考点03 导数与函数的零点-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

这是一份考点03 导数与函数的零点-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考点03导数与函数的零点一、单选题1．（2021·湖南高三其他模拟）已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】函数零点即方程的解，（），取对数得，此方程有两个解，引入函数，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【详解】显然，有两个零点，即方程，在上有两个解，两边取对数得到，令，，在单调递增，在单调递减，又当时，，当时，，因为有两个零点，则，解得.所以正数的取值范围是.故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题关键是进行转化，函数零点转化为方程的解，对方程变形后，引入新函数，再转化为利用导数确定函数的性质，结合零点存在定理求解．2．（2021·辽宁高三月考）函数的零点个数为（    ）A． B．或 C．或 D．或或【答案】A【分析】首先求导判断函数的单调性，最后结合零点存在定理判断函数零点个数.【详解】因为函数，所以，因为，所以，从而在R上单调递增，又当时，，当时，，由零点存在定理得：函数有且只有一个零点.故选:A.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．（2021·河南高三月考（理））若函数存在零点，则的取值范围为（      ）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数存在零点，即有根，构造同构的形式，利用换元法转化为，利用导数研究函数的值域即可.【详解】方法一：函数存在零点，即有根.因为，所以有根.设，则，即令，则，当时，，所以在上单增；当时，，所以在上单减；所以当时，y有最小值1.要使有解，只需.故选：B.方法二：因为，所以.令，因为在上单调递增，所以，即.当时， ;当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.要使代存在零点，只需，即.故选：B.【点睛】思路点睛：利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.4．（2020·全国高三专题练习）函数在区间(0,1)内的零点个数是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】恒成立，所以单调递增，故函数在区间(0,1)内的零点个数1个.【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的零点的判断，考查学生的分析判断能力5．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高三月考）函数的零点个数为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，以及结合零点存在性定理，判断选项.【详解】，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，， ，所以函数在和各有1个零点，所以共2个零点.故选：C6．（2020·陕西西安市·高三月考（理））函数的零点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先求导，令，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可【详解】由，令得或，当时，单调递增，当时，函数单调递减，，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点故选：C【点睛】本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题.7．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二月考（理））若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，将函数有三个不同的零点，转化为方程有三个不同的根.再列出不等式组，解不等式组即可得到答案.【详解】，.令，解得，.，，为增函数，，，为减函数，，，为增函数.所以，.因为函数有三个不同的零点，等价于方程有三个不同的根. 所以，解得.故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，同时考查了利用导数求函数的单调区间和极值，属于简单题.8．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（理））函数的定义域为，部分对应值如下表，其导函数的图像如下图，023423030当时，函数的零点个数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用，函数，令，得，或，得到函数的零点的个数．【详解】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：，，（2），（3），（4），函数，令，得，或，当时，与有三个交点，当时，即，与有四个交点，所以函数 的零点有7个．故选：．9．（2021·山西高三一模（理））函数（，且）有两个零点，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，将题意转化为函数图象与函数图象有两个交点，结合图象确定正确选项.【详解】，得，即．由题意知函数图象与函数图象有两个交点．当时，草图如下，显然有两交点．当时，函数图象与函数图象有两个交点时，注意到互为反函数，图象关于直线对称，可知函数图象与直线相切，设切点横坐标，则，解得综上，a的取值范围为.故选：B．10．（2021·广东湛江市·高三二模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分离参数，再将零点问题转化成两个函数的交点问题来求解即可．【详解】由，设，，当时，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故，，因为函数有三个零点，故．故选：B11．（2018·太原市·山西实验中学高三月考）若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（    ）A．（-∞，4） B．（-∞，4] C．（-4，4] D．（-4，4）【答案】A【分析】函数有零点转化为在有实数解，分离参数，即可得出结果.【详解】原题等价于在有实数解，即设，当单调递减，，所以故选：A12．（2018·全国高考真题（理））已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则A．或2 B．或3 C．或1 D．或1【答案】A【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果.【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或，即或,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.13．（2019·全国高考（理））已知函数有两个零点，，则A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用可得的图象关于直线对称，利用导数可知在上单调递减，在上单调递增，所以函数只有两个零点，，再根据对称性可得答案.【详解】因为因为，所以的图象关于直线对称，又为上的单调递增函数，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数只有两个零点，，所以根据对称性可知，.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点，考查了函数的对称性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.14．（2015·全国高考真题（理））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.15．（2017·全国高考真题（理））已知函数有唯一零点，则A． B． C． D．1【答案】C【详解】因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题16．（2021·北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．