2017年长春市农安县中考一模数学试卷

这是一份2017年长春市农安县中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 有理数 −3 的相反数是
A. −13B. 13C. −3D. 3

2. 2017 年春节期间（1 月 27 日至 2 月 2 日），长春龙嘉国际机场保障航班起降 1695 架次，运送旅客大约 228600 人次，228600 这个数用科学记数法表示为
A. 22.86×104B. 2.286×105C. 2.286×106D. 0.2286×106

3. 如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是
A. B.
C. D.

4. 不等式组 x<3,x−1≤0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

5. 方程 x2+4x+4=0 的根的情况是
A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根

6. 如图所示为做课间操时，小明、小刚和小红三人的相对位置，如果用 4,5 表示小明的位置，2,4 表示小刚的位置，那么小红的位置可表示为
A. 0,0B. 0,1C. 1,0D. 1,2

7. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，点 C，O 在弦 AB 的同侧．若 ∠ACB=40∘，则 ∠ABO 的大小为
A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘

8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=3xx>0 的图象经过 A，B 两点，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行．若 A，B 两点的纵坐标分别为 3 和 1，则菱形 ABCD 的面积为
A. 2B. 4C. 22D. 42

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：a32= ．

10. 分解因式 2x2−18= ．

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘．以点 A 为圆心、 AC 长为半径作圆弧，交边 AB 于点 D．若 ∠B=65∘，AC=6，则 CD 的长为 ．

12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，按如下步骤作图：① 分别以点 B，C 为圆心，大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；② 作直线 MN 交 AC 于点 D；③ 连接 BD，若 AC=8，则 BD 的长为 ．

13. 如图，在平面直角坐标系中，点 P−12,a 在直线 y=2x+2 与直线 y=2x+4 之间，则 a 的取值范围是 ．

14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的三个顶点 A，B，D 均在抛物线 y=ax2−4ax+3a<0 上．若点 A 是抛物线的顶点，点 B 是抛物线与 y 轴的交点，则 AC 长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 先化简，再求值：aa+1−a−12，其中 a=23．

16. 三张扑克牌的牌面如图所示，这三张扑克牌除牌面不同外，其它均相同．将这三张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，记下数字后放回；重新洗匀后从中再随机抽出一张，记下数字．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张扑克牌上的数字之和是 9 的概率．

17. 为了减少雾霾，美化环境，小王上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小王家距单位的路程是 15 千米，在相同的路线上，小王驾车的速度是骑自行车速度的 4 倍，小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发 45 分钟，才能按原时间到达单位，求小王骑自行车的速度．

18. 如图，在热气球上 A 处测得塔顶 B 的仰角为 52∘，测得塔底 C 的俯角为 45∘，已知 A 处距地面 98 米，求塔高 BC．（结果精确到 0.1 米）
【参考数据：sin52∘≈0.79，cs52∘≈0.62，tan52∘≈1.28 】

19. 为了解某小区家庭用水情况，小丽随机调查了该小区部分家庭 4 月份的用水量，并将收集的数据整理并绘制成如下条形统计图．
（1）求小丽调查的家庭总数?
（2）所调查家庭 4 月份用水量的众数为 吨，中位数为 吨；
（3）该小区共有 200 户家庭，请估计这个小区 4 月份的用水总量．

20. 如图（1），在 △ABC 中，AD 是 BC 边的中线，过 A 点作 AE∥BC 与过 D 点作 DE∥AB 交于点 E，连接 CE．
（1）求证：四边形 ADCE 是平行四边形．
（2）连接 BE，AC 分别与 BE，DE 交于点 F，G，如图（2），若 AC=6，求 FG 的长．

21. 某县在实施“村村通”工程中，决定在A，B两村之间修一条公路，甲、乙两个工程队分别从A，B两村同时开始相向修路，施工期间，甲队改变了一次修路速度，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到公路修通，甲、乙两个工程队各自所修公路的长度 y（米）与修路时间 x（天）之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队前 8 天所修公路的长度；
（2）求甲工程队改变修路速度后 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）求这条公路的总长度．

22. 问题原型：如图①，在等腰直角三角形 ABC 中 ∠ACB=90∘，BC=a．将 AB 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 得到线段 BD，连接 CD，过点 D 作 △BCD 的 BC 边上的高 DE．
易证 △ABC≌△BDE，从而得到 △BCD 的面积为 12a2．
（1）初步探究：如图②，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=a，将边 AB 绕到点 B 顺时针旋转 90∘ 得到线段 BD，连接 CD，用含 a 的代数式表示 △BCD 的面积，并说明理由．
（2）简单应用：如图③，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BC=a，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 得到线段 BD，连接 CD．直接写出 △BCD 的面积（用含 a 的代数式表示）．

23. 如图，△ABC 是等边三角形，AB=6 cm，D 为边 AB 中点，动点 P，Q 在边 AB 上同时从点 D 出发，点 P 沿 D→A 以 1 cm/s 的速度向终点 A 运动，点 Q 沿 D→B→D 以 2 cm/s 的速度运动，回到点 D 停止，以 PQ 为边在 AB 上方作等边三角形 PQN．将 △PQN 绕 QN 的中点旋转 180∘ 得到 △MNQ．设四边形 PQMN 与 △ABC 重叠部分图形的面积为 Scm2，点 P 运动的时间为 ts0（1）当点 N 落在边 BC 上时，求 t 的值．
（2）当点 N 到点 A，B 的距离相等时，求 t 的值．
（3）当点 Q 沿 D→B 运动时，求 S 与 t 之间的函数表达式．
（4）设四边形 PQMN 的边 MN，MQ 与边 BC 的交点分别是 E，F，直接写出四边形 PEMF 与四边形 PQMN 的面积比为 2:3 时 t 的值．

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+5 与 x 轴交于 A1,0，B5,0 两点，点 D 是抛物线上横坐标为 6 的点．点 P 在这条抛物线上，且不与 A，D 两点重合，过点 P 作 y 轴的平行线与射线 AD 交于点 Q，过点 Q 作 QF 垂直于 y 轴，点 F 在点 Q 的右侧，且 QF=2，以 QF，QP 为邻边作矩形 QPEF．设矩形 QPEF 的周长为 d，点 P 的横坐标为 m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）求这条抛物线的对称轴将矩形 QPEF 的面积分为 1:2 两部分时 m 的值；
（3）求 d 与 m 之间的函数关系式及 d 随 m 的增大而减小时 d 的取值范围；
（4）当矩形 QPEF 的对角线互相垂直时，直接写出其对称中心的横坐标．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. A
4. C
5. A
6. D
7. C
8. D
第二部分
9. a6
10. 2x−3x+3
11. 56π
12. 4
13. 114. 4
第三部分
15. 原式=a2+a−a2+2a−1=3a−1,
当 a=23 时，原式=2−1=1．
16. 画树状图为：
共有 9 种等可能的结果，其中抽出的两张扑克牌上的数字之和是 9 的结果有 2 种，
所以抽出的两张扑克牌上的数字之和是 9 的概率为 29．
17. 设骑自行车的速度为 x 千米/时，则驾车的速度为 4x 千米/时．
根据题意，得
15x−154x=4560.
解得
x=15.
经检验，x=15 是原方程的解，且符合题意．
答：骑自行车的速度为 15 千米/时．
18. 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D．
由题意可知，在 Rt△ADC 中，∠ADC=90∘，∠CAD=45∘，CD=98，
∴ ∠ACD=∠CAD=45∘．
∴ AD=CD=98．
在 Rt△ABD 中，BD=AD×tan∠BAD≈98×1.28=125.44．
∴ BC=BD+CD=125.44+98=223.44≈223.4（米）．
答：塔高 BC 约为 223.4 米．
19. （1） 1+1+3+5+4+3+2+1=20（户），
所以小丽一共调查了 20 户家庭．
（2） 4；4.5
（3） ∵1×1+2×1+3×3+4×5+5×4+6×3+7×2+8×1=92．
∴9220×200=920（吨）．
所以这个小区 4 月份的用水总量约为 920 吨．
20. （1） ∵ AE∥BC，DE∥AB．
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形.
∴ AE=BD .
∵ BD=DC，
∴ AE=DC .
∵ AE∥DC，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形．
（2） ∵ 四边形 ADCE 是平行四边形，AC=6，
∴ AG=GC=3 .
∵ AE∥BC，
∴ △AEF∽△CBF .
∴ AFCF=AEBC=12，即 CF=2AF .
∵ AF+FC=AC=6，
∴ AF=2 .
∴ FG=AG−AF=1．
21. （1） 由图象可知前八天甲、乙两队修的公路一样长，
乙队前八天所修公路的长度为 840÷12×8=560（米），
答：甲队前 8 天所修公路的长度为 560 米．
（2） 设甲工程队改变修路速度后 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，
将点 4,360，8,560 代入，得 360=4k+b,560=8k+b,
解得 k=50,b=160.
故甲工程队改变修路速度后 y 与 x 之间的函数关系式为 y=50x+1604≤x≤16．
（3） 当 x=16 时，y=50×16+160=960．
由图象可知乙队共修了 840 米．
960+840=1800（米）．
答：这条公路的总长度为 1800 米．
22. （1） △BCD 的面积为 12a2．
理由：如图②，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的反向延长线交于点 E．
∴ ∠BED=∠ACB=90∘．
∵ 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 得到线段 BD，
∴ AB=BD，∠ABD=90∘，
∴ ∠ABC+∠DBE=90∘．
∵ ∠A+∠ABC=90∘．
∴ ∠A=∠DBE．
在 △ABC 和 △BDE 中，
∠ACB=∠BED,∠A=∠DBE,AB=BD.
∴ △ABC≌△BDEAAS，
∴ BC=DE=a．
∵ S△BCD=12BC⋅DE，
∴ S△BCD=12a2．
（2） △BCD 的面积为 14a2．
【解析】如图③，过 A 作 AF⊥BC 于点 F，过点 D 作 DE⊥BC 的反向延长线于点 E，
∴ ∠AFB=∠E=90∘，BF=12BC=12a．
∴ ∠FAB+∠ABF=90∘．
∵ ∠ABD=90∘，
∴ ∠ABF+∠DBE=90∘，
∴ ∠FAB=∠EBD．
∵ 线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的，
∴ AB=BD．
在 △AFB 和 △BED 中，
∠AFB=∠E,∠FAB=∠EBD,AB=BD.
∴ △AFB≌△BEDAAS，
∴ BF=DE=12a．
∵ S△BCD=12BC⋅DE，
∴ S△BCD=12⋅12a⋅a=14a2．
∴ △BCD 的面积为 14a2．
23. （1） ∵ △PQN 与 △ABC 都是等边三角形，
∴ 当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合．
∴ DQ=3，
∴ 2t=3，
∴ t=32．
（2） ∵ 当点 N 到点 A，B 的距离相等时，点 N 在边 AB 的垂直平分线上，
∴ PD=DQ，
当 0此时，PD=t，DQ=2t，
∴ t=2t，
∴ t=0（不合题意，舍去），
当 32≤t<3 时，
此时，PD=t，DQ=6−2t，
∴ t=6−2t，
解得 t=2；
综上所述，当点 N 到点 A，B 的距离相等时，t=2．
（3） 由题意知：此时，PD=t，DQ=2t，
当点 M 在 BC 边上时，
∴ MN=BQ，
∵ PQ=MN=3t，BQ=3−2t，
∴ 3t=3−2t，
∴ 解得 t=35，
如图①，
当 0 S△PNQ=34PQ2=934t2；
∴ S=S菱形PQMN=2S△PNQ=932t2，
如图②，
当 35设 MN，MQ 与边 BC 的交点分别是 E，F，
∵ MN=PQ=3t，NE=BQ=3−2t，
∴ ME=MN−NE=PQ−BQ=5t−3，
∵ △EMF 是等边三角形，
∴ S△EMF=34ME2=345t−32，
S=S菱形PQMN−S△MEF=932t2−345t−32，S=−734t2+1532t−934．
（4） t=1 或 t=157．
24. （1） 把 A1,0，B5,0 代入 y=ax2+bx+5，
a+b+5=0,25a+5b+5=0,
解得 a=1,b=−6,
所以 y=x2−6x+5．
（2） 如图所示：
因为抛物线 y=x2−6x+5 的对称轴为：x=−b2a=−−62=3，
又因为这条抛物线的对称轴将矩形 QPEF 的面积分为 1:2 两部分，
可得 PN=3−m，PE=2，
所以 3−m2=23 或 3−m2=13，
解得：m=53 或 m=73．
（3） 当 x=6 时，y=x2−6x+5=62−6×6+5=5，
所以点 D 的坐标为 6,5．
射线 AD 所对应的函数表达式为 y=x−1x>1．
所以 Pm,m2−6m+5，Qm,m−1．
当 1当 m>6 时，d=2m2−7m+6+2=2m2−14m+16，
又 d=−2m2+14m−8=−2m−722+332，
所以 d 随 m 的增大而减小时 d 的取值范围是 4 （4） 当矩形 QPEF 的对角线互相垂直时，则矩形 QPEF 是正方形，边长为 2，
当 1整理得：m2−7m+8=0，
解得：m1=7+172，m2=7−172，
当 m>6 时，m2−6m+5−m−1=2，
整理得：m2−7m+4=0，
解得：m3=7+332，m4=7−332（舍去），
故 其 对 称 中 心 的 横 坐 标 为 ： 7+172+1=9+172，7−172+1=9−172，7+332+1=9+332．