2017年重庆市合川区凉亭中学中考模拟数学试卷

这是一份2017年重庆市合川区凉亭中学中考模拟数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，tanA=43，则 sinA 的值为
A. 45B. 35C. 34D. 43

2. 已知 x=1 是关于 x 的方程 1−kx2+k2x−1=0 的根，则常数 k 的值为
A. 0B. 1C. 0 或 1D. 0 或 −1

3. 反比例函数 y=2x−1 的大致图象为
A. B.
C. D.

4. 一个正方体的平面展开图如图所示，折叠后可折成的图形是
A. B.
C. D.

5. 下列说法：
①所有等腰三角形都相似；
②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；
③有一个角相等的等腰三角形相似；
④有一个角为 60∘ 的两个直角三角形相似，其中正确的说法是
A. ②④B. ①③C. ①②④D. ②③④

6. 在学习了“25.1.2”概率后，平平和安安两位同学做掷质地均匀的正方体骰子试验，它们共做了 120 次试验，试验的结果如下表：
向上一面的点数123456出现的次数141812164020
综合上表，平平说：“如果投掷 600 次，那么向上一面点数是 6 的次数正好是 100 次．”安安说：“一次实验中向上一面点数是 5 的概率最大”．你认为平平和安安的说法中正确的是
A. 平平B. 安安C. 都正确D. 都错误

7. 将图中的箭头缩小到原来的一半，得到的图形是
A. B.
C. D.

8. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BE 分别交 AC，CD 于 G，F，交 AD 的延长线于 E，则图中的相似三角形有
A. 3 对B. 4 对C. 5 对D. 6 对

9. 如图，在矩形 ABCD 中（AD>AB），点 E 是 BC 上一点，且 DE=DA，AF⊥DE，垂足为点 F，在下列结论中，不一定正确的是
A. △AFD≌△DCEB. AF=12AD
C. AB=AFD. BE=AD−DF

10. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，sinB=513，则 tanA 的值为
A. 513B. 1213C. 512D. 125

11. 如图，已知在 △ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB，且 AD:DB=3:5，那么 CF:CB 等于
A. 5:8B. 3:8C. 3:5D. 2:5

12. 如图，二次函数 y=−58x2+74x+3 的图象与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，点 D 在该抛物线上，且点 D 的横坐标为 2，连接 BC，BD．设 ∠OCB=α，∠DBC=β，则 csα−β 的值是
A. 12B. 23C. 55D. 255

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图所示，四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 相似，已知 ∠A=120∘，∠B=85∘，∠C1=75∘，AB=10，A1B1=16，CD=18，则 ∠D1= ，C1D1= ，它们的相似比为 ．

14. 已知方程 3ax2−bx−1=0 和 ax2+2bx−5=0，有共同的根 x=−1，则 a= ，b= ．

15. 若 △ADE∽△ACB，且 ADAC=23，若四边形 BCED 的面积是 2，则 △ADE 的面积是 ．

16. 抛物线的部分图象如图所示，则当 y<0 时，x 的取值范围是 ．

17. 正比例函数 y1=mx（m>0）的图象与反比例函数 y2=kx−1（k≠0）的图象交于点 An,4 和点 B，AM⊥y轴，垂足为 M．若 △AMB 面积为 8，则满足 y1>y2 的实数 x 取值范围是 ．

18. 已知点 P 在一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k<0，b>0）的图象上，将点 P 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到点 Q，点 Q 也在该函数 y=kx+b 的图象上．
（1）k 的值是 ；
（2）如图，该一次函数的图象分别与 x 轴，y 轴交于 A 、 B 两点，且与反比例函数 y=−4x 图象交于 C，D 两点（点 C 在第二象限内），过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，记 S1 为四边形 CEOB 的面积，S2 为 △OAB 的面积，若 S1S2=79，则 b 的值是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 解方程：3x−12=xx−1．

20. 如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距墙 80 cm，梯上点 D 距墙 70 cm，BD 长 55 cm，求梯子的长．

21. 某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具 280 元销售时，每月可销售 300 个．若销售单价每降低 1 元，每月可多售出 2 个．据统计，每个玩具的固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）满足如下关系：
月产销量y个⋯160200240300⋯每个玩具的固定成本Q元⋯60484032⋯
（1）写出月产销量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求每个玩具的固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）之间的函数关系式；
（3）若每个玩具的固定成本为 30 元，则它占销售单价的几分之几?
（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过 400 个，则每个玩具的固定成本至少为多少元?销售单价最低为多少元?

22. 一个袋中有 3 张形状大小完全相同的卡片，编号为 1，2，3，先任取一张，将其编号记为 m，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为 n．
（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；
（2）求关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个不相等实数根的概率．

23. 为方便市民通行，某广场计划对坡角为 30∘，坡长为 60 米的斜坡 AB 进行改造，在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE．
（1）若修建的斜坡 BE 的坡角为 36∘，则平台 DE 的长约为多少米?
（2）在距离坡角 A 点 27 米远的 G 处是商场主楼，小明在 D 点测得主楼顶部 H 的仰角为 30∘，那么主楼 GH 高约为多少米?（结果取整数，参考数据：sin36∘≈0.6，cs36∘≈0.8，tan36∘≈0.7，3≈1.7）

24. 在直角墙角 AOB （ OA⊥OB，且 OA 、 OB 长度不限）中，要砌 20 m 长的墙，与直角墙角 AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形 AOBC 的面积为 96 m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00 （单位： m 的地板砖单价分别为 55 元/块和 80 元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少?

25. 如图，△ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN∥BC．设 MN 交 ∠ACB 的平分线于点 E，交 ∠ACB 的外角平分线于点 F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长；
（3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形?并说明理由．

26. 如图，已知抛物线 m:y=ax2−6ax+ca>0 的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B0,1，直线 n:y=−12x+72 与 x 轴交于点 D，与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F，过 B 点的直线 BE 与直线 n 相交于点 E−7,7．
（1）求抛物线 m 的解析式；
（2）P 是 l 上的一个动点，若以 B，E，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标；
（3）抛物线 m 上是否存在点 Q，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D?若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. C
4. D
5. A
6. D
7. A
8. D
9. B
10. D
11. A
12. D
第二部分
13. 80∘，28.8，5:8
14. 1，−2
15. 85
16. x<−1 或 x>3
17. −22
18. （1）−2；（2）32
【解析】（1）设点 P 的坐标为 m,n，则点 Q 的坐标为 m−1,n+2 .
依题意得 n=km+b,n+2=km−1+b.
解得 k=−2．
（2）因为 BO⊥x 轴，CE⊥x 轴，
所以 BO∥CE .
所以 △AOB∽△AEC．
因为 S1S2=79，
所以 S△AOBS△AEC=97+9=916．
令一次函数 y=−2x+b 中 x=0，则 y=b，
所以 BO=b；
令一次函数 y=−2x+b 中 y=0，则 0=−2x+b，
解得 x=b2，即 AO=b2．
因为 △AOB∽△AEC，且 S△AOBS△AEC=916．
所以 AOAE=BOCE=34．
所以 AE=43AO=23b，CE=43BO=43b，OE=AE−AO=16b．
因为 OE⋅CE=−4=4，即 29b2=4，
解得 b=32 或 b=−32（舍去）．
第三部分
19.
3x−12=xx−1.3x−12−xx−1=0.x−13x−1−x=0.x−1=0,3x−1−x=0.x1=1,x2=1.5.
20. ∵ DE∥BC，
∴ △ADE∽△ABC，
∴ ADAB=DEBC，
∴ AB−55AB=7080．
∴ AB=440cm．
21. （1） 由于销售单价每降低 1 元，每月可多售出 2 个，所以月产销量 y（个）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，不妨设 y=kx+b，则满足函数关系式，
得 280k+b=300,279k+b=302,
解得 k=−2,b=860,
则月产销量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为 y=−2x+860．
（2） 观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本 Q（元）与月产销量 y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设 Q=my，将 Q=60，y=160 代入得到 m=9600，此时 Q=9600y．
（3） 当 Q=30 时，y=320，由（1）可知 y=−2x+860，所以 x=270，即销售单价为 270 元，由于 30270=19，所以成本占销售单价的 19．
（4） 若 y≤400，则 Q≥9600400，即 Q≥24，固定成本至少是 24 元，400≥−2x+860，解得 x≥230，即销售单价最低为 230 元．
22. （1） 依题意画出树状图如下．
由树状图可知，共有 6 种等可能的情况．
（2） 当 m2−4n>0 时，关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个不相等实数根，而使得 m2−4n>0 的 m，n 有 2 组，即 3,1 和 3,2．
则关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个不相等实数根的概率是 13．
23. （1） 因为修建的斜坡 BE 的坡角为 36∘，
所以 ∠BEF=36∘，
因为 ∠DAC=∠BDF=30∘，AD=BD=30，
所以 BF=0.5BD=15，DF=153≈15×1.7=25.5，EF=BFtan36∘≈150.7≈21.43．
故：DE=DF−EF≈4（米）．
答：平台 DE 的长约为 4 米．
（2） 过点 D 作 DP⊥AC，垂足为 P．
在 Rt△DPA 中，DP=0.5AD=0.5×30=15，PA=AD⋅cs30∘=32×30=153，
在矩形 DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=153+27，
在 Rt△DMH 中，HM=DM⋅tan30∘=33×153+27=15+93，GH=HM+MG=15+15+93≈45．
答：建筑物 GH 高约为 45 米．
24. （1） 设这地面矩形的长是 x m，则依题意得：
x20−x=96，
解得 x1=12，x2=8 （舍去），
答：这地面矩形的长是 12 米；
（2） 规格为 0.80×0.80 所需的费用：96×0.80×0.80×55=8250 （元）．
规格为 1.00×1.00 所需的费用：96×1.00×1.00×80=7680 （元）．
因为 8250<7680，
所以采用规格为 1.00×1.00 所需的费用较少．
25. （1） 如图 1，
∵MN 交 ∠ACB 的平分线于点 E，交 ∠ACB 的外角平分线于点 F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF．
（2） ∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90∘，
∵CE=12，CF=5，
∴EF=122+52=13，
∴OC=12EF=6.5．
（3） 如图 2，当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．
证明：当 O 为 AC 的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形，
∵∠ECF=90∘，
∴ 平行四边形 AECF 是矩形．
26. （1） ∵ 抛物线过点 B0,1，
∴c=1．
∵ 抛物线 y=ax2−6ax+ca>0 的顶点 A 在 x 轴上，
∴ 配方得 y=ax−32−9a+1，则有 −9a+1=0，解得 a=19，
∴A 点坐标为 3,0，抛物线 m 的解析式为 y=19x2−23x+1．
（2） ∵ 点 B 关于对称轴直线 x=3 的对称点 Bʹ 为 6,1，
∴ 连接 EBʹ 交 l 于点 P，如图所示，
设直线 EBʹ 的解析式为 y=kx+b，
把 −7,7，6,1 代入得 −7k+b=7,6k+b=1,
解得 k=−613,b=4913,
则函数解析式为 y=−613x+4913，
把 x=3 代入解得 y=3113，
∴ 点 P 坐标为 3,3113．
（3） ∵y=−12x+72 与 x 轴交于点 D，
∴ 点 D 坐标为 7,0，
∵y=−12x+72 与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F，
∴ 点 F 坐标为 3,2，
FD 的直线解析式为 y=−12x+72，若以 FQ 为直径的圆经过点 D，可得 ∠FDQ=90∘，
则 DF2+DQ2=QF2．
设点 Q 的坐标为 d,19d2−23d+1，
则有 d−72+19d2−23d+12+20=d−32+19d2−23d+1−22，
解得 d1=9，d2=15．
当 d=9 时，19d2−23d+1=9−6+1=4，
当 d=15 时，19d2−23d+1=25−10+1=16，
∴ 点 Q 坐标为 9,4 或 15,16．