2021届一轮复习 必修一 抽象函数及其应用 打地基练习

这是一份2021届一轮复习 必修一 抽象函数及其应用 打地基练习，共28页。试卷主要包含了已知f，已知a＞1，函数，函数f，已知函数f，偶函数f，已知定义在，已知函数y＝f等内容，欢迎下载使用。
1．已知f（4﹣x）＝f（2+x），f（x）在（﹣∞，3]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知a＞1，函数，函数f（x）与函数g（x）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝f（﹣x），f（x+1）＝﹣f（x），若f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，＜α＜β＜，则（ ）
A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（csα）＞f（csβ）
C．f（tanα）＞f（tanβ）D．以上都不对
4．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）＝（ ）
A．50B．2C．0D．﹣2018
5．偶函数f（x）关于点（1，0）对称，且当x∈[0，1]时，，则f（2019）+f（2020）+f（2021）＝（ ）
A．0B．2C．4D．6
6．已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）＞0，且对任意的x，y∈（﹣1，1），均有f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]＝f（x）+f（y）．若，则x的取值范围是（ ）（ e是自然对数的底数）
A．B．
C．D．
7．已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+x，则不等式f（lnx）＜f（﹣1）的解集为（ ）
A．（0，e）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，+∞）
二．多选题（共1小题）
9．已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝﹣1对称，且对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）＝4．当x∈（0，2]时，f（x）＝x+2．则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的周期T＝8B．f（x）的最大值为4
C．f（2021）＝2D．f（x+2）为偶函数
三．填空题（共18小题）
10．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是 ．
11．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是 ．
12．已知定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是 ．
13．设f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[﹣2，0）∪（0，2]上，f（x）＝，则f（2018）＝ ．
14．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＜0的解集为 ．
15．定义在实数集R上的偶函数f（x）满足，则f（2021）＝ ．
16．设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（x）＝f（）+f（y），若f（3）＝1，则当f（x）﹣f（）＞2时，x的取值范围是 ．
17．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+1成立，则称函数f（x）为“K函数”
（1）函数f（x）＝ex （填“是”或“不是”）“K函数”；
（2）若函数f（x）＝lg2（x2+a2）是“K函数”，则a的取值范围是 ．
18．已知f（1，1）＝1，f（m，n）∈N*（m、n∈N*），且对任意的m，n∈N*，都有：
①f（m，n+1）＝f（m，n）+2；
②f（m+1，1）＝2f（m，1）．
则f（2014，1008）的值为 ．
19．已知函数f（x）对于任意实数x，都有f（x）＝f（398﹣x）＝f（2158﹣x）＝f（3214﹣x），则函数值f（0），f（1），f（2），…，f（2020）中最多有 个不同的数值．
20．若函数f（x）满足：对任意的实数x，有f（2﹣x）+f（x）＝0且f（x+2）+f（x）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝﹣（x﹣1）2，则f（6）＝ ，当x∈[2019，2020]时，f（x）＝ ．
21．已知y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（2021）＝ ．
22．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）＝﹣f（x），则f（﹣6）＝ ．
23．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝1，g（x）＝f（x﹣1）是奇函数，则f（2021）＝ ， ．
24．对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）＝2f（1），若y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，且f（0）＝2，则f（2019）+f（2020）＝ ．
25．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（2）＝1，则不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集为 ．
26．已知定义在R上的函数f（x），对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，且函数f（x）的图象经过点A（5，﹣2），若f（2m﹣1）＜﹣2，则m的取值范围是 ．
27．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则＝ ．
四．解答题（共7小题）
28．已知定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）求证：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若不等式f（k•2x）+f（2x﹣4x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
29．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对一切正数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）成立，且f（3）＝1．
（1）求f（1）利f（81）的值；
（2）若f（x）+f（x﹣8）≤2，求x的取值范围．
30．已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若关于x的不等式f（x2﹣ax+5a）＜2的解集为{x|﹣3＜x＜2}，求f（2009）的值；
（3）在（2）的条件下，设an＝|f（n）﹣14|（n∈N*），若数列{an}从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值．
31．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（xy）＝f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）的单调性并加以证明；
（2）若f（4）＝2，解不等式f（x）＞f（2x﹣1）+1．
32．已知函数f（x）的定义域D＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）与f（﹣1）的值．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性（不证明）；
（2）试证明y＝f（x）在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇偶性；
（3）若f（2m﹣1）＞f（m）+3m2﹣4m+1，求实数m的取值范围．
33．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）设x＞1时f（x）＜0，
①求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
②求不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集．
34．设函数f（x）＝ax2+b，其中a，b是实数．
（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；
（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy＝l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．
2021届一轮复习 必修一 抽象函数及其应用 打地基练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知f（4﹣x）＝f（2+x），f（x）在（﹣∞，3]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，由f（4﹣x）＝f（2+x）可得函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，结合函数的单调性画出f（x）的草图，再由f（2﹣3x）＞0，得到2﹣3x＜0或2﹣3x＞6，然后解出x的取值范围即可．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（4﹣x）＝f（2+x），则函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，
f（x）在（﹣∞，3]上单调递减，且f（0）＝0，则有f（6）＝0，其草图如图：
则f（2﹣3x）＞0⇒2﹣3x＜0或2﹣3x＞6，解得x＜﹣或x＞，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），
故选：D．
2．已知a＞1，函数，函数f（x）与函数g（x）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】首先观察所给函数解析式的结构，可以得出函数f（x）及函数g（x）均关于点（0，1）对称，显然A，B也关于点（0，1）对称，由此得解．
【解答】解：∵＝2，
∴函数f（x）关于点（0，1）对称，
∵，
∴函数g（x）关于点（0，1）对称，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）两点必关于点（0，1）对称，
∴，即y1+y2＝2．
故选：B．
3．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝f（﹣x），f（x+1）＝﹣f（x），若f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，＜α＜β＜，则（ ）
A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（csα）＞f（csβ）
C．f（tanα）＞f（tanβ）D．以上都不对
【分析】首先判断函数f（x）为偶函数，将x换成x+1，可得f（x）的最小正周期为2，由周期性可得f（x）在[0，1]上为增函数．运用正弦函数和余弦函数的单调性，可得选项A错，B正确，再由f（x）在[1，2]上为递减，而1＜tanα＜tanβ，即可判断C．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝f（﹣x），
则f（x）为偶函数，
f（x+1）＝﹣f（x），可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
则f（x）为周期为2的函数．
f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，
即有f（x）在[﹣1，0]上是减函数，
即f（x）在[0，1]上为增函数．
由＜α＜β＜，
则＜sinα＜sinβ＜1，
即有f（sinα）＜f（sinβ），故A错；
又0＜csβ＜csα＜，
即有f（csβ）＜f（csα），故B正确．
又f（x）在[1，2]上为递减，
而1＜tanα＜tanβ，
则f（tanα），f（tanβ）不好判断．
故选：B．
4．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）＝（ ）
A．50B．2C．0D．﹣2018
【分析】由题意可得f（0）＝0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．
【解答】解：f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，
可得f（﹣x）＝﹣f（x），
f（1﹣x）＝f（1+x）即有f（x+2）＝f（﹣x），
即f（x+2）＝﹣f（x），
进而得到f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
f（x）为周期为4的函数，
若f（1）＝2，可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）
＝504×0+2+0＝2．
故选：B．
5．偶函数f（x）关于点（1，0）对称，且当x∈[0，1]时，，则f（2019）+f（2020）+f（2021）＝（ ）
A．0B．2C．4D．6
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，结合函数的解析式可得f（2019）、f（2020）、f（2021）的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，偶函数f（x）关于点（1，0）对称，则f（﹣x）＝f（x）且f（2﹣x）＝﹣f（x），
则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即f（x）是周期为4的周期函数，
又由当x∈[0，1]时，，
则f（2020）＝f（0）＝2，f（2021）＝f（1）＝0，f（2019）＝f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，
则有f（2019）+f（2020）+f（2021）＝2；
故选：B．
6．已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）＞0，且对任意的x，y∈（﹣1，1），均有f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]＝f（x）+f（y）．若，则x的取值范围是（ ）（ e是自然对数的底数）
A．B．
C．D．
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用函数的性质解不等式，即可得结论．
【解答】解：对任意的x，y∈（﹣1，1），都有f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]＝f（x）+f（y），
令x＝y＝0，则f（0）[1﹣f（0）f（0）]＝f（0）+f（0），
f（0）[﹣1﹣f（0）2]＝0，∴f（0）＝0，
令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（0）＝f（x）+f（﹣x），
∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．
设x1，x2∈[0，1），且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，令y＝﹣x2，
则 f（x1﹣x2）[1﹣f（x1）f（﹣x2）]＝f（x1）+f（﹣x2），
由f（x）是奇函数，可得f（x1﹣x2）[1+f（x1）f（x2）]＝f（x1）﹣f（x2），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且 x1，x2∈[0，1），
∴1+f（x1）f（x2）＞0，
由函数f（x）是奇函数，可得当x＜0时，f（x）＜0，
∴f（x1﹣x2）[1+f（x1）f（x2）]＜0，即 f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f （x） 在[0，1）上是增函数，
∴函数f （x） 在（﹣1，1）上是增函数，
则不等式等价于，
解得＜x＜，即不等式的取值范围是（，）．
故选：B．
7．已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，由偶函数的性质可得函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，进而分析可得f（x）在[2，+∞）上递增，结合函数的特殊值分析可得f（2﹣3x）＞0⇒f（2﹣3x）＞f（0）⇒|3x|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x+2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，
又由f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，则f（x）在[2，+∞）上递增，
又由f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0⇒f（2﹣3x）＞f（0）⇒|3x|＞2，
解可得：x＜﹣或x＞，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
故选：D．
8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+x，则不等式f（lnx）＜f（﹣1）的解集为（ ）
A．（0，e）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，+∞）
【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在R上为增函数，由此可得原不等式等价于lnx＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
当x＞0时，f（x）＝x2+x＝（x+）2﹣，在区间（0，+∞）上为增函数，且f（x）＞f（0）＝0，
又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数，且f（x）＜f（0）＝0，
综合可得：f（x）在R上为增函数，
则f（lnx）＜f（﹣1）⇔lnx＜﹣1，解可得0＜x＜，即不等式的解集为（0，），
故选：C．
二．多选题（共1小题）
9．已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝﹣1对称，且对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）＝4．当x∈（0，2]时，f（x）＝x+2．则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的周期T＝8B．f（x）的最大值为4
C．f（2021）＝2D．f（x+2）为偶函数
【分析】利用对称关系以及恒等式对等式进行变形，可以得到函数f（x）的周期，即可判断选项A，由上述过程中可得f（x+2）＝f（﹣x+2），即可判断选项D，求出函数f（x）在[﹣2，2]上的函数解析式，利用函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，研究一个周期中的最大值，即可判断选项B，利用函数的周期性以及对称性求解f（2021），即可判断选项C．
【解答】解：因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝﹣1对称，
故f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，
因为对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）＝4，
所以函数y＝f（x）的图象关于点（0，2）中心对称，
所以f（﹣2+x+2）＝f[﹣2﹣（x+2）]，即f（x）＝f（﹣4﹣x）＝4﹣f（﹣x），
又f（﹣4﹣x）+f（x+4）＝4，即f（﹣4﹣x）＝4﹣f（x+4），
所以f（x+4）＝f（﹣x），所以f[（x+4）+4]＝f[﹣（x+4）]＝f（x），
所以f（x+8）＝f（x），所以f（x）的周期为8，故选项A正确；
又f（x+2）＝f（﹣x+2），故函数f（x+2）为偶函数，故选项D正确；
因为当x∈（0，2]时，f（x）＝x+2，且f（x）+f（﹣x）＝4，
则当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2]，
所以f（﹣x）＝﹣x+2＝4﹣f（x），所以f（x）＝x+2，
故当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝x+2，
又函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，
所以在同一个周期[﹣6，2]上，f（x）的最大值为f（2）＝4，
故f（x）在R上的最大值为4，故选项B正确；
因为f（2021）＝f（252×8+5）＝f（5）＝f（1+4）＝f（﹣1）＝﹣1+2＝1，所以选项C错误．
故选：ABD．
三．填空题（共18小题）
10．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是 （﹣∞，] ．
【分析】因为f（x+1）＝2f（x），可得f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，结合图象可得结论．
【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝2x（x﹣1）∈[﹣，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣1，0]；
当x∈（1，2]时，由4（x﹣1）（x﹣2）＝﹣解得x＝或x＝，
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m≤．
故答案为：（﹣∞，]．
11．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是 ．
【分析】由f（x+1）＝2f（x），得f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．
【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣，0]；
∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，
当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣解得x＝或x＝，
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m≤．
故答案为：（﹣∞，]．
12．已知定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是 ．
【分析】根据题意，分析可得f（x）在[0，+∞）单调递减，由对数的运算性质分析，原不等式等价于f（|lna|）≥f（1），即|lna|≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，因为定义在R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]单调递增，则所以f（x）在[0，+∞）单调递减；
又，
于是由，
得3f（lna）≥3f（1），
从而有f（|lna|）≥f（1），
则得|lna|≤1，即l﹣1≤lna≤1，且a＞0，
解得．
故a的取值范围是；
故答案为：．
13．设f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[﹣2，0）∪（0，2]上，f（x）＝，则f（2018）＝ 0 ．
【分析】根由函数的奇偶性、周期性可得f（﹣2）＝﹣f（2）以及f（﹣2）＝f（2），从而得到f（2），结合函数的周期性可得f（2018）的值．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣2）＝﹣f（2），
又由f（x）是周期为4的函数，则f（﹣2）＝f（2），
所以f（2）＝0，所以f（2018）＝f（2+504×4）＝f（2）＝0；
故答案为：0．
14．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＜0的解集为 （﹣2，3） ．
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数f（x）的解析式，进而作出函数的图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣x2+5x．
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣x2+5x＝﹣f（x），
所以f（x）＝x2﹣5x，
所以当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，
当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x，则f（x）的图象如图：
在区间（﹣，）上为减函数，
若f（x）﹣f（x﹣1）＜0即f（x﹣1）＞f（x），
又由x﹣1＜x，必有，解可得：﹣2＜x＜3，
即不等式的解集为（﹣2，3）；
故答案为：（﹣2，3）．
15．定义在实数集R上的偶函数f（x）满足，则f（2021）＝ ．
【分析】根据题意，将整理变形可得f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），分析可得函数g（x）的周期为4，据此可得g（2021）＝g（4×505+1）＝g（1），结合函数的奇偶性分析可得g（1）的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，因为，所以，
即（f（x+2）﹣2）2＝4f（x）﹣f2（x），即f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，
令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），则g（x+2）＝﹣g（x）﹣2，即g（x+2）+g（x）＝﹣2，①
则有g（x+4）+g（x+2）＝﹣2，②
联立①②可得：g（x+4）＝g（x），
故函数g（x）是周期为4的周期函数，
所以g（2021）＝g（4×505+1）＝g（1），
又因为f（x）是偶函数，则g（x）＝f2（x）﹣4f（x）为偶函数，
又因为g（1）＝﹣g（﹣1）﹣4，所以g（1）＝﹣2，即f2（2021）﹣4f（2021）＝﹣2，
解得，
又，
即f（2021）＞2，即；
故答案为：2+．
16．设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（x）＝f（）+f（y），若f（3）＝1，则当f（x）﹣f（）＞2时，x的取值范围是 （9，+∞） ．
【分析】由题意可得f（9）＝2f（3）＝2，f（x）﹣f（）＞2，即为f（x（x﹣8））＞f（9），由函数的单调性，可得x的不等式组，即可得到所求范围．
【解答】解：f（x）＝f（）+f（y），
即为f（x）﹣f（y）＝f（），
由f（3）＝f（9）﹣f（3），
可得f（9）＝2f（3）＝2，
f（x）﹣f（）＞2，即为
f（x（x﹣8））＞f（9），
f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
可得，
解得x＞9，
故答案为：（9，+∞）．
17．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+1成立，则称函数f（x）为“K函数”
（1）函数f（x）＝ex 是 （填“是”或“不是”）“K函数”；
（2）若函数f（x）＝lg2（x2+a2）是“K函数”，则a的取值范围是 [﹣，] ．
【分析】（1）由f（x0+1）＝f（x0）+1，解指数方程，可判断是不是“K函数”；
（2）由新定义“K函数”，可得对数方程，解方程，通过分离参数a，结合二次函数的最值求法，解不等式可得所求a的范围．
【解答】解：（1）由f（x0+1）＝f（x0）+1，即ex0+1＝ex0+1，
可得ex0（e﹣1）＝1，即ex0＝，解得x0＝﹣ln（e﹣1）∈R，
则f（x）在（﹣∞，+∞）内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+1成立，则函数f（x）为“K函数”；
（2）函数f（x）＝lg2（x2+a2）是“K函数”，可得在（﹣∞，+∞）内存在实数x0，
使得f（x0+1）＝f（x0）+1成立，
可得lg2[（x0+1）2+a2]＝lg2（x02+a2）+1＝lg2（2x02+2a2），
则（x0+1）2+a2＝2x02+2a2，可得a2＝﹣x02+2x0+1＝﹣（x0﹣1）2+2，
可得x0＝1时，a2取得最大值2，由a2≤2解得﹣≤a≤，
故答案为：是，[﹣，]．
18．已知f（1，1）＝1，f（m，n）∈N*（m、n∈N*），且对任意的m，n∈N*，都有：
①f（m，n+1）＝f（m，n）+2；
②f（m+1，1）＝2f（m，1）．
则f（2014，1008）的值为 22013+2014 ．
【分析】利用数列{f（1，n）}是以1为首项、2为公差的等差数列、数列{f（m，1）}是以1为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．
【解答】解：∵f（m，n+1）＝f（m，n）+2，f（1，1）＝1，
∴{f（1，n）}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴f（1，n）＝2n﹣1．
又∵f（m+1，1）＝2f（m，1），
∴{f（m，1）}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴f（m，1）＝2m﹣1，
∴f（m，n）＝2m﹣1+2n﹣2．
∴f（2014，1008）＝22014﹣1+2•1008﹣2＝22013+2014，
故答案为：22013+2014．
19．已知函数f（x）对于任意实数x，都有f（x）＝f（398﹣x）＝f（2158﹣x）＝f（3214﹣x），则函数值f（0），f（1），f（2），…，f（2020）中最多有 177 个不同的数值．
【分析】根据已知分析出函数的对称性和周期性，进而得到答案．
【解答】解：由题意，图象关于x＝199、x＝1079、x＝1607对称，∴函数有周期性，
设周期为T，∴，，m、n∈N*，
∵880和528最大公约数为176，，，
∴，T≤352，即函数f（x）的最大周期为352，
∴在同一周期中函数值最多有×352+1＝177个不同的值．
故答案为：177．
20．若函数f（x）满足：对任意的实数x，有f（2﹣x）+f（x）＝0且f（x+2）+f（x）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝﹣（x﹣1）2，则f（6）＝ 1 ，当x∈[2019，2020]时，f（x）＝ ﹣（x﹣2019）2 ．
【分析】首先求出函数的周期为4，由此即可求得f（6）＝﹣f（0）＝1即x∈[2019，2020]时的函数解析式．
【解答】解：由f（x+2）+f（x）＝0，则f（x+4）+f（x+2）＝0，
故f（x）＝f（x+4），即T＝4，f（6）＝f（2）＝﹣f（0）＝1；
当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，f（x）＝﹣f（2﹣x）＝（x﹣1）2，
当x∈[﹣1，0]时，x+2∈[1，2]，得f（x）＝﹣f（x+2）＝﹣（x+1）2，
所以x∈[2019，2020]时，x﹣2020∈[﹣1，0]，
即f（x）＝f（x﹣2020）＝﹣（x﹣2020+1）2＝﹣（x﹣2019）2，
故答案为：1；f（x）＝﹣（x﹣2019）2．
21．已知y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（2021）＝ ﹣ ．
【分析】根据题意，由奇函数的定义可得y＝f（x）是奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），由此可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，进而可得f（2021）＝f（1）＝﹣f（﹣1），结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，即y＝f（x）是奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，即f（x+2）＝﹣f（x）恒成立，
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）对任意的x都成立，
故f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝﹣f（﹣1），
当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（﹣1）＝2﹣1＝，
则f（2021）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣，
故答案为：﹣．
22．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）＝﹣f（x），则f（﹣6）＝ 0 ．
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，利用特殊值法分析可得f（6）的值，由函数的奇偶性可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
又由f（x﹣2）＝﹣f（x），
则f（6）＝﹣f（4）＝f（2）＝﹣f（0）＝0，
又由f（x）为奇函数，则f（6）＝0，
故答案为：0．
23．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝1，g（x）＝f（x﹣1）是奇函数，则f（2021）＝ 0 ， ﹣1 ．
【分析】对于第一空：根据题意，分析可得f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，结合f（x）为偶函数可得f（x）＝﹣f（x﹣2），变形可得f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，由此可得第一空答案，
对于第二空：由f（x）＝﹣f（x﹣2），利用特殊值法可得f（1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，即可得[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0，据此可得n×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]﹣f（4n），结合函数的周期性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，g（x）＝f（x﹣1）是奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，
则有f（﹣x）＝﹣f（﹣2+x），且f（1）＝0，
又由f（x）是定义在R上的偶函数，即f（﹣x）＝f（x），则有f（x）＝﹣f（x﹣2），
变形可得f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，
f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝0，
又由f（x）＝﹣f（x﹣2），即f（x）+f（x﹣2）＝0，则有f（1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，
故[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0，
则n×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]﹣f（4n）＝0﹣f（0）＝﹣1，
故答案为：0，﹣1．
24．对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）＝2f（1），若y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，且f（0）＝2，则f（2019）+f（2020）＝ 2 ．
【分析】根据条件判断函数f（x）是偶函数，结合抽象关系求出函数的周期，进行转化计算即可．
【解答】解：y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，则函数y＝f（x）的图象关于x＝0对称，即函数f（x）是偶函数，
因为对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）＝2f（1），
则令x＝﹣1，有f（﹣1+2）﹣f（﹣1）＝2f（1），
即f（1）﹣f（1）＝2f（1）＝0，
即f（1）＝0，
则f（x+2）﹣f（x）＝2f（1）＝0，
即f（x+2）＝f（x），
则函数的周期是2，又f（0）＝2，
则f（2019）+f（2020）＝f（1）+f（0）＝0+2＝2，
故答案为：2．
25．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（2）＝1，则不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集为 （2，） ．
【分析】先利用条件求出f（8）＝3，不等式转化为f（x（x﹣2））＞f（8），再利用函数的定义域和单调性来解出不等式的解集．
【解答】解：∵f（x）在其定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（2）＝1，
∴f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝2，f（8）＝f（4×2）＝f（4）+f（2）＝3，
∴不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3，即为 f（x）＞f（x﹣2））+f（8），即为f（x）＞f（8（x﹣2）），
∴，
∴2＜x＜，
故不等式的解集是（2，）．
故答案为：（2，）．
26．已知定义在R上的函数f（x），对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，且函数f（x）的图象经过点A（5，﹣2），若f（2m﹣1）＜﹣2，则m的取值范围是 （﹣∞，3） ．
【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得f（x）为R的增函数，结合点的坐标可得f（2m﹣1）＜﹣2⇒f（2m﹣1）＜f（5）⇒2m﹣1＜5，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，
则f（x）在R上增函数，
又由函数f（x）的图象经过点A（5，﹣2），则f（5）＝﹣2，
则有f（2m﹣1）＜﹣2⇒f（2m﹣1）＜f（5）⇒2m﹣1＜5，解可得m＜3，
即m的取值范围为（﹣∞，3），
故答案为：（﹣∞，3）．
27．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则＝ ﹣2 ．
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和周期性可得f（﹣）＝﹣f（）＝﹣f（），f（2021）＝f（1+1010×2）＝f（1），进而分析求出f（）和f（1）的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，
则f（﹣）＝﹣f（）＝﹣f（），f（2021）＝f（1+1010×2）＝f（1），
当0＜x＜1时，f（x）＝4x，f（）＝2，
函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（1）＝f（﹣1）且f（﹣1）＝﹣f（1），
则有f（1）＝0，
故f（﹣）＝﹣2，f（2021）＝0，
故＝﹣2；
故答案为：﹣2．
四．解答题（共7小题）
28．已知定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）求证：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若不等式f（k•2x）+f（2x﹣4x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）取x＝y＝0即可求得f（0）的值，令y＝﹣x，易得f（x）+f（﹣x）＝0，从而可判断其奇偶性；
（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，作差f（x2）﹣f（x1）后判断其符号即可证得f（x）为R上的增函数；
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，由此可以将不等式f（k•2x）+f（2x﹣4x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，转化为k•2x＜﹣2x+4x+2即42x﹣（1+k）2x+2＞对任意x∈R恒成立，再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解出此时的恒成立的条件．
【解答】解：（1）取x＝y＝0得，则f（0+0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0；
函数f（x）为奇函数，
证明：已知函数的定义域为R，
取y＝﹣x代入，得f（0）＝f（x）+f（﹣x），
又f（0）＝0，于是f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1），
由x2﹣x1＞0知，f（x2﹣x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）为R上的增函数．
（3）∵f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k•2x）+f（2x﹣4x﹣2）＜0得
f（k•2x）＜﹣f（2x﹣4x﹣2）＝f（﹣2x+4x+2）
∴k•2x＜﹣2x+4x+2即22x﹣（1+k）2x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t＝2x＞0，问题等价于t2﹣（1+k）t+2＞0，
设f（t）＝t2﹣（1+k）t+2，其对称轴
当即k＜﹣1时，f（0）＝2＞0，符合题意，
当即k≥﹣1时，对任意t＞0，f（t）＞0恒成立，
等价于解得﹣1≤k＜﹣1+2
综上所述，当k＜﹣1+2时，不等式f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立．
29．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对一切正数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）成立，且f（3）＝1．
（1）求f（1）利f（81）的值；
（2）若f（x）+f（x﹣8）≤2，求x的取值范围．
【分析】（1）利用赋值法，令x＝y＝1可得f（1）的值，令x＝3，y＝3，可得f（9）的值，再令x＝9，y＝9，即可求得f（81）的值；
（2）利用f（x）是增函数和f（9）＝2，转化脱去“f”，即可求解x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，令x＝y＝1，可得f（1）＝f（1）+f（1），即f（1）＝0．
令x＝3，y＝3，可得f（9）＝f（3）+f（3），f（3）＝1．
∴f（9）＝2，
令x＝9，y＝9，可得f（81）＝f（9）+f（9）＝4．
（2）由（1）知f（9）＝2，
则f（x）+f（x﹣8）≤2，可化为f（x2﹣8x）≤f（9）
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴，解得8＜x≤9．
∴不等式f（x）+f（x﹣8）≤2的解集为（8，9]．
30．已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若关于x的不等式f（x2﹣ax+5a）＜2的解集为{x|﹣3＜x＜2}，求f（2009）的值；
（3）在（2）的条件下，设an＝|f（n）﹣14|（n∈N*），若数列{an}从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值．
【分析】（1）欲证明函数f（x）在R上是增函数，设x1＞x2证明f（x1＞f（x2），即可．
（2）先将不等式f（x2﹣ax+5a）＜2转化为f（x2﹣ax+5a）＜f（b），利用函数的单调性脱掉“f”，转化成整式不等式，再结合方程根的定义求解出a，b，最后利用等差数列求出f（2009）的值即可；
（3）设从第k项开始的连续20项之和为Tk，则Tk＝ak+ak+1++ak+19．下面对k进行分类讨论，列出关于k的方程，解之即得k值．
【解答】（1）证明：设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，从而f（x1﹣x2）＞1，即f（x1﹣x2）﹣1＞0．（2分）
f（x1）＝f[x2+（x1﹣x2）]＝f（x2）+f（x1﹣x2）﹣1＞f（x2），
故f（x）在R上是增函数．（4分）
（2）设2＝f（b），于是不等式为f（x2﹣ax+5a）＜f（b）．
则x2﹣ax+5a＜b，即x2﹣ax+5a﹣b＜0．（6分）
∵不等式f（x2﹣ax+5a）＜2的解集为{x|﹣3＜x＜2}，
∴方程x2﹣ax+5a﹣b＝0的两根为﹣3和2，
于是，解得
∴f（1）＝2．（8分）
在已知等式中令x＝n，y＝1，得f（n+1）﹣f（n）＝1．
所以{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．
f（n）＝2+（n﹣1）×1＝n+1，故f（2009）＝2010．（10分）
（3）ak＝|f（k）﹣14|＝|（k+1）﹣14|＝|k﹣13|．
设从第k项开始的连续20项之和为Tk，则Tk＝ak+ak+1+…+ak+19．
当k≥13时，ak＝|k﹣13|＝k﹣13，Tk≥T13＝0+1+2+3+…+19＝190＞102．（11分）
当k＜13时，ak＝|k﹣13|＝13﹣k．
Tk＝（13﹣k）+（12一k）+…+1+0+1+…+（k+6）＝k2一7k+112．
令k2﹣7k+112＝102，解得k＝2或k＝5．（14分）
（注：当k≥13时，ak＝|k一13|＝k一13，令，无正整数解．得11分）
31．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（xy）＝f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）的单调性并加以证明；
（2）若f（4）＝2，解不等式f（x）＞f（2x﹣1）+1．
【分析】（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，作差f（x2）﹣f（x1），根据当x＞1时，f（x）＞0．
判断符号，即可证明结论．
（Ⅱ）由定义域可得，解得，由已知可得f（4）＝f（2）+f（2）＝2，可得f（2）＝1，f（2x﹣1）+1＝f（2x﹣1）+f（2）＝f（4x﹣2），
所求不等式可转化为f（x）＞f（4x﹣2）．利用单调性即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上为增函数，
证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则．
又因为当x＞1时，f（x）＞0，而，
所以，所以f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（Ⅱ）由定义域可得，解得，
由已知可得f（4）＝f（2）+f（2）＝2，
所以f（2）＝1，f（2x﹣1）+1＝f（2x﹣1）+f（2）＝f（4x﹣2），
所求不等式可转化为f（x）＞f（4x﹣2）．
由单调性可得x＞4x﹣2，解得，
综上，不等式解集为．
32．已知函数f（x）的定义域D＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）与f（﹣1）的值．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性（不证明）；
（2）试证明y＝f（x）在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇偶性；
（3）若f（2m﹣1）＞f（m）+3m2﹣4m+1，求实数m的取值范围．
【分析】（1）令x1＝x2＝1，代入f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）可得f（1）＝0，再令x1＝x2＝﹣1，代入题中的条件可得f（﹣1）＝0；
（2）令x1＝x，x2＝﹣1，并且结合（1）中的结论可得答案；
（3）设g（x）＝f（x）﹣x2，判断g（x）的奇偶性和单调性，由题意得到关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围．
【解答】（1）解：令x1＝x2＝1，代入f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），可得f（1）＝0，
令x1＝x2＝﹣1，则有f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1）＝f（1）＝0，解得f（﹣1）＝0．
函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）证明：令x1＝x，x2＝﹣1，则有f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x），即f（﹣x）＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（3）解：设g（x）＝f（x）﹣x2，则偶函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以f（2m﹣1）＞f（m）+3m2﹣4m+1⇔f（2m﹣1）﹣（4m2﹣4m+1）＞f（m）﹣m2
⇔g（2m﹣1）＞g（m）⇔g（|2m﹣1|）＞g（|m|）
⇔0≠|2m﹣1|＜|m|⇔0≠（2m﹣1）2＜m2
⇔＜m＜1且m≠，
所以m的取值范围是（，）∪（，1）．
33．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）设x＞1时f（x）＜0，
①求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
②求不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集．
【分析】（1）利用赋值法结合抽象函数关系，利用偶函数的定义进行证明．
（2）①利用函数单调性的定义进行转化证明，
②利用偶函数和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：（1）取x1＝x2＝1得f（1×1）＝f（1）+f（1），即f（1）＝0，
取x1＝x2＝﹣1得f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝0，即f（﹣1）＝0，
取取x1＝x，x2＝﹣1得f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x），即f（x）是偶函数．
（2）①设x1＞x2＞0，则＞1，
由x＞1时，f（x）＜0得f（）＜0，
则f（x1）＝f（x2•）＝f（x2）+f（）＜f（x2）＝
即f（x）在（0，+∞）上为减函数，
②由f（x）是偶函数且在（0，+∞）上是减函数，
则不等式f（x﹣1）＞f（2x）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x|），
即得，得得，
即x＜﹣1或＜x＜1或x＞1，即不等式的解集为{x|x＜﹣1或＜x＜1或x＞1}
34．设函数f（x）＝ax2+b，其中a，b是实数．
（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；
（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy＝l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．
【分析】（Ⅰ）若ab＞0，求函数f[f（x）]的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质建立方程关系进行求解即可；
（Ⅱ）由xy＝l得y＝，代回不等式，将不等式进行转化，利用换元法结合基本不等式的性质进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax2+b，
∴f[f（x）]＝a3x4+2a2bx2+ab2+b，
设t＝x2，
当ab＞0，且二次函数y＝a3t2+2a2bt+ab2+b的对称轴t＝﹣＜0，
当a＜0时，不满足条件．
∴a＞0，b＞0，
当t＝0时，函数f[f（x）]取得最小值，即ab2+b＝2，
从而ab＝0，得0＜b＜2，
即b的取值范围是（0，2）；
（Ⅱ）∵xy＝l，∴y＝，
则由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得f（x）+f（）≥f（x）f（），
即a（x2+）+2b≥ab（x2+）+a2+b2，
令t＝x2+，则t≥2，
则a（1﹣b）t≥a2+b2﹣2b恒成立，
需要a（1﹣b）≥0，
此时y＝a（1﹣b）t在[2，+∞）上为增函数，
∴2a（1﹣b）≥a2+b2﹣2b，
即（a+b）2﹣2（a+b）≤0，得0≤a+b≤2，
则实数a，b满足的条件为．