2017年重庆市南岸区中考二模数学试卷

这是一份2017年重庆市南岸区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 5 的相反数是
A. 15B. 5C. −15D. −5

2. 下列基本图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 计算 −a32 的结果是
A. −a5B. a5C. −a6D. a6

4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是
A. 为了解 2017 年春节联欢晚会收视情况
B. 为了解全国中学生的视力状况
C. 乘坐高铁时，检查旅客行李是否携带有违禁物品
D. 为了解 2017 年春节中国人最喜欢的过年方式

5. 已知 x=3 是 4x+3a=6 的解，则 a 的值为
A. −2B. −1C. 1D. 2

6. 如果两个相似三角形对应边之比是 1:4，那么它们的对应中线之比是
A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16

7. 函数 y=x−1 的自变量 x 的取值范围是
A. x≠0B. x≠1C. x≤1D. x≥1

8. 估计 10−2 的值在
A. 0 到 1 之间B. 1 到 2 之间C. 2 到 3 之间D. 3 至 4 之间

9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=2，以 A 为圆心，AD 为半径画弧交线段 BC 于 E，连接 AE，则阴影部分的面积为
A. π4B. 22−π4C. π2D. 22−π2

10. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有 1 个空心小圆圈，第②个图形中一共有 6 个空心小圆圈，第③个图形中一共有 13 个空心小圆圈，⋯，按此规律排列，则第⑦个图形中空心圆圈的个数为 个．
A. 61B. 63C. 76D. 78

11. 重庆市南岸区协信星光时代广场已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，协信星光时代广场从一楼到二楼有一自动扶梯（如图 1），图 2 是侧面示意图，已知自动扶梯 AC 的坡度（或坡比）i=1:2，AC=65 米，BE 是二楼楼顶，EF∥MN，点 B 在 EF 上且在自动扶梯顶端 C 的正上方，若 BC⊥EF，在自动扶梯底端 A 处测得 B 点仰角为 40∘，则二楼的层高 BC 约为（精确到 0.1 米，参考数据：sin40∘≈0.64，cs40∘≈0.77，tan40∘≈0.84）
A. 3.6 米B. 4.9 米C. 4.1 米D. 5.2 米

12. 如果关于 x 的分式方程 ax−1−5=x−31−x 有正数解，且关于 x 的不等式组 a−2x≤1−x,4x+12>x+3 的解集为 x>52，那么符合条件的所有整数 a 的和为
A. 2B. 3C. 4D. 5

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 重庆轨道交通自开通运营以来，极大地缓解了重庆主城区的交通压力，据报道，重庆轨道交通日客运最高达 2610000 人次，则数据 2610000 用科学记数法表示为 ．

14. 计算：2−π0−13−1= ．

15. 有四张背面完全相同的不透明卡片，正面分别写着 −3，−2，2，3，把这四张卡片正面朝下放在桌面上，从中任意抽取一张，将卡片上的数字记为 m，再从剩下的卡片中任取一张，并把卡片上的数字记为 n，则使得直线 y=mx+n 不经过第三象限的概率为 ．

16. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上一点，连接 AC 并延长，交切线 BD 于点 D，连接 OC．若 ∠BOC=100∘，则 ∠D= 度．

17. 有一个装有进、出水管的容器，先只开进水管，3 分钟后，同时打开进、出水管，当容器注满水后，关闭进水管，只打开出水管，直至把容器内水全部放完，在整个过程中容器内水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的函数关系如图所示，那么容器的容积为 升．

18. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 的延长线上，且 CE=CA，连接 AE，过点 C 作 CF⊥AE 于点 F，连接 BF．如果 AB=4，则 BF2 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 如图，已知 AB∥CD，EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，FG 平分 ∠EFD，交 AB 于点 G．若 ∠1=50∘，求 ∠BGF 的度数．

20. 为了增强学生的体质，某学校在七年级试行课间 10 分钟集体跑步活动，校团委想了解本校七年级学生对开展的这项活动的态度，对该校七年级学生进行了一次抽样调查，校团委把学生对这项活动的态度分成了四个层级（A级--很感兴趣；B级--比较感兴趣；C级--不感兴趣；D级--反感），并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整）．请你结合图中所给信息补充完整条形统计图，若该校七年级的学生总数为 300 人，请你估计该校七年级学生的态度是“不感兴趣”和“反感”的人数之和．

21. （1）2x+y2−4x+yy−x；
（2）3y2x−y−x−y÷x2−2xyx2−xy．

22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+2a≠0 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A，B，与反比例函数 y=kxk≠0 的图象相交于 C1,m，Dn,−2 两点，连接 OD，OC，其中 tan∠BAO=2．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求反比例函数的表达式和 △COD 的面积．

23. 夏季来临之际，小王看准商机，从厂家购进A，B两款T恤衫进行销售，小王连续两周，每周都用 25000 元购进 250 件A款和 150 件B款．
（1）小王在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的 2 倍少 10 元，且两种T恤衫在一周之内全部售完，总盈利为 5000 元．小王销售B款的价格每件多少元?
（2）小王在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了 53a%，但A款的销量比第一周A款的销量下降了 a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了 a%，但B款销售量与第一周B款的销量相同，结果第二周的总销售量额为 30000 元，求 a 的值．

24. 在 △ABC 中，点 D 是 BC 上的一点，点 E 是 △ABC 外一点，且 ∠AEB=90∘，过点 C 作 CF⊥AF，垂足为 F，连接 DE，DF．
（1）如图 1，点 D 在 AE 上，D 是 BC 中点，∠BAE=30∘，∠CAE=45∘，AB=2，求 AC 的长；
（2）如图 2，点 D 不在 AE 上，连接 AD，延长 CF 至点 G，连接 GD 且 GD=AD．若 BC 平分 ∠ABE，∠G=∠DAB，求证：DE=DF．

25. 若一个两位正整数 m 的个位数为 8，则称 m 为“好数”．
（1）求证：对任意“好数”m，m2−64 一定为 20 的倍数；
（2）若 m=p2−q2，且 p，q 为正整数，则称数对 p,q 为“友好数对”，规定：Hm=qp，例如 68=182−162，称数对 18,16 为“友好数对”，则 H68=1618=89，求小于 50 的“好数”中，所有“友好数对”的 Hm 的最大值．

26. 如图，抛物线 y=−12x2−12x+3 与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 D，已知 C0,32，连接 AC．
（1）求直线 AC 的解析式；
（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PE∥y 轴，交直线 AC 于点 E，过点 P 作 PG⊥AC，垂足为 G，当 △PEG 周长最大时，在 x 轴上存在一点 Q，使 QP−QG 的值最大，请求出这个最大值以及点 P 的坐标；
（3）当（2）中 QP−QG 取得最大值时，直线 PG 交 y 轴于点 M，把抛物线沿直线 AD 平移，平移后的抛物线 yʹ 与直线 AD 相交的一个交点为 Aʹ，在平移的过程中，是否存在点 Aʹ，使得点 Aʹ，P，M 三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点 Aʹ 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确．
3. D
4. C【解析】A．为了解 2017 年春节联欢晚会收视情况的调查适合采用抽样调查，不合题意；
B．为了解全国中学生的视力状况的调查适合采用抽样调查，不合题意；
C．对乘坐高铁时，检查旅客行李是否携带有违禁物品的调查适合全面调查，符合题意；
D．为了解 2017 年春节中国人最喜欢的过年方式适合采用抽样调查，不合题意．
5. A
6. B【解析】∵ 两个相似三角形对应边之比是 1:4，
又 ∵ 相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，
∴ 它们的对应中线之比为 1:4．
7. D【解析】根据题意得 x−1≥0，解得 x≥1．
8. B【解析】∵952,
∵ 该不等式组的解集为 x>52，
∴a−1≤52，
∴a≤72，
∴a 的范围是：−234>12>17，
∴Hm 的最大值为 1113．
26. （1） 令 y=0 则，−12x2−12x+3=0，解得 x1=−3，x2=2，
∴A−3,0，B2,0．
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
将点 A 和点 C 的坐标代入得：−3k+b=0,b=32, 解得：k=12,b=32,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=12x+32．
（2） 延长 PE 交 OA 于点 F，则 PF⊥OA，如图 1 所示：
∵PF⊥OA，PG⊥AC，
∴∠EFA=∠PGE．
又 ∵∠PEG=∠FEA，
∴∠EAF=∠EPG．
∵OC=32，AO=3，
∴tan∠GPE=tan∠EAF=12．
∴sin∠GPE=55，cs∠GPE=255．
∴PG=255PE，EG=55PE．
∴△PEG 的周长 =PE+PG+EG=1+355PE．
∴ 当 PE 取得最大值时，△PEG 的周长最大．
设点 P 的坐标为 t,−12t2−12t+3，则点 E 的坐标为 t,12t+32．
∵ 点 P 在点 E 的上方，
∴PE=−12t2−12t+3−12t+32=−12t2−t+32=−12t+12+2．
当 t=−1 时，PE 取得最大值，此时 △PGE 的周长取得最大值．
∴P−1,3，点 E 的坐标为 −1,1．
∴PE=3−1=2．
∴PG=255PE=455．
根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点 P，G，Q 三点共线时，QP−QG 的值最大，此时 QP−QG=PG=455．
（3） 存在，点 Aʹ 的坐标为 1,4 或 −2,1 或 −2+62,4+62 或 −2−62,4−62 或 −32,32．
【解析】存在，如图 2 所示：
∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P，
∴△PEG∽△PNF，
∴PFFN=PGEG，即 3FN=2，解得 FN=1.5．
∴ 点 N 的坐标为 12,0．
设直线 PN 的解析式为 y=k1x+b1，
将点 P 和点 N 的坐标代入得：−k1+b1=3,12k1+b1=0, 解得：k1=−2,b1=1,
∴M0,1．
设直线 AD 的解析式为 y=mx+3，
将点 A 的坐标代入得：−3m+3=0，解得 m=1，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=x+3．
设点 Aʹ 的坐标为 x,x+3．
当 PM=PAʹ 时，12+3−12=x+12+x+3−32，
整理得：x2+x−2=0，解得 x3=1，x4=−2，
∴ 点 Aʹ 的坐标为 1,4 或 −2,1；
当 PM=MAʹ 时，12+3−12=x2+x+3−12，
整理得：2x2+4x−1=0，解得：x5=−2+62，x6=−2−62，
∴ 点 Aʹ 的坐标为 −2+62,4+62 或 −2−62,4−62；
当 AʹP=AʹM 时，x+12+x+3−32=x2+x+3−12，
整理得：−2x=3，解得：x=−32，
∴Aʹ−32,32．
综上所述，点 Aʹ 的坐标为 1,4 或 −2,1 或 −2+62,4+62 或 −2−62,4−62 或 −32,32．