3 的倍数，则 m 一定是 6 的倍数；
（2）把“矩数”p 与“矩数”q 的差记为 Dp,q，其中 p>q，Dp,q>0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D20,6=20−6=14．若“矩数”p 的最佳拆分点为 t，“矩数”q 的最佳拆分点为 s，当 Dp,q=30 时，求 st 的最大值．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D 是 △ABC 内一点，AD=BD，且 AD⊥BD，连接 CD．过点 C 作 CE⊥BC 交 AD 的延长线于点 E，连接 BE．过点 D 作 DF⊥CD 交 BC 于点 F．
（1）若 BD=DE=5，CE=2，求 BC 的长；
（2）若 BD=DE，求证：BF=CF．

26. 如图，已知二次函数 y=33x2+233x−3 的图象与 x 轴交于点 A，B，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D．
（1）求抛物线顶点 D 的坐标以及直线 AC 的函数表达式；
（2）点 P 是抛物线上一点，且点 P 在直线 AC 下方，点 E 在抛物线对称轴上，当 △BCE 的周长最小时，求 △PCE 面积的最大值以及此时点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点 P 且平行于 AC 的直线分别交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，把抛物线 y=33x2+233x−3 沿对称轴上下平移，平移后抛物线的顶点为 Dʹ，在平移的过程中，是否存在点 Dʹ，使得点 Dʹ，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点 Dʹ 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】−3<−2<0<1，所以最大的数是 1．
2. B
3. B【解析】原式=5a3．
4. D【解析】A、调查一批电脑的使用寿命情况适合采用抽样调查，不合题意；
B、调查全国足球迷的身体健康状况适合采用抽样调查，不合题意；
C、调查重庆市中小学生课外阅读情况适合采用抽样调查，不合题意；
D、为保证“神州十一号”载人飞船的成功发射，对其零部件的检查适合全面调查，符合题意．
5. B
【解析】当 a=2 时，
原式=4−4+4=4.
6. C【解析】∵ 直线 a∥b，
∴∠3=∠1，
∵∠3=180∘−∠2=110∘，
∴∠1=110∘．
7. A【解析】依题意得：a−4≥0，
解得 a≥4．
8. C【解析】设这个多边形是 n 边形，由题意知，n−2×180∘=1080∘，
∴n=8，
∴ 该多边形是八边形．
9. B【解析】∵ △ABC 是等腰直角三角形，AB=22，
∴ AC=BC=2，
连接 AC，BC 的中点与弧的交点，如图，
S阴影=3S扇形BEF−S△BEF=3×90π×12360−12×1×1=3×π4−12=34π−32.
10. C
【解析】因为第 ①个图形中黑子有 4=2×1+2（枚），有白子 4=7×1−3（枚），
第②个图形中黑子有 6=2×2+2（枚），有白子 11=7×2−3（枚），
第 ③个图形中黑子有 8=2×3+2（枚），有白子 18=7×3−3（枚），
⋯
所以第 ⑧个图形中黑子有 2×8+2=18（枚），有白子 7×8−3=53（枚）．
11. C【解析】过点 E 作 EM⊥AB 于点 M，
∵ 斜坡 CD 的坡度（或坡比）i=1:2.4，BC=CD=13 米，
∴ 设 DG=x，则 CG=2.4x．
在 Rt△CDG 中，
∵DG2+CG2=DC2，即 x2+2.4x2=132，解得 x=5，
∴DG=5 米，CG=12（米），
∴EG=5+0.5=5.5 米，BG=13+12=25（米）．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴ 四边形 EGBM 是矩形，
∴EM=BG=25 米，BM=EG=5.5（米）．
在 Rt△AEM 中，
∵∠AEM=42∘，
∴AM=EM⋅tan42∘≈25×0.90=22.5（米），
∴AB=AM+BM=22.5+5.5=28（米）．
12. C【解析】不等式组：5x−36≤12+x3,5x≥a, 整理得：x≤2,x≥a5,
解集为：a5≤x≤2，
由不等式组有且只有三个整数解，得到 −1分式方程去分母得：x+a+1=2−x，
解得：x=1−a2，
由分式方程有整数解，得到 a=−1,−3，
∵x≠2，
∴a=−1．
第二部分
13. 3×106
【解析】把数据 3000000 用科学记数法表示为 3×106．
14. 2
【解析】原式=3−1=2.
15. 100
【解析】∵∠ABC=50∘，
∴∠AOC=2∠ABC=100∘．
16. 12
【解析】画树状图如下：
∵ 关于 x 的一元二次方程 2x2−4x+k=0 有解，
∴ Δ=16−8k≥0，即 k≤2，
则关于 x 的一元二次方程 2x2−4x+k=0 有解的概率是 36=12．
17. 87.5
【解析】由题可得，甲从 A 点到达 B 点运动的时间为 375 秒，
∴ 甲的速度为：1500÷375=4 m/s，
又 ∵ 甲乙两人从出发到相遇的时间为 200 秒，
∴ 乙的速度为：1500÷200−4=3.5m/s，
又 ∵ 甲从相遇的地点到达 B 点的路程为：175×4=700米，
乙在两人相遇后运动 175 秒的路程为：175×3.5=612.5米，
∴ 甲到 B 点时，乙距 B 点的距离为：700−612.5=87.5米．
18. 8−43
【解析】如图所示，过 P 作 PM⊥AO 于点 M，作 PN⊥BO 于点 N，延长 PO 交 CD 于点 H，
因为 PO∥BC，BC⊥CD，
所以 PH⊥CD，
因为 △CDO 是等腰直角三角形，
所以 OH=12CD=2=CH，OH 平分 ∠COD，
由折叠可得，CP=CD=4，
所以 Rt△PCH 中，PH=PC2−CH2=23，
所以 PO=PH−OH=23−2，
因为 PO 平分 ∠AOB，PM⊥AO，PN⊥BO，
所以 PM=PN，
矩形 PMON 是正方形，
所以正方形 PMON 的面积为 12OP2=12×23−22=8−43，
因为 ∠FPG=∠MON=90∘，
所以 ∠FPM=∠GPN，
在 △PMF 和 △PNG 中，
∠PMF=∠PNG,PM=PN,∠FPM=∠GPN,
所以 △PMF≌△PNG，
所以 S△PMF=S△PNG，
所以 S四边形OFPG=S正方形PMON，
所以四边形 OFPG 的面积是 8−43．
第三部分
19. ∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，
即：∠EAD=∠CAB，
在 △ACB 和 △ADE 中：
AB=AE,∠CAB=∠DAE,AC=AD,
∴△ACB≌△ADE，
∴BC=DE．
20. 本次抽样调查的总人数为 70÷35%=200（名），
则用C：“老司机”的人数为 200×30%=60（名），
∴ 用B：“洪荒之力”的人数为 200−70+60+40=30（名），
补全图形如图：
估计该校学生用得最多的网络流行语“蓝瘦香菇”的人数为 3000×35%=1050（名）．
21. （1） 原式=x2+6x+9−x2−2x=4x+9.
（2） 原式=2m−3m−32÷2mm+3m−3=2m−3⋅m+3m−32m=m+3m.
22. （1） ∵ OA=OB，∠ABO=∠OAB=45∘，
∵ CD⊥x轴 于点 D，
∴ ∠ADC=90∘，
∴ ∠BAD=∠ACD=45∘，
∴ CD=AD，
∵ AC=22，
∴ CD=AD=22AC=2，
∴ △ADC 的面积为 12×AD×CD=12×2×2=2．
（2） ∵ OA=1，AD=2，
∴ OD=1，
∵ CD=2，
∴ 点 C 的坐标为 −1,2，
∵ 点 C 在反比例函数 y=k2x 的图象上，
∴ 2=k2−1，
∴ k2=−2，
∴ 反比例函数的表达式为 y=−2x；
∵ 一次函数 y=k1x+b 过 B0,1，C−1,2，
∴ 代入得：b=1,−k1+b=2,
解得：b=1，k1=−1，
∴ 一次函数的表达式为 y=−x+1．
23. （1） 设 M 款运动鞋每双降价 x 元，
根据题意得：
1200−x−800≥800×20%,
解得：
x≤240.
答：M 款运动鞋每双最多降价 240 元，才能使利润率不低于 20%．
（2） 令 y=m%，则 13m%=13y，52m%=52y，
根据题意得：
1200×1−13y−800×1001+52y=40000,
整理得：
5y2−3y=0,
解得：y=35=60% 或 y=0（不合题意，舍去），
所以 m=60．
答：m 的值为 60．
24. （1） 若“矩数”m=kk+1 是 3 的倍数，则 kk+1 是 3 的倍数，k 是正整数，
当 k 为奇数时，k+1 是偶数，则 kk+1 是能被 3 整除的偶数，
故 kk+1 是 6 的倍数；
当 k 为偶数时，则 kk+1 是能被 3 整除的偶数，
故 kk+1 是 6 的倍数，
综上所述，若“矩数”m 是 3 的倍数，则 m 一定是 6 的倍数；
（2） 根据题意得 p=tt+1，q=ss+1，Dp,q=tt+1−ss+1=30，即 t2+t−s2−s=30，
∴ t−st+s+1=30，
∵ t，s 是正整数，t>s，
∴ t−s，t+s+1 是正整数，且 t+s+1>t−s，
∵ 30=1×30=2×15=3×10=5×6，
∴ t−s=1,t+s+1=30 或 t−s=2,t+s+1=15 或 t−s=3,t+s+1=10 或 t−s=5,t+s+1=6,
解得：t=15,s=14 或 t=8,s=6 或 t=6,s=3 或 t=5,s=0,
∵ t，s 是正整数，
∴ 符合条件的是：t=15,s=14 或 t=8,s=6 或 t=6,s=3,
∴ st=1415 或 st=34 或 st=12，
∵ 1415>34>12，
∴ st 的最大值是 1415．
25. （1） ∵BD⊥AD，点 E 在 AD 的延长线上，
∴∠BDE=90∘，
∵BD=DE=5，
∴BE=BD2+DE2=10，
∵BC⊥CE，
∴∠BCE=90∘，
∴BC=BE2−CE2=10−2=22．
（2） 连接 AF，
∵AD⊥BD，DF⊥CD，
∴∠BDE=∠CDF=90∘，
∴∠BDF=∠CDE，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90∘，
∴∠DBC=∠CED，
在 △BDF 和 △EDC 中，
∵∠DBF=∠DEC,BD=ED,∠BDF=∠EDC,
∴△BDF≌△EDC，
∴DF=CD，
∴∠CFD=∠DCF=45∘，
∵∠ADB=∠CDF，
∴∠ADB+∠BDF=∠CDF+∠BDF，
∴∠ADF=∠BDC，
在 △ADF 和 △BDC 中，
∵AD=BD,∠ADF=∠BDC,DF=DC,
∴△ADF≌△BDC，
∴∠AFD=∠BCD，
∴∠AFD=45∘，
∴∠AFC=∠AFD+∠CFD=90∘，
∴AF⊥BC，
∴AB=AC，
∴BF=CF
26. （1） y=33x2+233x−3=33x+12−433，顶点 D 的坐标为 −1,−433，
当 y=0 时，33x2+233x−3=0，解得 x1=−3，x2=1，
∴A−3,0，B1,0．
当 x=0 时，y=−3，
∴C0,−3，
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−33x−3．
（2） ∵△CPE 的周长为 BC+CE+BE，其中 BC 的长是固定的，
∴ 周长取得最小值就是 BE+CE 取得最小值，
∵ 点 E 是抛物线对称轴上一点，
∴BE=AE，
∴BE+CE=AE+CE，
∴BE+CE 的最小值是 AC，点 E 是 AC 与对称轴的交点．
∴ 点 E 的坐标为 −1,−233，
∵ 点 P 是抛物线上 x 轴下方一点，设点 P 的坐标为 t,33t2+233t−3．且 33t2+233t−3<0．
过点 P 作 QP⊥x 轴交直线 AC 于点 Q，点 Q 坐标为 t,−33t−3．
当点 P 在对称轴左侧时，
S△PCE=S△PCQ−S△PEQ=12PQ0−t−12PQ−1−t=12PQ,
当点 P 在对称轴的右侧时，
S△PCE=S△PCQ+S△PEQ=12PQ0−t+12PQt−−1=12PQ,
∵PQ=−33t−3−33t2+233t−3=−33t2−3t，
∴S△PCE=12PQ=−36t2−32t=−36t+322+338．
当 t=−32 时，△PEC 的面积最大，最大值是 338，此时，点 P 的坐标为 −32,−534．
（3） Dʹ 点的坐标为 −1,−73+4198，−1,−73−4198，−1,−1134，−1,1734．
【解析】经过点 P 且平行于 AC 的直线 MN 的解析式为 y=−33x−734，
当 x=0 时，y=−734，即 N0,−734，当 y=0 时，x=−214，即 M−214,0，
设点 Dʹ 的坐标为 −1,d，则 MN2=−2142+−7342=1474，MDʹ2=−214−−12+d2=28916+d2，NDʹ2=−12+−734−d2=d2+732d+16316．
当 ∠MDʹN=90∘ 时，MDʹ2+NDʹ2=MN2，即 28916+d2+d2+732d+16316=1474，
整理，得 4d2+73d−17=0，解得 d1=−73+4198，d2=−73−4198，
当 ∠NMDʹ=90∘ 时，MDʹ2=NDʹ2+MN2，即 28916+d2=d2+732d+16316+1474，
化简，得 732d=−2318，解得 d=−1134，
当 ∠NMDʹ−90∘ 时，NDʹ2=MDʹ2+MN2，即 d2+732d+16316=28916+d2+1474，
化简，得 732d=3578，解得 d=1734，
∴ 存在点 Dʹ，使得点 Dʹ，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，Dʹ 点的坐标为 −1,−73+4198，−1,−73−4198，−1,−1134，−1,1734．