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考点08 平面向量-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练(江苏专用)(解析版)
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这是一份考点08 平面向量-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练(江苏专用)(解析版),共22页。试卷主要包含了选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。
备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练(江苏专用)考点8平面向量一、选择题1.(2021·全国高三专题练习(理))设为单位向量,①若为平面内的某个向量,则;②若与平行,则;③若与平行且,则.上述命题中,假命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3【答案】D【详解】向量是既有大小又有方向的量,的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若与平行,则与的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.故选:D2.(2021·全国高三专题练习(理))已知单位向量、、,满足.若常数、、的取值集合为,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【详解】由条件得,和的取值只有三种可能,分别为、、,但二者不可能同时一个取,另一个取,∴的化简结果只有四种形式:、、、,而,故所有可能取值只有或两种结果,∴的最大值为.故选:B3.(2021·广东高三专题练习)设是非零向量,则“”是“” 成立的( )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】依题意是非零向量,表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,当时,的方向相同,所以,当时,的方向相同,但不一定有,如也符合,所以“”是“” 成立的充分不必要条件.故选:B4.(2021·全国高三专题练习(文))已知点,则与向量同方向的单位向量是A. B. C. D.【答案】C【详解】试题分析:与向量同方向的单位向量是.5.(2021·全国高三专题练习)与向量平行的单位向量为A. B. C.或D.【答案】C【详解】向量平行的单位向量为,即或,故选:.一、选择题1.(2021·甘肃省民乐县第一中学高三月考(文))若两个非零向量满足,则向量与的夹角是( )A. B. C. D.【答案】D【详解】解:,,,,,设与的夹角为,.,,.故选:D.2.(2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟(理))在中,若,则下列说法正确的是( )A.是的外心 B.是的内心C.是的重心. D.是的垂心【答案】D【详解】∵,∴,∴,∴,同理由,得到,∴点是的三条高的交点.故选:D3.(2021·合肥一六八中学高三其他模拟(理))骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,深受大众喜爱,如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,,,均是边长为4的等边角形.设点P为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,的最大值为( )A.8 B. C. D.4【答案】C【详解】以为坐标原点,为轴,过做的垂线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则.圆的方程为,可设,所以.故.故选:C.4.(2021·浙江高三其他模拟)已知为单位向量,向量满足,则的最大值为( )A. B.2 C. D.3【答案】B【详解】解:由得,说明的终点的轨迹是以的终点为圆心,为半径的圆,的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径,即为,,(当且仅当时取等号).故选:.5.(2021·山西高三三模(文))已知△ABC的重心为O,则向量( )A. B.C. D.【答案】C【详解】设分别是的中点,由于是三角形的重心,所以.故选:C二、解答题6.(2021·浙江高三专题练习)如图,在四边形中,,,,为等边三角形,是的中点.设,.(1)用,表示,,(2)求与夹角的余弦值.【答案】(1),;(2).【详解】解法一:(1)由图可知.因为E是CD的中点,所以.(2)因为,为等边三角形,所以,,所以,所以,.设与的夹角为,则,所以在与夹角的余弦值为.解法二:(1)同解法一.(2)以A为原点,AD所在直线为x轴,过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则,,,.因为E是CD的中点,所以,所以,,所以,.设与的夹角为,则,所以与夹角的余弦值为.7.(2021·浙江高三期末)已知向量,,其中,,求(1);(2)与的夹角的余弦值.【答案】(1);(2)【详解】解:(1)由题知,,所以所以(2)设与的夹角为,所以由夹角公式得:所以与的夹角的余弦值为一、选择题1.(2021·江苏南通市·高三其他模拟)瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线,这是一种分形曲线,它的分形过程是:从一个正三角形(如图①)开始,把每条边分成三等份,以各边的中间部分的长度为底边,分别向外作正三角形后,抹掉“底边”线段,这样就得到一个六角形(如图②),所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份,以各边的中间部分的长度为底边,分别向外作正三角形后,抹掉“底边”线段.反复进行这一分形,就会得到一个“雪花”样子的曲线,这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O是六角形的对称中心,A,B是六角形的两个顶点,动点P在六角形上(内部以及边界).若,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【详解】如图,设,,求的最大值,只需考虑图中以O为起点,6个顶点分别为终点的向量即可,讨论如下:当点P在A处时,,,故;当点P在B处时,,,故;当点P在C处时,,故;当点P在D处时,,故;当点P在E处时,,故;当点P在F处时,,故.于是的最大值为5.根据其对称性可知的最小值为,故的取值范围是.故选:C.2.(2021·江苏南通市·高三其他模拟)如图,O为正六边形的中心,则下列的终点P落在内部(不含边界)的是( )A. B.C. D.【答案】B【详解】对于A:,以O为公共起点,、为邻边作平行四边形,得对角线,显然点P不在△内部;对于B:,以O为公共起点,、为邻边作平行四边形,得对角线,显然点P在△内部;对于C:,以O为公共起点,、为邻边作平行四边形,得对角线,显然点P不在△内部;对于D:,以O为公共起点,、为邻边作平行四边形,得对角线,显然点P不在△内部.故选:B.3.(2021·重庆一中高三月考)已知向量,,则( )A. B.2 C. D.5【答案】A【详解】,故选:A.4.(2021·山东泰安市·高三三模)已知平面四边形满足,平面内点满足,与交于点,若,则( )A. B. C. D.【答案】C【详解】易知,,,∴,故选:C .5.(2021·山东潍坊市·高三三模)如图,在平行四边形中,,若,则( )A. B.1 C. D.【答案】D【详解】,又∵,不共线 ,根据平面向量基本定理可得,∴,故选:D.二、解答题6.(2021·浙江高三期末)如图,已知中,,设.(Ⅰ)若D是的中点,用分别表示向量;(Ⅱ)求;(Ⅲ)求与的夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ);(Ⅲ)【详解】解:(Ⅰ)依题意D是的中点,,所以,(Ⅱ)因为,所以所以(Ⅲ),设与的夹角为,则7.(2021·江苏高三专题练习)如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且.设.(1)试用基底,表示;(2)若G为长方形ABCD内部一点,且.求证:E,G,F三点共线.【答案】(1),;(2)证明见解析.【详解】(1)由题可知:=, (2),共线,且有一公共点,∴E,G,F三点共线.一、选择题1.(2021·浙江金华市·高三三模)半径为1的扇形AOB中,∠AOB=120°,C为弧上的动点,已知,记,则( )A.若m+n=3,则M的最小值为3 B.若m+n=3,则有唯一C点使M取最小值C.若m·n=3,则M的最小值为3 D.若m·n=3,则有唯一C点使M取最小值【答案】A【详解】解:利用特值法判定.如图,圆弧是将圆弧以O为中心放大到原来的3倍得到.若,取时,,当C与A重合时取得最小值3,同理当时,C与B重合时M取得最小值3;故若m+n=3,则使M取最小值的点可能与重合,也可能与重合,不唯一;若,取时,,当C与A重合时取得最小值,同理当时,C与B重合时M取得最小值;故若m·n=3,则M的最小值不一定为3,使M取最小值的点可能与重合,也可能与重合,不唯一;综上,判定BCD错误,故选:A.2.(2021·重庆巴蜀中学高三月考)如图,四边形ABCD满足:.若点M为线段BD上的动点,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【详解】由题意知:,有且,即,∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴构建直角坐标系,设点,且满足,点,∴,其中,当时,的最小值为,故选:B.3.(2021·贵州高三二模(理))已知平面向量,,其中,向量与的夹角为,则的最大值为( )A. B.3 C.4 D.【答案】C【详解】设,,则,,又向量与的夹角为,则,即C点的轨迹为优弧上的点,则圆心角,三角形AOB为正三角形,圆半径,则当取圆O的直径向量时,取最大值为4.故选:C.4.(2021·浙江高三其他模拟)在中,,若,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【详解】以的中点为坐标原点,所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,则,.设点,由,可得,化简得 ,故点的轨迹为圆(不包含与轴的交点),记圆与轴的交点分别为,(在的左侧)则,,所以,.故选:C.5.(2021·天津高三二模)在直角梯形中,,,,为边上一点,,为直线上一点,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】以为原点,、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系,所以,设,则,,因为,所以,解得,,所以直线所在的直线方程为,设,,,所以,因为为直线上一点,所以当时有最大值,为,故选:C.
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