人教版2021届一轮复习打地基练习 函数零点与方程根的关系

这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 函数零点与方程根的关系，共29页。试卷主要包含了已知函数f，定义在R上的偶函数f，关于x的方程，已知函数g，已知f，设函数f，设函数，若函数g等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 函数零点与方程根的关系
一．选择题（共10小题）
1．已知函数f（x）＝，若函数f（x）在R上有两个不同的零点，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0）
2．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，e3﹣4] B．[0，+2]
C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）
3．已知函数f（x）＝，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ＝0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（2，+∞）
C．（e+，+∞） D．（+，+∞）
4．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x2，则函数g（x）＝|sin（2πx）|﹣f（x）在区间上的所有零点的和为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
5．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4的取值的范围是（　　）
A．（40，64） B．（40，48） C．（20，32） D．（20，36）
6．关于x的方程：（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k＝0，给出下列四个命题，其中真命题的个数有（　　）
（1）存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
（2）存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
（3）存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
（4）存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数g（x）＝x3﹣ax2+2（a＜2）在[﹣2，1]内有零点，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣，2） B．[﹣，0） C．（﹣1，2） D．[﹣2，0）
8．已知f（x+1）＝f（x﹣1），f（x）＝f（﹣x+2），方程f（x）＝0在[0，1]内有且只有一个根x＝，则f（x）＝0在区间[0，2016]内根的个数为（　　）
A．2015 B．1007 C．2016 D．1008
9．设函数f（x）＝（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））＝b成立，则a的取值范围是（　　）
A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]
10．设函数，若函数g（x）＝f（x）﹣a（a∈R）有四个零点xi（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（　　）
A．（0，99] B．（0，100] C．（0，101] D．（0，+∞）
二．多选题（共1小题）
11．已知定义在R上的函数f（x）＞0，满足f（x）•f（x+2）＝4，且∀x∈[﹣1，1]，f（x）•f（﹣x）＝4，当﹣1≤x≤0时，f（x）＝2﹣x+k（k为常数），关于x的方程f（x）﹣loga（x+1）＝1（a＜8且a≠1）有且只有3个不同的根，则（　　）
A．函数f（x）的周期T＝2
B．f（x）在[﹣1，1]单调递减
C．f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．实数a的取值范围是
三．填空题（共12小题）
12．已知函数，方程f（x）＝k有两个实数解，则k的范围是　 　．
13．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2，当a＝1时，函数f（x）的零点的个数为　 　个；若y＝f（sinx）在上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为　 　．
14．已知函数，若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 　 　．
15．已知函数，则f（6）＝　 　；若方程f（x）＝x+a在区间[﹣4，8]有三个不等实根，实数a的取值范围为　 　．
16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝0，且当x∈（0，1]时，，若函数F（x）＝f（x）﹣sin（πx）在区间[﹣1，m]上有且仅有10个零点，则实数m的取值范围是　 　．
17．函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　．
18．若函数f（x）＝aex﹣x2（a≠0）仅有1个零点，则实数a的取值范围是　 　．
19．若函数f（x）满足下面三个条件：
①f（x）在其定义域上图象不间断；
②f（x）是偶函数；
③f（x）恰有3个零点．
请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝　 　．
20．已知函数f（x）＝xex﹣a（x+lnx）（e为自然对数的底数）有两个不同零点，则实数a的取值范围是　 　．
21．已知f（x）＝﹣kx+2恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 　 　．
22．已知函数，若g（x）＝ax（a∈R）使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为　 　．
23．已知函数f（x）＝，g（x）＝|log2（x+）﹣2|，若函数y＝f（g（x））恰有6个零点，则实数a的取值范围是　 　．
四．解答题（共4小题）
24．已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣kx有三个零点，求实数k的取值范围．
25．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．
（1）求a、b的值；
（2）设．
①若x∈[﹣1，1]时，f（2x）﹣k⋅2x≥0，求实数k的取值范围；
②若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
26．已知函数f（x）＝（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣a（x∈R）．
（1）若a＝﹣1，求方程f（x）＝1的解集；
（2）若，试判断函数y＝f（x）在R上的零点个数，并求此时y＝f（x）所有零点之和的取值范围．
27．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），且f（﹣2）＝．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若≤k＜1，函数f1（x）＝|f（x）﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数f2（x）＝|f（x）﹣1|﹣
的零点分别为x3，x4（x3＜x4），求x1﹣x2+x3﹣x4的最大值．

人教版2021届一轮复习打地基练习 函数零点与方程根的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知函数f（x）＝，若函数f（x）在R上有两个不同的零点，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0）
【分析】分段讨论零点，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1只有一个零点，在x≤0时，f（x）＝ex﹣a也只有一个零点，令f（x）＝0，求得零点，解不等式即可得a的取值范围．
【解答】解：f（x）＝，
当x＞0时，2x﹣1＝0，解得x＝，符合题意；
当x≤0时，ex+a＝0，即ex＝﹣a，
因为函数f（x）在R上有两个不同的零点，
所以a＜0，且x＝ln（﹣a）≤0，解得﹣1≤a＜0，
所以a的取值范围是[﹣1，0）．
故选：C．
2．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，e3﹣4] B．[0，+2]
C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）
【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，
﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，
又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，
分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，
又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；
若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，
即a的取值范围是[0，e3﹣4]；
故选：A．
3．已知函数f（x）＝，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ＝0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（2，+∞）
C．（e+，+∞） D．（+，+∞）
【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x＝2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ＝0有四个相异实根，则t+﹣λ＝0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，即可得出结论．
【解答】解：由题意，f′（x）＝，
∴x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x＝2时，函数取得极大值，
关于x的方程+﹣λ＝0有四个相异实根，
令，则f（x）＝t2，
则t+﹣λ＝0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，
∴，∴λ＞e+，
故选：C．

4．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x2，则函数g（x）＝|sin（2πx）|﹣f（x）在区间上的所有零点的和为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，可以得出函数f（x）在上的图象，进而得出函数f（x）在的图象．令h（x）＝sin（2πx），可得周期T＝1，画出其图象，进而得出函数y＝|sin（2πx）|的图象．利用函数图象及其对称性、中点坐标公式即可得出结论．
【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，可以得出函数f（x）在上的图象，进而得出函数f（x）
在的图象．
令h（x）＝sin（2πx），可得周期T＝＝1，画出其图象，进而得出函数y＝|sin（2πx）|的图象．
由图象可得：函数g（x）＝|sin（2πx）|﹣f（x）在区间上共有10个零点，
所有零点的和＝5×2×1＝10．
故选：A．

5．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4的取值的范围是（　　）
A．（40，64） B．（40，48） C．（20，32） D．（20，36）
【分析】做出函数f（x）的图象，结合函数图象的性质，找到x1、x2，x3、x4之间的关系，将x1x2x3x4转化为关于x3的函数，求值域即可．
【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示．

设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝t，则0＜t＜1．x1∈（0，1），x2∈（1，2）⇒﹣log2x1＝log2x2⇒x1x2＝1．
点（x3，t），（x4，t），关于直线x＝6对称，所以x4＝12﹣x3．而x3∈（2，4），
所以，
故x1x2x3x4＝x3x4∈（20，32）．
故选：C．
6．关于x的方程：（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k＝0，给出下列四个命题，其中真命题的个数有（　　）
（1）存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
（2）存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
（3）存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
（4）存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．
【解答】解：关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k＝0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k＝0（x≥1或x≤﹣1）（1）
或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k＝0（﹣1＜x＜1）（2）
当k＝﹣2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
当k＝时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，
即原方程恰有4个不同的实根
当k＝0时，方程（1）的解为﹣1，+1，±，方程（2）的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根
当k＝时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，
即原方程恰有8个不同的实根
∴四个命题都是真命题
故选：D．

7．已知函数g（x）＝x3﹣ax2+2（a＜2）在[﹣2，1]内有零点，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣，2） B．[﹣，0） C．（﹣1，2） D．[﹣2，0）
【分析】由题意可得g（﹣2）g（1）≤0，解关于a的不等式结合a＜2可得．
【解答】解：∵函数g（x）＝x3﹣ax2+2（a＜2）在[﹣2，1]内有零点，
∴g（﹣2）g（1）≤0，即（﹣6﹣4a）（3﹣a）≤0，
解得﹣≤a≤3，又∵a＜2，
∴﹣≤a＜2
故选：A．
8．已知f（x+1）＝f（x﹣1），f（x）＝f（﹣x+2），方程f（x）＝0在[0，1]内有且只有一个根x＝，则f（x）＝0在区间[0，2016]内根的个数为（　　）
A．2015 B．1007 C．2016 D．1008
【分析】由条件推出f（1﹣x）＝f（1+x），进而推出f（x）为偶函数，且f（x）是周期等于2的周期函数，根据f（ ）＝0，求出f（ ）＝0，从而得到函数f（x）在一个周期的零点个数，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，从而得到f（x）＝0在区间[0，2016]内根的个数．
【解答】解：∵f（x）＝f（﹣x+2），
∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，即f（1﹣x）＝f（1+x）．
又f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x﹣1）＝f（1﹣x），即f（x）＝f（﹣x），
故函数f（x）为偶函数．
再由f（x+1）＝f（x﹣1）可得f（x+2）＝f（x），
故函数f（x）是周期等于2的周期函数，
∵f（）＝0，
∴f（﹣）＝0，再由周期性得f（﹣+2）＝f（）＝0，
故函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，
即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）＝0在区间[0，2016]内根的个数为2016，
故选：C．
9．设函数f（x）＝（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））＝b成立，则a的取值范围是（　　）
A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]
【分析】根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）＝f﹣1（b）”，即y＝f（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y＝f（x）的图象与y＝f﹣1（x）的图象关于直线y＝x对称，得到函数y＝f（x）的图象与y＝x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得ex＝x2﹣x+a，记F（x）＝ex，G（x）＝x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：由f（f（b））＝b，可得f（b）＝f﹣1（b）
其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））＝b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）＝f﹣1（b）”，
即y＝f（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y＝f（x）的图象与y＝f﹣1（x）的图象关于直线y＝x对称，
∴y＝f（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y＝x上，
由此可得，y＝f（x）的图象与直线y＝x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据，化简整理得ex＝x2﹣x+a
记F（x）＝ex，G（x）＝x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A．

10．设函数，若函数g（x）＝f（x）﹣a（a∈R）有四个零点xi（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（　　）
A．（0，99] B．（0，100] C．（0，101] D．（0，+∞）
【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象及二次函数的性质，可得，再构造函数求解即可．
【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣a的零点即为函数y＝f（x）的图象与直线y＝a交点的横坐标，
作出f（x）的图象如下图所示，

根据二次函数的对称性可得，x1+x2＝﹣10，﹣lgx3＝a，lgx4＝a，a∈（0，1]，
∴，
∴，
而函数y＝10（10a﹣10﹣a）在（0，1]上单调递增，
∴10（10a﹣10﹣a）∈（0，99]，即（x1+x2）（x3﹣x4）∈（0，99]．
故选：A．
二．多选题（共1小题）
11．已知定义在R上的函数f（x）＞0，满足f（x）•f（x+2）＝4，且∀x∈[﹣1，1]，f（x）•f（﹣x）＝4，当﹣1≤x≤0时，f（x）＝2﹣x+k（k为常数），关于x的方程f（x）﹣loga（x+1）＝1（a＜8且a≠1）有且只有3个不同的根，则（　　）
A．函数f（x）的周期T＝2
B．f（x）在[﹣1，1]单调递减
C．f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．实数a的取值范围是
【分析】由已知f（x）•f（x+2）＝4得f（x﹣2）•f（x）＝4，进一步得到f（x+2）＝f（x﹣2），即可求得函数的周期判断A；由f（0）求得k值，得到函数在﹣1≤x≤0时的解析式，进一步求出f（x）在0≤x≤1上的解析式，判断函数的单调性可得B；推出f（﹣x）＝f（x+2），得到函数的对称轴方程判断C；作出y＝f（x）﹣1与g（x）＝loga（x+1）的图象，把问题转化为关于a的不等式组求解，得到a的范围判断D．
【解答】解：由f（x）•f（x+2）＝4知f（x﹣2）•f（x）＝4，
∴f（x+2）＝f（x﹣2），周期T＝4，故A错误；
取x＝0，得f（0）•f（0）＝4，由f（x）＞0，得f（0）＝2，
又f（0）＝1+k，得k＝1，
∴当﹣1≤x≤0时，f（x）＝2﹣x+1是个减函数，f（x）≥2；
当0＜x≤1时，﹣1≤﹣x＜0，f（﹣x）＝2x+1，是减函数，
则≤f（x）＜2，可知f（x）在[﹣1，1]单调递减，故B正确；
当x∈[1，3]时，x﹣2∈[﹣1，1]，﹣x+2∈[﹣1，1]，得f（x﹣2）•f（﹣x+2）＝4，
∴f（x）•f（﹣x）＝，则在区间[﹣1，3]上，f（x）•f（﹣x）＝4，
又f（x）•f（x+2）＝4，得f（﹣x）＝f（x+2），即f（x）的图象关于直线x＝1对称，
由周期性可知f（x）在R上的图象关于直线x＝1对称，故C正确；
由题意知y＝f（x）﹣1与g（x）＝loga（x+1）（a＜8且a≠1）有且只有3个公共点，
画出y＝f（x）﹣1图象，有极大值点x＝3，7，11，…，极小值点x＝1，5，9，…，
极大值为2，极小值为，g（x）为减函数时不合题意，∴g（x）为增函数，
由a＜8得，由题意知g（3）＜2且g（7）＞2，
即loga4＜2且loga8＞2，∴，故D正确．
故选：BCD．

三．填空题（共12小题）
12．已知函数，方程f（x）＝k有两个实数解，则k的范围是　{k|k＝﹣4或k＞﹣3}　．
【分析】画出函数f（x）的图象，作出直线y＝k，观察图象，得到直线与曲线有两个交点的情况的k的取值范围．
【解答】解：函数的图象如图，

作出直线y＝k，观察图象，k＝﹣4或k＞﹣3时，直线与曲线有两个交点，故实数k的取值范围是{k|k＝﹣4或k＞﹣3}．
故答案为：{k|k＝﹣4或k＞﹣3}．
13．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2，当a＝1时，函数f（x）的零点的个数为　1　个；若y＝f（sinx）在上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为　（﹣∞，]　．
【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）当a＝1时f（x）＝（x﹣1）ex﹣x2，则f′（x）＝xex﹣2x＝x（ex﹣2），
令f′（x）＝0，则x＝0或x＝ln2，
∴当x＜0或x＞ln2时，函数单调递增，当0＜x＜ln2时，函数单调递减，
∴函数f（x）在x＝0取得极大值，在x＝ln2取得极小值，
又∵f（0）＝﹣1，f（l）＝﹣1，f（2）＝e2﹣4＞0，
∴函数f（x）有且只有一个零点．
（2）函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2，可得f′（x）＝x（ex﹣2a），
令f′（x）＝0，可得x＝0或ex＝2a，
①当a≤0时，函数只有一个零点，并且x＝0是函数的一个极小值点，
并且f（0）＝﹣1＜0，若y＝f（sinx）在x∈[﹣，]上有且仅有两个不同的零点，
也就是若y＝f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，
可得：，即，可得a≤﹣，
②当a＞0时，可得函数有两个极值点为：x＝0，x＝ln（2a），
如果ln（2a）≥0，因为f（0）＜0，可知不满足题意，
如果ln（2a）＜0，即0＜a＜，
可得f（x）在（﹣∞，ln（2a））和（0，+∞）是单调递增，（ln（2a），0）单调递减，
只有f（ln（2a））≥0才满足题意，必有：，即，
可得a≤﹣，又∵a＞0，则a无解，
综上：a≤﹣．
故答案为：1，（﹣∞，﹣]．
14．已知函数，若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 　（﹣e﹣3，0）　．
【分析】首先将问题进行等价转化，然后结合函数的图像即可确定实数k的取值范围．
【解答】解：原问题等价于函数 与函数y＝﹣kx存在4个不同的交点．
绘制函数g（x）的图像如图所示，

很明显，当k≥0时，不满足题意，
当k＜0时，两函数在区间（﹣∞，0）和区间（0，1）上必然各存在一个交点，
则函数g（x）与函数y＝﹣kx在区间（1，+∞）上存在两个交点，
临界条件为函数y＝﹣kx与函数h（x）＝lnx﹣2相切，
考查函数h（x）＝lnx﹣2过坐标原点的切线：
由函数的解析式可得：，设切点坐标为（x0，lnx0﹣2），
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：，
解得：，此时切线的斜率为：，
据此可得：实数k的取值范围是（﹣e﹣3，0）．
故答案为：（﹣e﹣3，0）．
15．已知函数，则f（6）＝　8　；若方程f（x）＝x+a在区间[﹣4，8]有三个不等实根，实数a的取值范围为　（﹣4，0）∪{2}　．
【分析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解．
（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a的取值范围．
【解答】解：f（6）＝2f（2）＝2×2f（﹣2）＝4（2﹣|﹣2+2|）＝8；
作出函数f（x）在区间[﹣2，4]上的图象如图：

设直线y＝x+a，由图象可知要使f（x）＝x+a在区间[﹣4，8]上有3个不等实根，
则﹣4＜a＜0或a＝2．
所以实数a的取值范围是（﹣4，0）∪{2}
故答案为：8；（﹣4，0）∪{2}．
16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝0，且当x∈（0，1]时，，若函数F（x）＝f（x）﹣sin（πx）在区间[﹣1，m]上有且仅有10个零点，则实数m的取值范围是　　．
【分析】分析可知函数f（x）是关于（1，0）对称，且以2为周期的函数，在同一坐标系下作出函数y＝f（x），y＝sin（πx）的图象，根据题意结合图象即可得到实数m的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且f（2﹣x）+f（x）＝0，
∴f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是关于（1，0）对称，且以2为周期的函数，
又x∈（0，1]时，，则在同一坐标系下作出函数y＝f（x），y＝sin（πx）的图象如图所示，

∵函数F（x）＝f（x）﹣sin（πx）在区间[﹣1，m]上有且仅有10个零点，
∴函数y＝f（x），y＝sin（πx）的图象在区间[﹣1，m]上有且仅有10个交点，
由图可知，实数m的取值范围为．
故答案为：．
17．函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　（，）　．
【分析】方程f（x）＝mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）＝与函数y＝mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）＝与函数y＝mx﹣的图象，由数形结合求解．
【解答】解：方程f（x）＝mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为
函数f（x）＝与函数y＝mx﹣有四个不同的交点，
作函数f（x）＝与函数y＝mx﹣的图象如下，

由题意，C（0，﹣），B（1，0）；
故kBC＝，
当x＞1时，f（x）＝lnx，f′（x）＝；
设切点A的坐标为（x1，lnx1），
则＝；
解得，x1＝；
故kAC＝；
结合图象可得，
实数m的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
18．若函数f（x）＝aex﹣x2（a≠0）仅有1个零点，则实数a的取值范围是　．　．
【分析】令 f（x）＝0 分离常数 ，构造函数 ，利用导数研究 g（x） 的单调性和极值，结合 y＝a 与 g（x） 有一个交点，求得a 的取值范围．
【解答】解：方程 f（x）＝0 可化为 ，令 ，有
，
当0＜x＜2时，g′（x）＞0；当x＜0或x＞2时，g′（x）＜0，
所以函数 g（x） 的增区间为 （0，2），减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），
可得 x＝0 处 g（x） 取得极小值 0，x＝2 处取得极大值 ，
画出 y＝g（x） 的图象和直线 y＝a，

可得当a＞时，y＝g（x） 和 y＝a 的图象有 1 个交点．
故答案为：．

19．若函数f（x）满足下面三个条件：
①f（x）在其定义域上图象不间断；
②f（x）是偶函数；
③f（x）恰有3个零点．
请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝　（x2﹣1）|x|　．
【分析】由题意同时满足3个条件的函数可得为f（x）＝（x2﹣1）|x|．
【解答】解：由题意可得满足条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．
故答案为：f（x）＝（x2﹣1）|x|．
20．已知函数f（x）＝xex﹣a（x+lnx）（e为自然对数的底数）有两个不同零点，则实数a的取值范围是　（e，+∞）　．
【分析】根据条件令f（x）＝0，然后构造函数，求出g（x）的极小值，再根据f（x）有两个零点，得到a的取值范围．
【解答】解：由f（x）＝xex﹣a（x+lnx）（x＞0），
当x+lnx＝0时，由零点存在性定理可知，∃x0∈（0，1），使得方程x+lnx＝0成立；
当x+lnx≠0时，令f（x）＝0，则（x＞0且x≠x0），
令（x＞0且x≠x0），则g'（x）＝，
∵当x＞0且x≠x0时，ex（x+1）＞0，
又当0＜x＜x0或x0＜x＜1时，x﹣1+lnx＜0，∴g'（x）＜0，
此时g（x）在（0，x0）和（x0，1）上单调递减；
当x＞1时，x﹣1+lnx＞0，∴g'（x）＞0，此时g（x）单调递增，
∴g（x）极小值＝g（1）＝e，且极小值唯一，
∴要使g（x）有两个不同零点，只需函数y＝a与g（x）有两个交点，
∴a＞g（1）＝e，
∴a的取值范围为（e，+∞）．
21．已知f（x）＝﹣kx+2恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 　（0，1）∪（1，4）．　．
【分析】条件转化为函数g（x）＝＝与h（x）＝kx﹣2的图像有2个不同的交点，作出图像，数形结合即可得到答案．
【解答】解：条件等价于方程＝kx﹣2有2个不同的根，
也即函数g（x）＝＝与h（x）＝kx﹣2的图像有2个不同的交点；
作出函数g（x）的图像如图：

因为h（x）＝kx﹣2的图像恒过点（﹣2，0），由图可得，若两函数图像有2个不同的交点，
则k∈（0，1）∪（1，4），
故答案为（0，1）∪（1，4）．
22．已知函数，若g（x）＝ax（a∈R）使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为　　．
【分析】先作出函数f（x）的图象，然后讨论a与0的大小，当a＞0时，要使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同根，则需存在x＞1，使得lnx＞ax，当a＜0时，由f（x）的图象知y＝ax需与函数f（x）＝|x2+4x+3|＝﹣x2﹣4x﹣3相切，当a＝0时，显然符合题意，从而可求出所求．
【解答】解：由已知得f（x）得图象如图（1），
（1）当a＞0时，要使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同根，则需存在x＞1，使得lnx＞ax，即a＜，
又y＝的图象如图（2），故0＜a＜；
（2）当a＜0时，由图象（1）知y＝ax需与函数f（x）＝|x2+4x+3|＝﹣x2﹣4x﹣3相切，
设切点为（m，n），则y﹣f（m）＝f'（m）（x﹣m），
即y﹣（﹣m2﹣4m﹣3）＝（﹣2m﹣4）（x﹣m）过点（0，0），
故m2＝3，因为m＜0，故m＝﹣，所以a＝f'（m）＝，
（3）当a＝0时，显然符合题意，
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：．

23．已知函数f（x）＝，g（x）＝|log2（x+）﹣2|，若函数y＝f（g（x））恰有6个零点，则实数a的取值范围是　（﹣3，﹣2）　．
【分析】通过函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，画出g（x）的大致图象，判断函数的零点的位置，列出不等式组求解即可．
【解答】解：因为函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以可作出的大致图象，如图所示．
由4﹣a≥1且﹣a﹣2＜1，可得当﹣3＜a≤3时，f（x）有两个零点，
一个零点为4﹣a（不小于1），另一个零点为﹣a﹣2（小于1）．
由图可知，要使得y＝f（g（x））有6个零点，
则需满足解得a∈（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．

四．解答题（共4小题）
24．已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣kx有三个零点，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据分段函数的单调性，结合导数判断函数在x≥0上单调递增即可
（2）讨论k≤0时不满足，则k＞0，根据分段函数单调在x≤0时，g（x）已经存在两个零点，在等价为当x＞0时，g（x）有且只有一个零点，利用参数法分离法结合图象进行求解即可．
【解答】解：（1）当x＜0时，f（x）＝﹣x2．是增函数，且f（x）＜0＝f（0），
故当x≥0时，f（x）为增函数，即f′（x）≥0恒成立，
函数的导数f′（x）＝+2ax﹣2a＝+2a（x﹣1）＝（1﹣x）（﹣2a）≥0恒成立，
当x≥1时，1﹣x≤0，此时相应﹣2a≤0恒成立，即2a≥恒成立，即2a≥（）max＝恒成立，
当x≤1时，1﹣x≥0，此时相应﹣2a≥0恒成立，即2a≤恒成立，即2a≤（）min＝恒成立，
则2a＝，即a＝．
（2）若k≤0，则g（x）在R上是增函数，此时g（x）最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．
故k＞0，
当x＜0时，g（x）＝﹣x2﹣kx有一个零点﹣k，
g（0）＝f（0）﹣0＝0，故0也是故g（x）的一个零点，
故当x＞0时，g（x）有且只有一个零点，即g（x）＝0有且只有一个解，
即+﹣﹣kx＝0，得+﹣＝kx，（x＞0），
则k＝+﹣，在x＞0时有且只有一个根，
即y＝k与函数h（x）＝+﹣，在x＞0时有且只有一个交点，
h′（x）＝﹣+，
由h′（x）＞0得﹣+＞0，即＜得ex＞2e，得x＞ln2e＝1+ln2，此时函数递增，
由h′（x）＜0得﹣+＜0，即＞得ex＜2e，得0＜x＜ln2e＝1+ln2，此时函数递减，
即当x＝1+ln2时，函数取得极小值，此时极小值为h（1+ln2）＝+﹣
＝++﹣＝++﹣＝，
h（0）＝1+0﹣＝1﹣，
作出h（x）的图象如图，
要使y＝k与函数h（x）＝+﹣，在x＞0时有且只有一个交点，
则k＝或k≥1﹣，
即实数k的取值范围是{}∪[1﹣，+∞）．

25．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．
（1）求a、b的值；
（2）设．
①若x∈[﹣1，1]时，f（2x）﹣k⋅2x≥0，求实数k的取值范围；
②若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【分析】（1）由已知可得g（x）在[2，3]上单调递增，列关于a、b的方程组求解；
（2）①由（1）知，g（x）＝x2﹣2x+1，不等式f（2x）﹣k⋅2x≥0可化为，令t＝，则k≤t2﹣2t+1，利用配方法求不等式右侧的最小值，则答案可求；
②方程可化为：|2x﹣1|2﹣（3k+2）•|2x﹣1|+（2k+1）＝0，x≠0，令m＝|2x﹣1|，则方程化为m2﹣（3k+2）m+（2k+1）＝0（m≠0），设方程m2﹣（3k+2）m+（2k+1）＝0（m≠0）有两个m1，m2，由题意可得0＜m1＜1＜m2或0＜m1＜1，m2＝1，转化为关于k的不等式组求解．
【解答】解：（1）g（x）＝ax2﹣2ax+1+b＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，x∈[2，3]，
∵a＞0，∴g（x）在[2，3]上单调递增，
故，解得a＝1，b＝0；
（2）①由（1）知，g（x）＝x2﹣2x+1，
∴f（x）＝，
不等式f（2x）﹣k⋅2x≥0可化为，
即，令t＝，则k≤t2﹣2t+1，
∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，原命题等价于k≤（t2﹣2t+1）min，t∈[]．
记h（t）＝t2﹣2t+1，t∈[]，则h（t）min＝h（1）＝0，
∴k的取值范围是（﹣∞，0]；
②方程可化为：
|2x﹣1|2﹣（3k+2）•|2x﹣1|+（2k+1）＝0，x≠0，
令m＝|2x﹣1|，则方程化为m2﹣（3k+2）m+（2k+1）＝0（m≠0）．
∵方程有三个不同实数解，
由m＝|2x﹣1|的图象知，
方程m2﹣（3k+2）m+（2k+1）＝0（m≠0）有两个m1，m2，
且0＜m1＜1＜m2或0＜m1＜1，m2＝1．
记φ（m）＝m2﹣（3k+2）m+（2k+1）．
则或，解得k＞0．
∴实数k的取值范围是（0，+∞）．

26．已知函数f（x）＝（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣a（x∈R）．
（1）若a＝﹣1，求方程f（x）＝1的解集；
（2）若，试判断函数y＝f（x）在R上的零点个数，并求此时y＝f（x）所有零点之和的取值范围．
【分析】（1）方法一：化简分段函数，分段求解方程的根即可，方法二：当a＝﹣1时，利用f（x）＝1化简求解即可．
（2）化简分段函数，通过当x≥a时，当x＜a时，求出函数的零点，推出x1+x2+x3＝a+2+＝﹣+2，构造函数，利用函数的单调性，求解即可．
【解答】解：（1）方法一：
当a＝﹣1时，f（x）＝（x﹣1）|x+1|+1＝；
由f（x）＝1得或解得 x＝0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．
方法二：当a＝﹣1时，由f（x）＝1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）＝0（x﹣1）（|x+1|﹣1）＝0，
∴得x＝1或|x+1|＝1，∴x＝1或x＝0或x＝﹣2，
即解集为{0，1，﹣2}．
（2）f（x）＝（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣a＝，
当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a＝0，∵a∈（﹣，0），
∴△＝a2+8a+4＝（a+4）2﹣12＞0，
得x1＝，x2＝，
且x1﹣a＝﹣a＝，
先判断2﹣a，与大小：
∵（2﹣a）2﹣（a2+8a+4）＝﹣12a＞0，
∴（2﹣a）＞x1﹣a＝＞0，
即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．
当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a＝0，即x2﹣ax+3a＝0得∵a∈（﹣，0），
∴△＝a2﹣12a＝（a﹣6）2﹣36＞0
得x3＝，x4＝
同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．
综上可知当a∈（﹣，0）时，f（x）存在三个不同零点．
且x1+x2+x3＝a+2+＝﹣+2，
设g（a）＝﹣+2，
易知g（a）在a∈（﹣，0）上单调递增，
故g（a）∈（0，2），
∴x1+x2+x3∈（0，2）．
27．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），且f（﹣2）＝．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若≤k＜1，函数f1（x）＝|f（x）﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数f2（x）＝|f（x）﹣1|﹣
的零点分别为x3，x4（x3＜x4），求x1﹣x2+x3﹣x4的最大值．
【分析】（1）直接利用已知的函数值求a即可；
（2）将函数的零点转化为方程的根，即可得到，或，从而得到，求出对应的取值范围即可得到答案．
【解答】解：（1）因为f（﹣2）＝，
所以f（﹣2）＝，解得a＝2，
故函数f（x）＝2x；
（2）由f1（x）＝|f（x）﹣1|﹣k＝0，即|f（x）﹣1|＝k，即f（x）＝1﹣k或f（x）＝1+k，
则，
由f2（x）＝|f（x）﹣1|﹣＝0，即|f（x）﹣1|＝，
即f（x）＝1+或，
则或，
则，
即，
因为，
所以，
则≥3，
即x2﹣x1+x3﹣x4≥log23，
则x2﹣x1+x3﹣x4＝﹣（x2﹣x1+x4﹣x3）≤﹣log23，
故x1﹣x2+x3﹣x4的最大值是﹣log23．