2017年长春市南关区中考一模数学试卷

这是一份2017年长春市南关区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −5 的相反数是
A. −15B. 15C. −5D. 5

2. 今年春节我市共接待国内外游客 3343200 万人次，3343200 这个数用科学记数法表示为
A. 0.33432×106B. 3.3432×106C. 3.3432×105D. 33.432×105

3. 如图，立体图形的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 不等式组 3x−1≤2,x+2>0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

5. 关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是
A. k≤−4B. k≥−4C. k≤4D. k>4

6. 如图，在平行线 a，b 之间放置一块直角三角板，三角板的顶点 A，C 分别在直线 a，b 上，∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，则 ∠1+∠2 的值为
A. 60∘B. 70∘C. 80∘D. 90∘

7. 如图，C，D 是以线段 AB 为直径的 ⊙O 上两点，若 CA=CD，且 ∠CAB=25∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 25∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘

8. 如图，等腰三角形 ABC 的底边 AB 在 x 轴上，点 B 与原点 O 重合，已知点 A−2,0，AC=5，将 △ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 的对应点 C1 落在直线 y=2x−4 上时，则平移的距离是
A. 2B. 3C. 4D. 5

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 比较大小：5 2（填“>”或“<”）．

10. 因式分解 a3b−ab= ．

11. 如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 的中点为 O，过点 O 作 OE⊥BC 于点 E，连接 OA，已知 AB=5，BC=12，则四边形 ABEO 的周长为 ．

12. 如图，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过矩形 OABC 的边 AB 的中点 D，若矩形 OABC 的面积为 8，则 k= ．

13. 如图，点 B 是扇形 AOC 的 AC 的二等分点，过点 B，C 分别作半径的垂线段 BD，CE，垂足分别为 D，E，已知 OA⊥OC，半径 OC=1，则图中阴影部分的面积和是 ．

14. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca<0 的对称轴是过点 1,0 且平行于 y 轴的直线，若点 P3,0 在该抛物线上，则 a−b+c 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 先化简，再求值：1−1x+1÷x−2x+1，其中 x=−4．

16. 一个不透明的袋子中装有 2 个红球、 1 个白球，这些球除颜色外都相同，甲从中随机摸出一个球后，放回并搅匀，乙再随机摸出一个球，请用列表法或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色小球的概率．

17. 煤气公司一工人检修一条长 540 米的煤气管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修的管道长度是原计划的 1.5 倍，结果提前 3 小时完成任务，求该工人原计划每小时检修煤气管道多少米?

18. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，过 AD 的中点 O 作 EF⊥AD，分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 DE，DF．
（1）判断四边形 AFDE 是什么四边形?请说明理由；
（2）若 BD=8，CD=3，AE=4，求 CF 的长．

19. 为了测量出大楼 AB 的高度，从距离楼底 B 处 50 米的点 C（点 C 与楼底 B 在同一水平面上）出发，沿倾斜角为 30∘ 的斜坡 CD 前进 20 米到达点 D，在点 D 处测得楼顶 A 的仰角为 64∘，求大楼 AB 的高度．（结果精确到 1 米）（参考数据：sin64∘≈0.9，cs64∘≈0.4，tan64∘≈2.1，3≈1.7）

20. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，为了解市民对售后评价的关注情况，随机采访部分市民，对采访情况制作了如下统计图表：
关注情况频数频率A.高度关注50bB.一般关注1200.6C.不关注a0.1D.不知道100.05
（1）根据上述统计图可得此次采访的人数为 人，a= ，b= ；
（2）根据以上信息补全条形统计图；
（3）根据上述采访结果，请估计在 6400 名市民中，高度关注售后评价的市民约有多少人?

21. 高铁的开通，给N市市民出行带来了极大的方便，“元旦”期间，甲、乙两人应邀到A市的艺术馆参加演出，甲乘私家车从N市出发 1 小时后，乙乘坐高铁从N市出发，先到A市火车站，然后再转乘出租车到A市的艺术馆（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达A市的艺术馆，他们离开N市的距离 y（千米）与乘车时间 x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）高铁的平均速度是每小时多少千米?
（2）分别求甲、乙（乘坐高铁时）两人离开N市的距离 y 与乘车时间 x 的函数关系式；
（3）若甲要提前 30 分钟到达艺术馆，那么私家车的速度必须达到多少千米/小时?

22. 【阅读发现】 如图①，在 △ABC 中，∠ACB=45∘，AD⊥BC 于点 D，E 为 AD 上一点，且 DE=BD，可知 AB=CE．
（1）【类比探究】 如图②，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，E 是 OC 上任意一点，AG⊥BE 于点 G，交 BD 于点 F．判断 AF 与 BE 的数量关系，并加以证明．
（2）【推广应用】在图②中，若 AB=4，BF=2，则 △AGE 的面积为 ．

23. 如图，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B2,0 两点（点
A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C0,8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移 m 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在 △ABC 的内部（不包括 △ABC 的边界），求 m 的取值范围；
（3）已知点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=9，AB=15，动点 P 从点 A 出发，沿 AC→CB→BA 边运动，点 P 在 AC，CB，BA 边上运动的速度分别为每秒 3，4，5 个单位，直线 l 从与 AC 重合的位置开始，以每秒 43 个单位的速度沿 CB 方向移动，移动过程中保持 l∥AC，且分别与 CB，AB 边交于 E，F 两点，点 P 与直线 l 同时出发，设运动的时间为 t 秒，当点 P 第一次回到点 A 时，点 P 和直线 l 同时停止运动．
（1）当 t= 秒时，△PCE 是等腰直角三角形；
（2）当点 P 在 AC 边上运动时，将 △PEF 绕点 E 逆时针旋转，使得点 P 的对应点 P1 落在 EF 上，点 F 的对应点为 F1，当 EF1⊥AB 时，求 t 的值；
（3）作点 P 关于直线 EF 的对称点 Q，在运动过程中，若形成的四边形 PEQF 为菱形，求 t 的值；
（4）在整个运动过程中，设 △PEF 的面积为 S，请直接写出 S 的最大值．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. A
4. A
5. C
6. A
7. D
8. C
第二部分
9. >
10. aba+1a−1
11. 20
12. 4
13. π4−12
14. 0
第三部分
15. 原式=x+1−1x+1×x+1x−2=xx−2.
当 x=−4 时，原式=23．
16. 画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，两人摸到相同颜色的小球有 5 种情况，
∴ 两人摸到相同颜色的小球的概率为：59．
17. 设该工人原计划每小时检修煤气管道 x 米．
根据题意，得
540x−5401.5x=3,
解得
x=60.
经检验，x=60 是原方程的解，且符合题意．
答：该工人原计划每小时检修煤气管道 60 米．
18. （1） 四边形 AFDE 是菱形．
理由：
∵O 是 AD 的中点，且 EF⊥AD，
∴AE=DE，AF=DF，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠EAO=∠FAO，
∵∠EOA=∠FOA=90∘，
∴∠OEA=∠OFA，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DF=DE，
∴ 四边形 AFDE 是菱形．
（2） ∵ 四边形 AEDF 是菱形，
∴DE∥AC．
∴△BDE∽△BCA．
∴DEAC=BDBC，
∴4AC=83+8，
∴AC=112，
∴CF=AC−AF=32．
19. 如图：

过点 D 作 DM 垂直 AB 于点 M，作 DN 垂直 CB 于点 N ，
在 Rt△CDN 中，
∵CD=20 米，∠C=30∘，
∴BM=DN=12CD=10 米，CN=CDcsC=20×32=103，
∵BC=50 米，
∴DM=BN=BC−CN=50−103，
在 Rt△ADM 中，由 tan∠ADM=AMDM 可得 AM=DMtan∠ADM=50−103⋅tan64∘，
则 AB=AM+BM=50−103⋅tan64∘+10≈79（米），
答：楼 AB 的高度约为 79 米．
20. （1） 200；20；0.25
（2） 如图．
（3） 6400×0.25=1600（人），
答：高度关注售后评价的市民约有 1600 人．
21. （1） 420÷2.5−1=280（千米/小时）．
答：高铁的平均速度是每小时 280 千米．
（2） 设甲离开N市的距离 y 与乘车时间 x 的函数关系式为 y甲=kx+bk≠0，乙离开N市的距离 y 与乘车时间 x 的函数关系式为 y乙=mx+nm≠0，
将点 1,0，2.5,420 代入 y乙=mx+n 得，
m+n=0,2.5m+n=420, 解得：m=280,n=−280.
∴ 乙离开N市的距离 y 与乘车时间 x 的函数关系式为 y乙=280x−2801≤x≤2.5．
当 y乙=112 时，280x−280=112，
解得：x=1.4．
将 0,0，1.4,112 代入 y甲=kx+b 得，
b=0,1.4k+b=112, 解得：k=80,b=0,
∴ 甲离开N市的距离 y 与乘车时间 x 的函数关系式为 y甲=80x．
（3） 当 y=80x=360 时，x=4.5，
360÷4.5−3060=90（千米/小时）．
答：若甲要提前 30 分钟到达艺术馆，那么私家车的速度必须达到 90 千米/小时．
22. （1） AF=BE；理由如下：
∵ 正方形 ABCD 中，AB=BC=AD，∠BAD=90∘，∠ABF=∠BCE=45∘，AC⊥BD，OA=OB=OC，
∴∠FAO+∠AFO=90∘，
∵AG⊥BE，
∴∠FAO+∠AEG=90∘，
∴∠AFO=∠AEG，
∵∠AFB=180∘−∠AFO，∠BEC=180∘−∠AEG，
∴∠AFB=∠BEC，
在 △ABF 和 △BCE 中，
∠ABF=∠BCE,∠AFB=∠BEC,AB=BC,
∴△ABF≌△BCE，
∴AF=BE．
（2） 185
23. （1） 把点 B 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式得：−4+2b+c=0,c=8, 解得：b=−2,c=8.
∴ y=−x2−2x+8．
（2） y=−x2−2x+8=−x+12+9，
∴ 平移后抛物线的解析式为 y=−x+12+9−m．
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，点 B2,0，
∴ A−4,0．
设直线 AC 的解析式为 y=kx+8，将点 A 的坐标代入得：−4k+8=0，解得 k=2，
∴ 直线 AC 的解析式为 y=2x+8．
当 x=−1 时，y=6．
∵ 抛物线的顶点落在 △ABC 的内部，
∴ 0<9−m<6．
∴ 3 （3） 设点 Q 的坐标为 a,0，点 Px,y．
①当 AC 为对角线时，
∵ 四边形 APCQ 为平行四边形，
∴ AC 与 PQ 互相平分．
依据中点坐标公式可知：−4+02=x+a2，0+82=y+02．
∴ x=−4−a，y=8．
∵ 点 P 在抛物线上，
∴ −a+42−2−4−a=0，解得：a=−2 或 a=−4（舍去）．
∴ 点 Q 的坐标为 −2,0．
②当 AC 为边时．
∵ 以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，
∴ PQ∥AC，PQ=AC，
∴ ∣y∣=8 即 ∣−x2−2x+8∣=8，
解得 x1=0（舍），x2=−2，x3=−1+17，x4=−1−17．
同①可得点 Q 为 −6,0 或 3+17,0 或 3−17,0．
综上所述满足条件的点 Q 为 −2,0 或 −6,0 或 3+17,0 或 3−17,0．
24. （1） 2713
（2） 连接 PF，P1F1，如图 1，
由题意，∠PEF=∠P1EF1，
∵ EF∥AC，∠C=90∘，
∴ ∠BEF=90∘，∠CPE=∠PEF，
∴ ∠B+∠EFB=90∘，
∵ EF1⊥AB，
∴ ∠P1EF1+∠EFB=90∘，
∴ ∠B=∠P1EF1，
∴ ∠CPE=∠B，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC=12，
∴ tan∠CPE=tanB=ACBC=34，
∵ tan∠CPE=CECP，
∴ CECP=34，
∴ CP=43CE，
∵ AP=3t0 ∴ CP=9−3t，
∴ 9−3t=43×43t，解得 t=8143．
（3） 如图 2，连接 PQ 交 EF 于点 O，
∵ P，Q 关于直线 EF 对称，
∴ EF 垂直平分 PQ，
若四边形 PEQF 为菱形，则 OE=OF=12EF，
①当点 P 在 AC 边上运动时，易知四边形 POEC 为矩形，
∴ OE=PC，
∴ PC=12EF，
∵ CE=43t，
∴ BE=12−43t，EF=BE⋅tanB=3412−43t=9−t，
∴ 9−3t=129−t，解得 t=95．
②当点 P 在 CB 边上运动时，P，E，Q 三点共线，不存在四边形 PEQF；
③如图 3，当点 P 在 BA 边上运动时，则点 P 在点 B，F 之间，
∵ BE=12−43t，
∴ BF=BEcsB=5412−43t=15−53t，
∵ BP=5t−6，
∴ PF=BF−BP=15−53t−5t−6=45−203t，
∵ ∠POF=∠BEF=90∘，
∴ PO∥BE，
∴ ∠OPF=∠B，
在 Rt△POF 中，sin∠OPF=sinB，
∴ OFPF=35，
∴ 129−t45−203t=35，解得 t=457．
∴ 当 t=95 或 t=457 时，四边形 PEQF 为菱形．
（4） 在整个运动过程中，S 的最大值为 12．