2017年苏州市工业园区中考一模数学试卷

这是一份2017年苏州市工业园区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 23 的相反数是
A. 23B. 32C. −23D. −32

2. 人体血液中，红细胞的直径约为 0.0000077 m．用科学记数法表示 0.0000077 是
A. 0.77×10−5B. 7.7×10−5C. 7.7×10−6D. 77×10−7

3. 下列运算结果等于 a6 的是
A. a2+a4B. a2⋅a3C. −a23D. a8÷a2

4. 学校测量了全校 1200 名女生的身高，并进行了分组．已知身高在 1.60∼1.65（单位：m）这一组的频率为 0.25，则该组共有女生
A. 150 名B. 300 名C. 600 名D. 900 名

5. 某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23 、 20 、 20 、 21 、 26 （单位：∘C ），这组数据的中位数和众数分别是
A. 22∘C，26∘CB. 22∘C，20∘CC. 21∘C，26∘CD. 21∘C，20∘C

6. 如图，直线 m∥n．若 ∠1=70∘，∠2=25∘，则 ∠A 等于
A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 55∘

7. 在反比例函数 y=1−3kx 的图象上有两点 Ax1,y1，Bx2,y2．若 x1<0A. k≥13B. k>13C. k<−13D. k<13

8. 如图，在楼顶点 A 处观察旗杆 CD 测得旗杆顶部 C 的仰角为 30∘，旗杆底部 D 的俯角为 45∘．已知楼高 AB=9 m，则旗杆 CD 的高度为
A. 9+3mB. 9+33mC. 93 mD. 123 m

9. 如图，D，E，F 分别是 △ABC 各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形 ADEF 是矩形的是
A. ∠BAC=90∘B. BC=2AE
C. DE 平分 ∠AEBD. AE⊥BC

10. 如图，等边三角形纸片 ABC 中，AB=4．D 是 AB 边的中点，E 是 BC 边上一点，现将 △BDE 沿 DE 折叠，得 △BʹDE．连接 CBʹ，则 CBʹ 长度的最小值为
A. 23−2B. 1C. 3−1D. 2

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 计算：x+12= ．

12. 甲、乙、丙三位选手各射击 10 次的成绩统计如下：
选手甲乙丙平均数环方差
其中，发挥最稳定的选手是 ．

13. 在一次数学考试中，某班级的一道单选题的答题情况如下：
根据以上信息，该班级选择“B”选项的有 人．

14. 若 a2−2a−8=0，则 5+4a−2a2= ．

15. 无论 m 为何值，二次函数 y=x2+2−mx+m 的图象总经过定点 ．

16. 如图，已知点 A0,3，B4,0，点 C 在第一象限，且 AC=55，BC=10，则直线 OC 的函数表达式为 ．

17. 如图，已知扇形 AOB 中，OA=3，∠AOB=120∘，C 是 AB 上的动点，以 BC 为边作正方形 BCDE．当点 C 从点 A 移动至点 B 时，点 D 经过的路径长是 ．

18. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC=BC=DC=4，AD=6，则 BD= ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：38−12−2+π−10．

20. 解不等式组：−12x<1,3x−2−x≤4.

21. 先化简，再求值：a−3a−2÷a+2−5a−2，其中 a=2−3．

22. 某校购买了甲、乙两种不同的足球，其中购买甲种足球共花费 2000 元，购买乙种足球共花费 1400 元．已知购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的 2 倍，且购买 1 个乙种足球比购买 1 个甲种足球多花 20 元．问购买 1 个甲种足球、 1 个乙种足球各需多少元?

23. 甲、乙、丙三人准备玩传球游戏．规则是：第 1 次传球从甲开始，甲先将球随机传给乙、丙两人中的一个人，再由接到球的人随机传给其他两人中的一个人 ⋯⋯ 如此反复．
（1）若传球 1 次，球在乙手中的概率为 ；
（2）若传球 3 次，求球在甲手中的概率（用树状图或列表法求解）．

24. 如图，已知四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=AD．
（1）用直尺和圆规作 ∠BAD 的平分线 AE，AE 与 BC 相交于点 E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形 ABED 是菱形；
（3）若 ∠B+∠C=90∘，BC=18，CD=12 求菱形 ABED 的面积．

25. 如图，函数 y=43x 与函数 y=mxx>0 的图象相交于点 An,4．点 B 在函数 y=mxx>0 的图象上，过点 B 作 BC∥x 轴，BC 与 y 轴相交于点 C，且 AB=AC．
（1）求 m，n 的值；
（2）求直线 AB 的函数表达式．

26. 如图，在 △ABC 中，CD⊥AB，垂足为点 D，以 AB 为直径的半圆 O 分别与 AC，CD 相交于点 E，F，连接 AF，EF．
（1）求证：∠AFE=∠ACD；
（2）若 CE=4，CB=45，tan∠CAB=43，求 FD 的长．

27. 如图，己知 Rt△ABC 的直角边 AC 与 Rt△DEF 的直角边 DF 在同一条直线上，且 AC=60 cm，BC=45 cm，DF=6 cm，EF=8 cm．现将点 C 与点 F 重合，再以 4 cm/s 的速度沿 CA 方向移动 △DEF；同时，点 P 从点 A 出发，以 5 cm/s 的速度沿 AB 方向移动，设移动时间为 ts．以点 P 为圆心，3tcm 长为半径的 ⊙P 与 AB 相交于点 M，N．当点 F 与点 A 重合时，△DEF 与点 P 同时停止移动．在移动的过程中，
（1）连接 ME，当 ME∥AC 时，t= ；
（2）连接 NF，当 NF 平分 DE 时，求 t 的值；
（3）是否存在 ⊙P 与 Rt△DEF 的两条直角边所在的直线同时相切的时刻?若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．

28. 如图，二次函数 y=ax2+bx+2 的图象与 x 轴相交于点 A−1,0，B4,0，与 y 轴相交于点 C．
（1）求该函数的表达式；
（2）点 P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点 P 作 PQ⊥BC，垂足为点 Q，连接 PC．
①求线段 PQ 的最大值；
②若以点 P，C，Q 为顶点的三角形与 △ABC 相似，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. D
4. B
5. D
6. C
7. D
8. B
9. D【解析】根据 D，E，F 是 △ABC 的中点，易得四边形 ADEF 是平行四边形，
根据 AE⊥BC，可得四边形 ADEF 为菱形，不是矩形．
10. A
【解析】由于 DBʹ 的长度不变，当 D，Bʹ，C 三点共线的时候，CBʹ 的长度最短，由题意可得，当 D，Bʹ，C 三点共线时，DC=23,DBʹ=DB=2，即 CBʹ最小=23−2．
第二部分
11. x2+2x+1
12. 丙
13. 28
14. −11
15. 1,3
16. y=45x
17. 22π
【解析】由题意可知，D 点的路径为半径为 32 的圆弧，圆心角的度数为 120∘，
即 D 点的路径长为 32×120×π180=22π．
18. 27
【解析】延长 BC 至 E，使 CE=BC，连接 DE，
∵BC=CE=DC=4，
∴∠CBD=∠CDB，∠CED=∠CDE，
又 ∠CBD+∠CED+∠BDE=180∘，
∴∠BDE=90∘，
∴△BDE 是直角三角形，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠ACD，
∵BC=AC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠DCE=∠ACD，
在 △ACD 和 △ECD 中，
CD=CD,∠ACD=∠ECD,AC=EC,
∴△ACD≌△ECD，
∴AD=ED=6，
∵BE=2BC=8，
∴BD=27．
第三部分
19. 原式=2−4+1=−1.
20.
−12x<1, ⋯⋯①3x−2−x≤4. ⋯⋯②
解不等式 ①，得
x>−2.
解不等式 ②，得
x≤5.∴
原不等式组的解集是
−221. 原式=a−3a−2÷a2−9a−2=a−3a−2⋅a−2a2−9=a−3a2−9=a−3a+3a−3=1a+3.
当 a=2−3 时，
原式=12−3+3=12=22.
22. 设购买 1 个甲种足球需 x 元，则购买 1 个乙种足球需 x+20 元．
根据题意，得
2000x=2×1400x+20.
解这个方程，得
x=50.
经检验，x=50 是原方程的解，且符合题意，
所以
x+20=70.
答：购买一个甲种足球需 50 元，购买 1 个乙种足球需 70 元．
23. （1） 12
（2） 画树状图列出所有可能出现的结果，如图，
∵ 3 次传球后，所有等可能的情况共有 8 种，其中球在甲手中的有 2 种，
∴ P球在甲手中=28=14．
24. （1） 作法如图 1 所示．
（2） ∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE．
∵AB=AD，
∴AD=BE，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形，
而 AB=AD，
∴ 四边形 ABED 是菱形．
（3） 如图 2，连接 DE，过点 D 作 DF⊥BC，垂足为点 F．
∵ 四边形 ABED 是菱形，
∴DE∥AB，DE=BE，
∴∠DEC=∠B．
而 ∠B+∠C=90∘，
∴∠DEC+∠C=90∘，
∴∠EDC=90∘．
设 DE=BE=x，
∵BC=18，
∴EC=18−x，
∵DE2+CD2=EC2，而 CD=12，
∴x2+122=18−x2，解得 x=5，
∴DE=BE=5，EC=13．
∵S△EDC=12×DE⋅CD=12×EC⋅DF，
∴DF=6013，
∴S菱形ABED=BE⋅DF=5×6013=30013．
25. （1） ∵ 函数 y=43x 与 y=mxx>0 的图象相交于点 An,4，
∴ 43n=4，
∴ n=3，
∴ m=4n=12．
（2） 如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D．
∵ AB=AC，
∴ BC=2CD．
又 ∵ BC∥x 轴，
∴ AD⊥x 轴，而 A3,4，
∴ CD=3，
∴ BC=6，
∴ 点 B 的横坐标为 6，可求得点 B 的纵坐标为 2，
∴ B6,2．
设直线 AB 的函数表达式为 y=kx+b，
∵ A3,4，
∴ 4=3k+b,2=6k+b, 解得 k=−23,b=6,
∴ 直线 AB 的函数表达式为 y=−23x+6．
26. （1） 如图 1，连接 BE．
∵ AB 是半圆 O 的直径，
∴ ∠AEB=90∘，
∴ ∠CAD+∠ABE=90∘．
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDA=90∘．
∴ ∠CAD+∠ACD=90∘，
∴ ∠ABE=∠ACD．
∵ ∠ABE=∠AFE，
∴ ∠AFE=∠ACD．
（2） 如图 2，连接 OF．
∵ ∠BEC=90∘，
∴ BE=CB2−CE2=8，
∵ 在 Rt△ABE 中，tan∠CAB=43，
∴ AE=6，
∴ AB=10．
又 ∵ 在 Rt△ACD 中，tan∠CAB=43，
∴ sin∠CAB=45，
而 AC=AE+CE=10，
∴ CD=8，
∴ AD=6．
∵ OD=AD−OA=1，OF=5，
∴ 在 Rt△FOD 中，有 FD=OF2−OD2=26．
27. （1） 203s
（2） ∵ AC=60，BC=45，DF=6，EF=8，
∴ ACEF=BCDF，
又 ∵ ∠BCA=∠EFD=90∘，
∴ △ABC∽△EDF，
∵ ∠A+∠B=90∘，∠B=∠EDF，
∴ ∠A+∠EDF=90∘，
如图 1，设 NF 交 DE 于 G，
∵ NF 平分 DE，
∴ GF=GD，
∴ ∠GFD=∠EDF，
∴ ∠A+∠NFD=90∘，
∴ ∠ANF=90∘，
∴ csA=ANAF=ACAB，
∴ 8t60−4t=45，
∴ t=307s，
∴ 当 NF 平分 DE 时，t=307 s．
（3） 存在，作 PH⊥AC，垂足为 H，
则 AP=5t，AH=4t，PH=3t，
∴ ⊙P 与直线 DF 相切．
设 ⊙P 与直线 EF 相切于点 Q，连接 PQ，
①如图 2，
当 ⊙P 在直线 EF 左侧时，有 AH+PQ=AF，
∴ 4t+3t=60−4t，
∴ t=6011s．
②如图 3，
当 ⊙P 在直线 EF 右侧时，有 AH−PQ=AF，
∴ 4t−3t=60−4t，
∴ t=12s．
综上，当 t=6011s 或 t=12s 时，⊙P 与 Rt△DEF 的两条直角边所在的直线同时相切．
28. （1） ∵ y=ax2+bx+2 的图象与 x 轴交于点 A−1,0，B4,0，
∴ y=ax+1x−4=ax2−3ax−4a，
∴ −4a=2，解得 a=−12，b=−3a=32，
∴ 该函数的表达式为 y=−12x2+32x+2．
（2） ①如图，过 P 作 PE⊥x 轴，垂足为点 E，PE 与 BC 相交于点 D．
设点 Pm,−12m2+32m+2，则 OE=m，PE=−12m2+32m+2．
由 B4,0，C0,2 可求得直线 BC 的函数表达式为 y=−12x+2，
∴ Dm,−12m+2，
∴ DE=−12m+2，PD=PE−DE=−12m2+2m．
∵ PE⊥x 轴，
∴ PE∥y 轴，
∴ ∠PDC=∠BCO，
∴ sin∠PDC=sin∠BCO，
∴ PQPD=OBBC，
∴PQ=425PD=255PD=255−12m2+2m=−55m−22+455.
∵ 0 ∴ 当 m=2 时，PQ 有最大值，最大值为 455．
② ∵ OA=1，OB=4，OC=2，
∴ tan∠CAO=OCOA=2，tan∠BCO=OBOC=2，
∴ tan∠CAO=tan∠BCO，
∴ ∠CAO=∠BCO．
而 ∠AOC=90∘，
∴ ∠CAO+∠ACO=90∘，
∴ ∠BCO+∠ACO=90∘，
即 ∠ACB=90∘．
i．如图 2，
当 △PCQ∽△ABC 时，有 ∠PCQ=∠ABC，
∴ CP∥AB，
∴ 点 P 的纵坐标为 2，
∴ −12m2+32m+2=2，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=3，
∴ 点 P 的坐标为 3,2．
ii．如图 3，
当 △CPQ∽△ABC 时，有 ∠PCQ=∠CAO，
∵ ∠CAO=∠BCO，
∴ ∠PCQ=∠BCO．
∵ ∠PDC=∠BCO，
∴ ∠PDC=∠PCQ，
∴ PC=PD．
∵ Fm,2，则有 CF=m，PF=PE−EF=−12m2+32m，而 PD=−12m2+2m，
∴ m2+−12m2+32m2=−12m2+2m2，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=32，
当 m=32 时，−12m2+32m+2=258，
∴ 点 P 的坐标为 32,258．
综上，若以点 P，C，Q 为顶点的三角形与 △ABC 相似，则点 P 的坐标为 3,2 或 32,258．