2021届一轮复习 必修一 函数奇偶性及其判断 打地基练习

这是一份2021届一轮复习 必修一 函数奇偶性及其判断 打地基练习，共19页。试卷主要包含了已知f，下列函数是偶函数，且在，下列函数中既是奇函数又在区间，设f，设函数f，下列函数是奇函数的是，已知定义域为R的函数f等内容，欢迎下载使用。
2021届一轮复习 必修一 函数奇偶性及其判断 打地基练习
一．选择题（共9小题）
1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
2．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（　　）
A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2 C．f（x）＝|x| D．f（x）＝lnx
3．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（　　）
A．y＝2x﹣2﹣x B．y＝x2+1 C．y＝（）|x| D．y＝
4．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时f（x）＝x2﹣x，则f（2x﹣1）＞0的解集为（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（，+∞） D．（0，）∪（1，+∞）
5．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（　　）
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+4x，则f（）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
7．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝3x+x，则f（﹣1）等于（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
8．已知f（x）是奇函数，当x≥1时，f（x）＝x2+sinπx，则f（﹣1）＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣1
9．下列函数是奇函数的是（　　）
A．f（x）＝x+cosx B．f（x）＝x2+cosx
C．f（x）＝x+sinx D．f（x）＝x2+sinx
二．多选题（共1小题）
10．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），当0＜x≤1时，f（x）＝2x，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为2
B．﹣1＜x≤1时，f（x）＝2x
C．f（x）在[11，13]上单调递增
D．f（x）＝
三．填空题（共14小题）
11．已知函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a）＝5，则f（﹣a）＝　 　
12．已知定义在R上的偶函数f（x）的最小正周期为π，且当时，f（x）＝sinx，则＝　 　．
13．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝　 　．
14．设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝　 　；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 　 　．
15．已知函数f（x）＝ln（+2x）﹣，若f（log2a）＝2，则f（a）＝　 　．
16．设f（x）＝ax5+bx3+cx+7（其中a、b、c为常数，x∈R），若f（﹣2021）＝﹣17，则f（2021）＝　 　．
17．若函数f（x）称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x值，均有f（x）+f（2a﹣x）＝2b，请写出一个a＝2，b＝2的“准奇函数”（填写解析式）：　 　．
18．已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是　 　．
19．设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为　 　．
20．已知函数是偶函数，则f（x）的最大值为 　 　．
21．写出一个最大值为10的偶函数f（x），即f（x）＝　 　．
22．已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为　 　．
23．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝﹣，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）＝　 　．
24．已知函数f（x）＝x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是　 　．
四．解答题（共7小题）
25．已知函数f（x）＝x2+，（x≠0，a∈R）
（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知a＝16，用定义法证明f（x）在[2，+∞）是单调递增的．
26．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．
（1）若f（1）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；
（2）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
27．已知函数f（x）是奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
28．设函数为奇函数，g（x）＝f（x）+loga（x﹣1）（ax+1）（a＞1，且m≠1）．
（1）求m值；
（2）求g（x）的定义域；
（3）若g（x）在上恒正，求a的取值范围．
29．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）＝，设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？
30．已知函数f（x）是在R上的奇函数，当x＞0时，．
（Ⅰ）求f（3）+f（﹣1）；
（Ⅱ）求f（x）在R上的解析式．
31．已知偶函数f（x）在区间[a，b]上是减函数，证明f（x）在区间[﹣b，﹣a]上是增函数．

2021届一轮复习 必修一 函数奇偶性及其判断 打地基练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
2．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（　　）
A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2 C．f（x）＝|x| D．f（x）＝lnx
【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝x2+2x，不是偶函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝x﹣2＝，是偶函数，在（0，+∞）是减函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）是增函数，符合题意；
对于D，f（x）＝lnx，不是偶函数，不符合题意；
故选：C．
3．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（　　）
A．y＝2x﹣2﹣x B．y＝x2+1 C．y＝（）|x| D．y＝
【分析】由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数．
【解答】解：对于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定义域为R，关于原点对称，
且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，
当x＜0时，由y＝2x，y＝﹣2﹣x递增，可得在区间（﹣∞，0）上f（x）单调递增，故A正确；
y＝f（x）＝x2+1满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故B不满足条件；
y＝f（x）＝（）|x|满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故C不满足题意；
y＝为奇函数，且在区间（﹣∞，0）上f（x）单调递减，故D不满足题意．
故选：A．
4．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时f（x）＝x2﹣x，则f（2x﹣1）＞0的解集为（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（，+∞） D．（0，）∪（1，+∞）
【分析】先求出当x≥0时，f（x）＞0的解，利用偶函数的性质进行转化求解即可．
【解答】解：当x≥0时，由f（x）＝x2﹣x＞0得x＞1或x＜0，
此时不等式的解为x＞1，
由f（2x﹣1）＞0得f（|2x﹣1|）＞0，
即|2x﹣1|＞1，得2x﹣1＞1或2x﹣1＜﹣1，
得x＞1或x＜0，
即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故选：B．
5．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（　　）
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x＜0时的f（x）．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，
∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，
即f（x）＝﹣e﹣x+1．
故选：D．
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+4x，则f（）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据x＞0时的f（x）解析式，即可求出，再根据f（x）是奇函数，即可求出．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，；
∴．
故选：B．
7．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝3x+x，则f（﹣1）等于（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣1）＝f（1）＝3+1＝4，
故选：D．
8．已知f（x）是奇函数，当x≥1时，f（x）＝x2+sinπx，则f（﹣1）＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据奇函数的性质进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+sinπ）＝﹣1．
故选：D．
9．下列函数是奇函数的是（　　）
A．f（x）＝x+cosx B．f（x）＝x2+cosx
C．f（x）＝x+sinx D．f（x）＝x2+sinx
【分析】利用奇函数的定义判断即可．
【解答】解：A选项：f（﹣x）＝﹣x+cos（﹣x）＝﹣x+cosx≠﹣f（x），不是奇函数．
B选项：f（﹣x）＝（﹣x）²+cos（﹣x）＝x²+cosx＝f（x），为偶函数．
C选项：f（﹣x）＝﹣x+sin（﹣x）＝﹣x﹣sinx＝﹣（x+sinx）＝﹣f（x），为奇函数．
D选项，f（﹣x）＝（﹣x）²+sin（﹣x）＝x²﹣sinx≠﹣f（x），不是奇函数．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
10．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），当0＜x≤1时，f（x）＝2x，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为2
B．﹣1＜x≤1时，f（x）＝2x
C．f（x）在[11，13]上单调递增
D．f（x）＝
【分析】由函数的性质，逐个选项验证正误即可得出答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），函数图象关于直线x＝1对称，且有f（﹣x）＝f（2+x），
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（2+x）＝﹣f（x），进而可得f（4+x）＝f（x），即函数f（x）的周期为4，A错误；
对于B，设﹣1≤x＜0，则0＜﹣x≤1，则f（﹣x）＝2（﹣x）＝﹣2x，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，
综合可得：﹣1＜x≤1时，f（x）＝2x，B正确；
对于C，函数f（x）的周期为4，当x∈[11，13]时，x﹣12∈[﹣1，1]，f（x）＝f（x﹣12）＝2（x﹣12）＝2x﹣24，为增函数，C正确；
对于D，当4k﹣1＜x≤4k+1，k∈Z时，有﹣1＜x﹣4k≤1，
则f（x）＝f（x﹣4k）＝2（x﹣4k）＝2x﹣8k，
当4k+1＜x≤4k+3，k∈Z时，有1＜x﹣4k≤3，则有﹣1＜（x﹣4k）﹣2＝x﹣4k﹣2≤1，
则f（x）＝f（x﹣4k）＝﹣f（x﹣4k﹣2）＝﹣2（x﹣4k﹣2）＝﹣2x+8k+4，
故，D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共14小题）
11．已知函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a）＝5，则f（﹣a）＝　﹣3　
【分析】由已知代入可得f（﹣x）+f（x）＝2，结合已知即可求解．
【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝ln（）+ln（+x）+2，
＝ln（﹣x）（+x）+2＝ln1+2＝2，
所以f（a）+f（﹣a）＝2，
∴f（﹣a）＝2﹣5＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．已知定义在R上的偶函数f（x）的最小正周期为π，且当时，f（x）＝sinx，则＝　　．
【分析】结合已知可得f（﹣x）＝f（x），f（x+π）＝f（x），从而把所求函数值进行转化即可求解．
【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）的最小正周期为π，
∴f（﹣x）＝f（x），f（x+π）＝f（x），
∵当时，f（x）＝sinx，
则＝f（）＝f（）＝f（）＝sin＝．
故答案为：．
13．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝　﹣3　．
【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，
又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，
∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，
∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3
14．设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝　﹣1　；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 　（﹣∞，0]　．
【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得分析可得a的值，即可得答案；
对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，变形可得：a≤e2x恒成立，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+ae﹣x，
若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得a＝﹣1，
函数f（x）＝ex+ae﹣x，导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x
若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，
变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]；
故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．
15．已知函数f（x）＝ln（+2x）﹣，若f（log2a）＝2，则f（a）＝　﹣3　．
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣x）的表达式，分析可得f（x）+f（﹣x）＝﹣1，结合f（log2a）的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（+2x）﹣，
则f（﹣x）＝ln（﹣2x）﹣＝﹣ln（+2x）﹣，
则f（x）+f（﹣x）＝﹣1，
若f（log2a）＝2，则f（a）＝f（﹣log2a）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．设f（x）＝ax5+bx3+cx+7（其中a、b、c为常数，x∈R），若f（﹣2021）＝﹣17，则f（2021）＝　31　．
【分析】由已知得f（2021）＝a•20215+b•20213+c•2021+7，f（﹣2021）＝a（﹣2021）5+b（﹣2021）3+c（﹣2021）+7，由此能求出f（2021）．
【解答】解：∵f（x）＝ax5+bx3+cx+7（其中a，b，c为常数，x∈R），f（﹣2021）＝﹣17，
∴f（2021）＝a•20215+b•20213+c•2021+7，
f（﹣2021）＝a（﹣2021）5+b（﹣2021）3+c（﹣2021）+7，
∴f（2021）+f（﹣2021）＝14，∴f（2021）﹣17＝14，
∴f（2021）＝14+17＝31．
故答案为：31．
17．若函数f（x）称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x值，均有f（x）+f（2a﹣x）＝2b，请写出一个a＝2，b＝2的“准奇函数”（填写解析式）：　f（x）＝　．
【分析】由f（x）+f（2a﹣x）＝2b，可得“准奇函数”f（x）的图像关于点（a，b）对称，所有关于点（2，2）中心对称的函数均满足题意．
【解答】解：由f（x）+f（2a﹣x）＝2b，可得“准奇函数”f（x）的图像关于点（a，b）对称，
若a＝2，b＝2，即函数f（x）的图像关于点（2，2）对数，
如f（x）＝的图像关于点（2，2）对数．
故答案为：f（x）＝．
18．已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是　﹣4　．
【分析】由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），由已知可得f（8），进而得到f（﹣8）．
【解答】解：y＝f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
当x≥0时，f（x）＝x，可得f（8）＝8＝4，
则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
19．设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为　　．
【分析】首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f符号求解自变量的取值范围即可．
【解答】解：由函数的解析式可得函数f（x）是定义域上的偶函数，
且x＞0时函数单调递增，
则不等式等价于：f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
脱去f符号有：|x|＞|2x﹣1|，
求解关于实数x的不等式可得使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为 ．
故答案为：．
20．已知函数是偶函数，则f（x）的最大值为 　　．
【分析】根据函数是偶函数，建立方程求出a的值，利用基本不等式进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
则＝＝＝，
则3xa﹣x＝ax，
即3x＝a2x，
则a2＝3，则a＝，
则f（x）＝＝≤＝，
当且仅当（）x＝，即3x＝1，则x＝0时取等号，
即f（x）的最大值为，
故答案为：．
21．写出一个最大值为10的偶函数f（x），即f（x）＝　﹣|x|+10（答案不唯一）　．
【分析】根据函数的性质即可求得结论．
【解答】解：一个最大值为10的偶函数f（x）＝﹣|x|+10．
故答案为：﹣|x|+10（答案不唯一）．
22．已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为　　．
【分析】由已知结合偶函数定义可求a，然后结合高次不等式的求法即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x）对任意的x都成立，
即ax2﹣（a+2）x+a2＝ax2+（a+2）x+a2，
所以﹣（a+2）x＝（a+2）x恒成立，
所以a+2＝0即a＝﹣2，f（x）＝﹣2x2+4，
由＜0，
解得，﹣或x＞2．
故答案为：．
23．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝﹣，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）＝　0　．
【分析】根据条件关系得到当x≥0时，函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：对于x≥0，都有f（x+2）＝﹣，
∴f（x+4）＝﹣＝﹣＝f（x），即当x≥0时，函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），
∴f（﹣2017）＝f（2017）＝f（504×4+1）＝f（1）＝log22＝1，
f（2019）＝f（504×4+3）＝f（3）＝f（2+1）＝﹣＝﹣1，
则f（﹣2017）+f（2019）＝﹣1+1＝0，
故答案为：0．
24．已知函数f（x）＝x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是　0＜a＜4　．
【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，即可得出结论．
【解答】解：构造函数g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，
f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，
∴x2+a＞﹣ax，
∴x2+ax+a＞0，
∴△＝a2﹣4a＜0
∴0＜a＜4，
故答案为0＜a＜4．
四．解答题（共7小题）
25．已知函数f（x）＝x2+，（x≠0，a∈R）
（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知a＝16，用定义法证明f（x）在[2，+∞）是单调递增的．
【分析】（1）讨论当a＝0时，当a≠0时，运用函数的奇偶性的定义，即可判断；
（2）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．
【解答】（1）解：当a＝0时，f（x）＝x2，此时f（x）为偶函数；
当a≠0时，f（﹣x）＝（﹣x）2+＝x2﹣
f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），
则f（x）不为奇函数也不是偶函数；
（2）证明：由a＝16，得f（x）＝x2+．
取任意的m，n∈[2，+∞），且m＜n，f（m）﹣f（n）＝m2﹣n2﹣
＝（m﹣n）（m+n）+＝（m﹣n）[（m+n）﹣]，
由于2≤m＜n，则m﹣n＜0，m+n＞4，mn＞4，则＜4，m+n﹣＞0，
故f（m）﹣f（n）＜0，也即f（m）＜f（n），
所以f（x）在[2，+∞）上是单调递增的．
26．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．
（1）若f（1）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；
（2）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
【分析】本题（1）利用条件f（1）＜0，得到0＜a＜1．f（x）在R上单调递减，从而将f（x2+tx）＜f（x﹣4）转化为x2+tx＞x﹣4，研究二次函数得到本题结论；（2）令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，得到二次函数h（t）＝t2﹣2mt+2在区间[，+∞）上的最小值，分类讨论研究得到m＝2，得到本题结论．
【解答】解：（1）∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴f（x）是定义域为R的奇函数，
∵f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，
∴，又∵a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1．
∵ax单调递减，a﹣x单调递增，
∴f（x）在R上单调递减．
不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x2+tx）＜f（x﹣4），
∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，
∴△＝（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5．
（2）∵f（1）＝，∴，即2a2﹣3a﹣2＝0．
∴a＝﹣（舍去）或a＝2，
∴a＝2，
∴g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．
令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，
由（1）可知t＝f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，
∵x≥1，
∴t≥f（1）＝，
令h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），
若m≥，
当t＝m时，h（t）min＝2﹣m2＝﹣2，∴m＝2
若m＜，当t＝时，h（t）min＝﹣3m＝﹣2，解得m＝＞，舍去
综上可知m＝2．
27．已知函数f（x）是奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
【分析】（1）利用f（1）＝﹣f（﹣1），可得结论；
（2）任取x∈（0，+∞），则x∈（﹣∞，0），结合条件求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）设任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，然后作差，通分，证明f（x1）＜f（x2），便可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增
【解答】解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以f（1）＝﹣f（﹣1）＝．…（3分）
（2）任取x∈（0，+∞），则x∈（﹣∞，0），所以f（﹣x）＝．…（5分）
因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝．…（7分）
（3）函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．…（8分）
证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2．
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝．…（10分）
因为x1，x2∈（0，+∞），所以1+x1，1+x2＞0，
因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0．
因此＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0．
所以f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．…（12分）
28．设函数为奇函数，g（x）＝f（x）+loga（x﹣1）（ax+1）（a＞1，且m≠1）．
（1）求m值；
（2）求g（x）的定义域；
（3）若g（x）在上恒正，求a的取值范围．
【分析】（1）根据函数f（x）为奇函数可知f（x）＝﹣f（﹣x），把f（x）的解析式代入即可求得m．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，进而根据g（x）＝f（x）+loga（x﹣1）（ax+1）可得g（x）的解析式，根据对数的真数需大于0，进而可得x的范围．
（3）根据g（x）在上恒成立，对于g（x）的解析式只需（x+1）（ax+1）＞1，进而根据x的范围求得a的范围．
【解答】解：（1）
∴
∴（m2﹣1）x2＝0，又m≠1
∴m＝﹣1；
（2）
x必须满足
∴
∴g（x）的定义域为{x：x＜﹣1或x＞1}
（3）∵a＞1，g（x）在[]上恒正，
即（x+1）（ax+1）＞1
∴∴
∵∴
∴a的取值范围是（2，+∞）．
29．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）＝，设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？
【分析】根据已知中函数为偶函数，可得f（x）＝ax2+1，进而F（x）＝，结合m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0，可得结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+bx+1是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
即ax2﹣bx+1＝ax2+bx+1，
即b＝0，
∴f（x）＝ax2+1，
∴F（x）＝＝，
∵m＞0，n＜0，m+n＞0，
则m＞﹣n＞0，
∴|m|＞|n|，
∴F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣（an2+1）＝a（m2﹣n2）＞0，
即F（m）+F（n）能大于零．
30．已知函数f（x）是在R上的奇函数，当x＞0时，．
（Ⅰ）求f（3）+f（﹣1）；
（Ⅱ）求f（x）在R上的解析式．
【分析】（Ⅰ）由函数的解析式计算可得f（3）与f（1）的值，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得答案；
（Ⅱ）由函数的定义域以及奇偶性可得f（0）＝0；再设x＜0，则有﹣x＞0，结合函数的解析式与奇偶性分析可得此时f（x）的解析式，综合即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当x＞0时，，则f（3）＝27﹣＝，
f（1）＝3﹣1＝2，
又由函数为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
（Ⅱ）函数f（x）是在R上的奇函数，则有f（0）＝0，
当x＜0时，﹣x＞0，
则f（﹣x）＝3×（﹣x）2﹣＝3x2+，
又由函数为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣3x2﹣，
则f（x）＝．
31．已知偶函数f（x）在区间[a，b]上是减函数，证明f（x）在区间[﹣b，﹣a]上是增函数．
【分析】设﹣b＜x1＜x2＜﹣a，则有a＜﹣x2＜﹣x1＜b，结合偶函数f（x）在区间[a，b]上是减函数，可得结论．
【解答】证明：设﹣b＜x1＜x2＜﹣a，则有a＜﹣x2＜﹣x1＜b…（2分）
因为f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）
从而f（﹣x1）＝f（x1），f（﹣x2）＝f（x2）…（4分）
又f（x）在区间[a，b]上是减函数
所以f（﹣x1）＜f（﹣x2）
即f（x1）＜f（x2）…（6分）
所以f（x）在[﹣b，﹣a]上是增函数．…（8分）