模块综合练01 三角函数与解三角形-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

模块综合练01三角函数与解三角形

一、单选题

1．（2021·湖北高二期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

计算到的距离，结合图形即可得出结论．

【详解】

，，

到的距离，

当时，三角形无解，

当时，三角形有一解，

当时，三角形有两解，

当时，三角形有一解．

故选：．

2．（2021·安徽高一期中）已知在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

结合正弦定理、二倍角公式及两角和与差的正弦公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可得答案.

【详解】

，由正弦定理

，

因为，所以，

所以，，

即的取值范围是.

故选：D.

3．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由诱导公式，同角间的三角函数关系式得，然后由二倍角公式，利用同角关系式化为关于的二次齐次式，再弦化切求值．

【详解】

解：因为，

所以，

所以.

故选：A.

4．（2020·江苏高三一模）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先根据二倍角公式得到，从而得到，再利用诱导公式求解即可.

【详解】

，

因为，所以，所以.

因为，所以.所以.

故选：B

5．（2021·河南高二其他模拟（理））已知，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据二倍角公式可得，求出，再根据同角三角函数的平方关系可求出答案．

【详解】

解：由题可知，即，

，

，，，

故选：A．

6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据函数图象易知，即可求出，再根据，而，根据三角函数的性质即可知．

【详解】

由图象知，，又，，所以.

故选：A.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.

【详解】

当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等腰直角三角形斜边上的高为，由此得到斜边边长为，斜边边长边长即为函数的最小正周期，故.

故选：D.

8．（2021·全国高三其他模拟（理））若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题知，，函数单增应满足，解得参数范围即可.

【详解】

由知，，在区间上单增，应满足：

，，解得

又，易知k只能取0，

解得

故选：B

9．（2021·全国高三其他模拟（理））在中，，，，平分交于点则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设，，则，在和中运用正弦定理得到和的关系式；在中运用正弦定理及二倍角公式可解得，代入和的关系式即可得到的长.

【详解】

设，，则，

在中，由正弦定理，得，

在 中，由正弦定理，得，

两式相除，得，即，所以，

在中，由正弦定理，得，即，

又因为

，

所以，化简得，

解得或，

代入得，即.

故选：A.

10．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知在中，角的对边分别为则边上的高为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】D

【分析】

先根据余弦定理求得a，再由余弦定理求得，继而求得，从而可得选项.

【详解】

因为所以，即，解得，

所以，又，所以，

所以边上的高为，

故选：D.

11．（2021·四川成都市·双流中学高三三模（理））在中，角所对的边分别为，若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题意和三角恒等变换的公式，求得，根据正弦函数与余弦函数的性质得到且，得出，求得，，结合正弦定理，即可求解.

【详解】

因为，即，

所以，

可得，

所以，

由正弦函数与余弦函数的性质，可得且，

因为且，

所以，解得，所以，

又由正弦定理可得.

故选：C.

12．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（理））的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足，，，D为边上一点满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由三角形中的三角恒等关系，结合正弦定理易得，再根据平面向量加减运算的几何意义有，应用向量数量积的运算律，即可求.

【详解】

由得：，

∴，而，

，

由，有，即，

∴，

∴.

故选：C

【点睛】

关键点点睛：利用正弦定理及三角恒等变换，求角B的余弦值，根据向量加减的几何意义得到与的数量关系，再由向量数量积的运算律求模.

二、填空题

13．（2021·陕西高三其他模拟（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为r，若，，则的面积______.

【答案】

【分析】

根据题设条件化简得，进而得到以，利用正弦定理得到，求得，再由余弦定理和三角函数的关系式，求得的值，结合面积公式，即可求解.

【详解】

由，整理得，

即，

因为，可得，

所以

由正弦定理可得，，可得，

因为，所以，且，

又由余弦定理可得，

则，

所以.

故答案为：.

14．（2021·上海高三其他模拟）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.

【答案】

【分析】

利用余弦方程，解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可.

【详解】

因为，

则有或，，，

解得或，，，

又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，

所以，，，，，，…，

故，，

所以，即，

则，解得，

故.

故答案为：.

15．（2021·全国高三其他模拟（理））在中，内角的对边分别为为锐角，的面积为2，则的周长的最小值为___________.

【答案】

【分析】

由题设可得，根据三角形内角的性质可知是的直角三角形，即有其周长为，利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件.

【详解】

由知：，而，

∴，

∴是的直角三角形，故，即，而，

∴的周长，当且仅当等号成立.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：利用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状，再由三角形周长公式、基本不等式求周长的最小值即可.

16．（2021·江苏连云港市·高三其他模拟）如图，在梯形中，，，，点是的中点，则______.

【答案】

【分析】

令，根据已知条件易知△为等边三角形，，连接，则△、△都是直角三角形且，进而求、、，在△中应用余弦定理求即可.

【详解】

令，则，又，，

∴△为等边三角形，，连接，易知△、△都是直角三角形且，

∴综上，有，，，

∴在△中，.

故答案为：.