2021届一轮复习 必修一 函数的周期性 打地基练习

这是一份2021届一轮复习 必修一 函数的周期性 打地基练习，共21页。试卷主要包含了已知定义在R上的函数f，函数f，函数y＝f，定义在R上的偶函数f，设f，已知f，已知函数f等内容，欢迎下载使用。

1．已知定义在R上的函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，则f（﹣lg36）+f（lg354）＝（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在R上的函数f（x）周期为2，且满足，若，则f（5a）＝（ ）
A．B．C．D．
3．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）＝x2﹣x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．函数y＝f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）＝f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）＝﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数y＝f（x）的图象与函数的图象的交点个数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
5．定义在R上的偶函数f（x），∀x∈R，恒有f（x+）＝﹣f（x），f（﹣1）＝1．f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
6．设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x（1+x），则＝（ ）
A．B．C．D．
7．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝2x3﹣x，则函数y＝f（x）在[0，6]上的图象与x轴交点个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．已知函数f（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+4）+f（﹣x）＝0，且当x∈（2，4）时，，若，则m＝（ ）
A．B．C．D．
9．已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若f（2）＝﹣1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（ ）
A．2019B．1C．﹣1D．﹣2019
10．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），且当1≤x＜2时，f（x）＝9x﹣9，则＝（ ）
A．0B．﹣6C．18D．﹣18
二．多选题（共2小题）
11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x﹣1）＝f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）＝x．设函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k，下列结论成立的是（ ）
A．函数f（x）的一个周期为2
B．
C．当实数k＞﹣1时，函数g（x）在区间[1，2]上为单调递减函数
D．在区间[﹣1，3]内，若函数g（x）有4个零点，则实数k的取值范围是
12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2﹣1，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是以4为周期的周期函数
B．当x∈[9，10]时，f（x）＝﹣x2+20x﹣99
C．函数f（x）的图像关于点（3，0）对称
D．函数y＝lg|x|的图象与函数f（x）的图象有且仅有12个交点
三．填空题（共16小题）
13．已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（﹣x）+f（x）＝0，当0＜x＜2时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣21）+f（16）＝ ．
14．f（x）是定义在R上的奇函数，满足，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则＝ ．
15．已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝lg2x．则f（7.5）的值为
16．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[﹣1，0）时，，则当x∈（2，3]时，f（x）＝ ．
17．若f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（2015.5）＝ ．
18．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，且f（1）＝2014，则f（2014）＝ ．
19．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝2x，则f（2009.5）＝ ．
20．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x，则f（2011）＝ ．
21．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝9x，则＝ ．
22．若f（x）是定义域为R，最小正周期的函数，若f（x）＝sinx，x∈[0，π]，则f（）＝ ．
23．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）＝，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为 ．
24．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝，且f（x）为奇函数，当0＜x＜时，f（x）＝4x，则＝ ．
25．已知函数y＝f（x），对任意x∈R，都有f（x+2）•f（x）＝k（k为常数），且当x∈[0，2]时，f（x）＝x2+1，则f（2021）＝ ．
26．写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数f（x）＝ ．
27．已知f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，且f（﹣1）＝2f（10）+3，则f（2021）＝ ．
28．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x）；②对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2），③f（x+2）的图象关于y轴对称，则f（4.5），f（6.5），f（7）的大小关系是 ．
四．解答题（共3小题）
29．设f（x）是R上的奇函数，对任意实数x都有f（x+2）＝﹣f（x），当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x3
（1）求证：x＝1是函数f（x）的一条对称轴
（2）证明函数f（x）是以4为周期的函数，并求x∈[1，5]时，f（x）的解析式．
30．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意，都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），且f（1）＝4．
（I）求及；
（II）证明f（x）是周期函数；
（Ⅲ）若对任意，都有f（x）＞1，证明函数f（x）在上为增函数．
31．你认为我们应当如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质？
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知定义在R上的函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，则f（﹣lg36）+f（lg354）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据函数的周期性以及对数值的有关运算，把所求转化到所给区间，即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，
∴f（﹣lg36）＝f（lg3）＝﹣lg3﹣4＝2+lg36；
f（lg354）＝f（3+lg32）＝f（lg32﹣1）＝f（lg3）＝﹣lg3﹣4＝﹣lg32+1﹣4＝﹣lg32﹣3；
∴f（﹣lg36）+f（lg354）＝2+lg36+﹣lg32﹣3＝；
故选：A．
2．已知定义在R上的函数f（x）周期为2，且满足，若，则f（5a）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意，f（x）在R上周期为2的函数，即f（x+2）＝f（x）．则f（）＝f（）＝+a．
f（）＝f（）＝||＝，根据，求出a，即可求f（5a）的值．
【解答】解：由题意，，
f（x）在R上周期为2的函数，即f（x+2）＝f（x）．
∴f（）＝f（）＝+a．
f（）＝f（）＝||＝，
∵，即+a＝，
可得a＝
则f（5a）＝f（3）＝f（1）＝f（﹣1）＝﹣1+＝．
故选：B．
3．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）＝x2﹣x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】当0≤x＜2时，f（x）＝x2﹣x＝0解得x＝0或x＝1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x＝6时的函数值即可．
【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）＝x2﹣x＝0解得x＝0或x＝1，
因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，
故f（x）＝0在区间[0，6）上解的个数为6，
又因为f（6）＝f（0）＝0，故f（x）＝0在区间[0，6]上解的个数为7，
即函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，
故选：B．
4．函数y＝f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）＝f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）＝﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数y＝f（x）的图象与函数的图象的交点个数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】本题只要由函数的性质，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，即可的答案．
【解答】解：由题意可知，函数y＝f（x）周期为2，且为偶函数，函数为偶函数，在同一个坐标系中作出它们的图象，可得交点个数为6，
故选C
5．定义在R上的偶函数f（x），∀x∈R，恒有f（x+）＝﹣f（x），f（﹣1）＝1．f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】由f（x）＝﹣f（x+）＝﹣[﹣f（x+3）]＝f（x+3），知函数y＝f（x）周期为3．所以f（1）＝f（﹣1）＝1，f（2）＝f（﹣1）＝1，f（3）＝f（0）＝﹣22，…，2012＝3×670+2，由此能求出f（1）+f（2）+…+f（2012）．
【解答】解：∵f（x）＝﹣f（x+）＝﹣[﹣f（x+3）]＝f（x+3），
∴函数y＝f（x）周期为3
所以f（1）＝f（﹣1）＝1
f（2）＝f（﹣1）＝1
f（3）＝f（0）＝﹣2
…
2012＝3×670+2
所以f（1）+f（2）+…+f（2012）＝0+f（1）+f（2）＝1+1＝2．
故选：D．
6．设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x（1+x），则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x（1+x），
∴＝f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（）＝﹣（1+）＝，
故选：A．
7．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝2x3﹣x，则函数y＝f（x）在[0，6]上的图象与x轴交点个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据条件先求出函数在[0，2）上的零点个数，利用函数的周期性进行判断即可得到结论．
【解答】解：当0≤x＜2时，由f（x）＝2x3﹣x＝0得x（2x2﹣1）＝0，得x＝0或x＝或x＝﹣（舍），
∵函数的最小正周期是2，
∴当2≤x＜4时，函数的零点为2，2+，
当4≤x＜6时，函数的零点为4，4+，
当x＝6时，函数的零点为6，
故函数f（x）在区间[0，6]有7个零点，
则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7个，
故选：B．
8．已知函数f（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+4）+f（﹣x）＝0，且当x∈（2，4）时，，若，则m＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知可得f（x）为奇函数且是周期为4的周期函数，从而可得f（2021）＝f（1），f（﹣1）＝﹣f（1），由，即可求得f（1），再由函数在（2，4）上的解析式，可得关于m的方程，从而可得结论．
【解答】解：因为函数f（x）的图象关于原点对称，
所以f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
因为f（x+4）+f（﹣x）＝0，
所以f（x+4）＝﹣f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）是周期为4的周期函数，
故f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1），又f（﹣1）＝﹣f（1），
所以由，可得，
而，解得．
故选：C．
9．已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若f（2）＝﹣1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（ ）
A．2019B．1C．﹣1D．﹣2019
【分析】根据题意，分析可得f（x﹣1）是R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（2﹣x），结合函数的奇偶性可得f（﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），进而可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期是4的周期函数，据此求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值，结合函数的周期性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若将f（x）的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，则f（x﹣1）是R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（2﹣x），
又由f（x）是R上的偶函数，f（﹣x）＝f（x），
则有f（﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期是4的周期函数；
由于f（x﹣1）是R上的奇函数，则f（1）＝0，则f（3）＝﹣f（1）＝0，
若f（2）＝﹣1，则f（0）＝﹣f（2）＝1，
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝f（0）+f（1）+f（2）＝﹣1；
故选：C．
10．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），且当1≤x＜2时，f（x）＝9x﹣9，则＝（ ）
A．0B．﹣6C．18D．﹣18
【分析】由题意可得函数为周期为2的周期函数，可得f（）＝f（），代值计算可得
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），
∴函数f（x）为周期为2的周期函数，
又∵当x∈[1，2）时，f（x）＝9x﹣9，
∴f（）＝f（）＝﹣9＝18，
故选：C．
二．多选题（共2小题）
11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x﹣1）＝f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）＝x．设函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k，下列结论成立的是（ ）
A．函数f（x）的一个周期为2
B．
C．当实数k＞﹣1时，函数g（x）在区间[1，2]上为单调递减函数
D．在区间[﹣1，3]内，若函数g（x）有4个零点，则实数k的取值范围是
【分析】利用偶函数的性质以及周期函数的定义判断选项A；利用周期性，将f（）转化为，再利用已知的解析式求解，即可判断选项B；求出f（x）在x∈[1，2]上的解析式，从而得到g（x）在x∈[1，2]上的解析式，由解析式即可确定函数g（x）的单调性，从而判断选项C；将函数的零点问题转化为两个图象的交点问题，利用数形结合法进行分析求解，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x﹣1）＝f（x+1），
令x﹣1＝t，则x＝t+1，所以f（t）＝f（t+1+1）＝f（t+2），
所以对于任意的x∈R，f（x+2）＝f（x），
则函数f（x）的周期为2，故选项A正确；
对于B，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，
所以，故选项B错误；
对于C，设x∈[1，2]，则2﹣x∈[0，1]，
所以f（2﹣x）＝2﹣x，因为f（2﹣x）＝f（﹣x+2）＝f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）＝2﹣x，x∈[1，2]，
因为函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k，
所以当x∈[1，2]时，g（x）＝2﹣x﹣kx﹣k＝﹣（k+1）x﹣k+2，
当k＞﹣1时，k+1＞0，所以﹣（k+1）＜0，
所以g（x）在[1，2]上为单调递减函数，故选项C正确；
对于D，因为g（x）＝f（x）﹣kx﹣k，
所以函数g（x）在[﹣1，3]内的零点个数等价于函数f（x）的图象与直线y＝kx+k＝k（x+1）在[﹣1，3]内交点的个数，
作出两条函数图象如图所示，
在区间[﹣1，3]内，因为函数g（x）由4个零点，
则实数k的取值范围为，即，故选项D正确．
故选：ACD．
12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2﹣1，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是以4为周期的周期函数
B．当x∈[9，10]时，f（x）＝﹣x2+20x﹣99
C．函数f（x）的图像关于点（3，0）对称
D．函数y＝lg|x|的图象与函数f（x）的图象有且仅有12个交点
【分析】首先利用f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），确定函数的最小正周期，进一步利用当x∈[0，1]时，f（x）＝x2﹣1，则求出函数的在不同的周期上的函数的解析式，进一步利用函数的解析式求出f（3）＝0，最后利用函数的图象的应用求出结果．
【解答】解：已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），
整理得：f（﹣x）＝﹣f（x+2），转换为f（x+4）＝f（x），
故函数的最小正周期为4，故A正确；
由于x∈[0，1]时，f（x）＝x2﹣1，
由于函数为偶函数，
当﹣1≤x＜0，故0＜﹣x≤1，
f（﹣x）＝（﹣x）2﹣1＝x2﹣1，
故f（x）＝x2﹣1；
当1≤x≤3时，f（x）＝﹣（x﹣2）2+1，
当9≤x≤10时，f（x）＝﹣（x﹣2﹣8）2+1＝﹣x2+20x﹣99，故B正确；
由于当1≤x≤3时，f（x）＝﹣（x﹣2）2+1，故f（3）＝0，故C正确；
对于D：根据函数y＝lg|y|与函数f（x）的图象，
由于y＝g（10）＝lg10＝1，故在x＝10时与函数f（x）的图象相切．
如图所示：
由于函数的图象关于y轴对称，在x轴的正半轴上有6个交点，
故在x轴的负半轴上也有6个交点，故D正确．
故选：ABCD．
三．填空题（共16小题）
13．已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（﹣x）+f（x）＝0，当0＜x＜2时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣21）+f（16）＝ ﹣1 ．
【分析】由函数的奇偶性及周期性得到f（﹣21）+f（16）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1），由此能求出结果．
【解答】解：由f（﹣x）+f（x）＝0，知f（x）是定义在R上的奇函数，
又f（x+4）＝f（x），且当0＜x＜2时，f（x）＝2x﹣1，
∴f（﹣21）+f（16）＝f（﹣1）+f（0）
＝﹣f（1）＝﹣（﹣121﹣1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．f（x）是定义在R上的奇函数，满足，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则＝ ．
【分析】根据题意，分析可得f（x+2）＝＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，进而结合函数的奇偶性可得＝f（﹣lg26）＝﹣f（lg2），结合函数的解析式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）满足，则有f（x+2）＝＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由f（x）为定义在R上的奇函数，
则＝f（﹣lg26）＝﹣f（lg26）＝﹣f（lg26﹣2）＝﹣f（lg2），
当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则f（lg2）＝﹣2＝﹣，
故＝；
故答案为：
15．已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝lg2x．则f（7.5）的值为 1
【分析】运用函数的周期性和奇偶性把要求的值转化为区间（0，1）的函数值．
【解答】解：∵奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝lg2x．
∴f（7.5）＝f（1.5）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5）＝﹣lg2＝1，
故答案为：1．
16．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[﹣1，0）时，，则当x∈（2，3]时，f（x）＝ 2x﹣2﹣1 ．
【分析】由题意利用函数的周期性和奇偶性，求得当x∈（2，3]时，f（x）的解析式．
【解答】解：函数f（x）是定义域为R的偶函数，且周期为2，
当x∈[﹣1，0）时，，
则当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，
当x∈（2，3]时，x﹣2∈（0，1]，f（x）＝2x﹣2﹣1，
故答案为：2x﹣2﹣1．
17．若f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（2015.5）＝ ．
【分析】利用函数f（x）是周期为4的奇函数，将f（2015.5）＝f（）＝f（﹣）＝﹣f（），再代入0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），然后求值．
【解答】解：∵函数f（x）是周期为4的奇函数，
∴f（2015.5）＝f（504×4﹣）＝f（﹣）＝﹣f（）．
∵当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），
∴＝2××＝．
∴f（﹣）＝﹣f（）＝﹣．
∴f（2015.5）＝f（﹣ ）＝﹣f（）＝﹣．
故答案为：﹣．
18．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，且f（1）＝2014，则f（2014）＝ 2014 ．
【分析】由已知可得，f（x+3）＝f（x），求出函数f（x）的一个周期，从而利用周期性可求得f（2014）的值．
【解答】解：由已知可得，，
∴f（x+3）＝f（（x+）+）＝﹣f（x+）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x）．
∴3是函数f（x）的一个周期．
∴f（2014）＝f（671×3+1）＝f（1），
又f（1）＝2014，
∴f（2014）＝2014．
故答案为：2014．
19．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝2x，则f（2009.5）＝ ．
【分析】由已知推出f（x）的周期T＝6，可得f（2009.5）＝f（5.5），结合函数的奇偶性以及函数解析式即可求解．
【解答】解：因为有，
所以f（x+6）＝﹣＝f（x）．
故函数周期T＝6．
所以f（2009.5）＝f（334×6+5.5）＝f（5.5），
因为f（x）为偶函数，当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝2x，
所以f（5.5）＝﹣＝﹣＝﹣＝．
故答案为：．
20．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x，则f（2011）＝ ．
【分析】先由，可得函数的周期为8，就把f（2011）转化为f（3），再f（3）＝＝＝＝求得
【解答】解：由，可得，函数的周期为8，
所以f（2011）＝f（251×8+3）＝f（3）
在中令x＝﹣1，又得f（3）＝＝＝＝
故答案为：
21．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝9x，则＝ ﹣3 ．
【分析】根据函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝9x，分别求出两项的值，相加可得答案．
【解答】解：因为f（x）是周期为2的函数，所以f（x）＝f（x+2）．
因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，
所以f（2）＝f（0）＝0．
∵当0＜x＜1时，f（x）＝9x，
∴f（）＝3，
则＝＝﹣f（）＝﹣3，
∴＝﹣3．
故答案为：﹣3．
22．若f（x）是定义域为R，最小正周期的函数，若f（x）＝sinx，x∈[0，π]，则f（）＝ ．
【分析】根据函数的周期性进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数的最小正周期，
∴f（）＝f（﹣×2）＝f（），
∵f（x）＝sinx，x∈[0，π]，
∴f（）＝sin＝，
故答案为：
23．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）＝，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为 ﹣10 ．
【分析】由周期性可得f（）＝f（﹣2）＝f（﹣），代已知解析式可得3a+2b＝﹣2，①，再由f（﹣1）＝f（1）可得﹣a+1＝，②，联立①②可解得a＝2，b＝﹣4，可得a+3b的值．
【解答】解：由题意可得f（）＝＝，
又f（）＝f（﹣2）＝f（﹣）＝+1，
∴＝+1，∴3a+2b＝﹣2，①
又∵f（﹣1）＝f（1），
∴﹣a+1＝，②
联立①②解得a＝2，b＝﹣4，
∴a+3b＝﹣10
故答案为：﹣10
24．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝，且f（x）为奇函数，当0＜x＜时，f（x）＝4x，则＝ ﹣ ．
【分析】先通过f（x+1）＝可推知函数f（x）是以2为周期的函数，并通过奇函数可知＝﹣f（），又通过f（x+1）＝可知f（）＝，进而根据f（x）＝4x得出答案．
【解答】解：∵f（x+1）＝，
∴f（x+2）＝f（x+1+1）＝﹣＝f（x）
函数f（x）是以2 为周期的函数．
∴＝﹣f（）＝﹣f（）＝﹣＝＝﹣
故答案为：﹣
25．已知函数y＝f（x），对任意x∈R，都有f（x+2）•f（x）＝k（k为常数），且当x∈[0，2]时，f（x）＝x2+1，则f（2021）＝ 2 ．
【分析】根据f（x+2）•f（x）＝k，求出f（x）是周期为4的周期函数，从而求出函数值即可．
【解答】解：因为对任意x∈R，都有f（x+2）•f（x）＝k为常数，
所以f（x+4）•f（x+2）＝k，从而f（x+4）＝f（x），
即f（x）的周期为4，
所以f（2021）＝f（1）＝2，
故答案为：2．
26．写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数f（x）＝ 3csπx ．
【分析】先考虑一个具有周期性的常见偶函数，然后根据条件求解即可．
【解答】解：选择一个具有周期性的常见偶函数，比如y＝csx，
然后利用最大值为3，最小正周期为2，
故函数f（x）可以为f（x）＝3csπx（答案不唯一）．
故答案为：3csπx．
27．已知f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，且f（﹣1）＝2f（10）+3，则f（2021）＝ 1 ．
【分析】利用函数奇偶性和周期性求解．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，
∴f（10）＝f（1）＝﹣f（﹣1），
∵f（﹣1）＝2f（10）+3，
∴f（﹣1）＝﹣2f（﹣1）+3，
∴f（﹣1）＝1，
∴f（2021）＝f（﹣1）＝1，
故答案为：1．
28．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x）；②对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2），③f（x+2）的图象关于y轴对称，则f（4.5），f（6.5），f（7）的大小关系是 f（4.5）＜f（7）＜f（6.5） ．
【分析】对任意的x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），得到函数是一个周期函数T＝4，对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2），得到函数在[0，2]上是一个递增函数，根据f（x+2）的图象关于y轴对称，得到f（x）的图象关于x＝2对称．
【解答】解：∵对任意的x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），
∴函数是一个周期函数T＝4，
∵对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2），
∴函数在[0，2]上是一个递增函数，
且f（0）＝﹣f（2），f（1）＝0，
∵f（x+2）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象关于x＝2对称，
f（4.5）＝f（0.5）＜0，
f（6.5）＝f（2.5）＞0，
f（7）＝f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，
∵函数在[0，2]上是一个递增函数，
∴f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
故答案为：f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．
四．解答题（共3小题）
29．设f（x）是R上的奇函数，对任意实数x都有f（x+2）＝﹣f（x），当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x3
（1）求证：x＝1是函数f（x）的一条对称轴
（2）证明函数f（x）是以4为周期的函数，并求x∈[1，5]时，f（x）的解析式．
【分析】（1）直接根据f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x）对任意实数X成立即可得到结论；
（2）根据f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x）即可得到 f（x）是以4为最小正周期的周期函数；再结合对称轴以及周期即可求出x∈[1，5]时，f（x）的解析式．
【解答】解：（1）证明：因为奇函数，所以f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x）对任意实数X成立．
又因为x+2，﹣x关于直线x＝1对称，
故：直线x＝1是函数f（x）图象上的一条对称轴
（2）证明：因为：f（x+2）＝﹣f（x）
所以：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x）
∴f（x）是以4为最小正周期的周期函数因为：直线x＝1是函数f（x）图象上的一条对称轴；
所以：1≤x≤3的图象与﹣1≤x≤1的图象关于直线x＝1对称．
故：f（x）＝﹣（x﹣2）3，1≤x≤3；
∵f（x）是以4为最小正周期的周期函数
∴3≤x≤5的图象与﹣1≤x≤1的图象
∴f（x）＝（x﹣4）3，3≤x≤5．
∴f（x）＝．
30．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意，都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），且f（1）＝4．
（I）求及；
（II）证明f（x）是周期函数；
（Ⅲ）若对任意，都有f（x）＞1，证明函数f（x）在上为增函数．
【分析】（I）由已知中对任意，都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），且f（1）＝4．我们先令x1＝x2＝，求出f（），再令x1＝x2＝，即可求出；
（II）由已知中f（x）的图象关于直线x＝1对称，且f（x）是定义在R上的偶函数，故f（x）＝（2﹣x），且f（﹣x）＝f（x），进而可得f（x）＝f（2+x），即证出函数f（x）是周期为2的周期函数；
（Ⅲ）由对任意，都有f（x）＞1，设任意x1，x2∈[0，]，且x1＜x2，令x2﹣x1＝a，则0＜a＜，根据对任意，都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），易证得．进而根据函数单调性的定义得到答案．
【解答】解：（I）∵x1，x2∈[0，]都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），
∴f（x）＝f（）f（）≥0，x∈[0，1]
f（1）＝f（+）＝f（）•f（）＝[f（）]2
f（）＝f（+）＝f（）•f（）＝[f（）]2，f（1）＝4，
∴．（注：在[0，]上）…（4分）
证明：（II）依题设y＝f（x）关于直线x＝1对称，
∴f（x）＝f（2﹣x），
∴f（﹣x）＝f（2+x） …（6分）
又∵f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）＝f（2﹣x）＝f（2+x），
∴f（x）＝f（2+x），…（8分）
∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．…（10分）
（Ⅲ）设任意x1，x2∈[0，]，且x1＜x2，令x2﹣x1＝a，则0＜a＜，
∴f（x2）＝f（x1+a）＝f（x1）•f（a）…（13分）
∴
又∵对任意，都有f（x）＞1，
∴f（a）＞1
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在[0，]上单调增．…（16分）
31．你认为我们应当如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质？
【分析】由周期函数的性质可得一个周期的性质与其他周期及定义域内的性质完全一样．
【解答】解：周期函数在每一个周期里面的性质都是一样的，故只需要在一个周期上研究其基本性质，其他周期及整个定义域的基本性质都可以知道．