第03讲 函数的奇偶性及周期性（解析版）练习题

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第3讲   函数的奇偶性及周期性  [A级　基础练]1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)A．y＝x2　　　　　　　　　 B．y＝|x－1|C．y＝|x|－1   D．y＝2x解析：选AC.选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.2．（2020春•延庆区期末）在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为　　A． B． C． D．【分析】结合基本初等函数的性质及奇偶性的定义即可判断．【解答】解：根据幂函数的性质可知，为上的奇函数，符合题意；为上偶函数，不符合题意；的定义域不是，不符合题意；不是奇函数，不符合题意．故选：．3．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>时，f＝f，则f(5)＝(　　)A．   B．－C．－2   D．2解析：选B.因为当x>时，f＝f，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，故选B.4．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)A．|f(x)|是偶函数  B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数  D．f(|x|)f(x)是偶函数解析：选D.因为f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－3)   B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)   D．(1，＋∞)解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.答案：x2＋x－17．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．解析：由f(x)为奇函数易知a＝2，当x≥4时，f(x)＝在[4，＋∞)上单调递减，所以当x＝4时，f(x)max＝.答案：2　8．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．解析：方法一：因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.答案：29．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．解：(1)因为f＝－f，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋3)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数．(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝[B级　综合练]11．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，y＝f(x)不一定是奇函数，如y＝|f(x)|＝x2，故选B.12．（2020•徐州模拟）已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，，都有，则实数的取值范围为　　   ．【分析】先求得（1）的值，由此求得的值，证得时周期为4的函数，将转化为，根据函数周期性和对称性，将原式转化为，结合的取值范围即可求得的取值范围．【解答】解：因为．令，则（1），即（1），由于时，．所以（1），解得，即有当时，．因为，又因为为偶函数，所以，再根据．，则，所以函数是周期为4的周期函数，当，时，，，所以，所以当，时，．因为，所以，故，所以当，时，，，所以．作出函数的图象如图：由，得，对于任意，成立当时，，解得，所以，即对于任意，成立，当，时，由得的最大值，由于在，单调递减，所以，由得的最小值，由于在，单调递增，所以，综上，的取值范围是，，故答案为：，． 13．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.14．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)可画出f(x)的图象，知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．[C级　创新练]15．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.以上三个函数中，“优美函数”的个数是(　　)A．0   B．1C．2   D．3解析：选B.由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．故选B.16．(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是(　　)A．y＝sin xcos x   B．y＝ln x＋exC．y＝2x   D．y＝x2－2x解析：选AB.由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin xcos x＝sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所述，A，B是“H函数”，故选AB.