2022年中考数学一轮复习第38讲《阅读理解型问题》课后练习(含答案)

这是一份2022年中考数学一轮复习第38讲《阅读理解型问题》课后练习(含答案)，共10页。

1．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a＋b＋c就是完全对称式．下列三个代数式：①(a－b)2；②ab＋bc＋ca；③a2b＋b2c＋c2a.其中是完全对称式的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )
A．1，2，3 B．1，1，eq \r(2)
C．1，1，eq \r(3) D．1，2，eq \r(3)
3．对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)．如P1(1，2)＝(3，－1)，P2(1，2)＝P1(P1(1，2))＝P1(3，－1)＝(2，4)，P3(1，2)＝P1(P2(1，2))＝P1(2，4)＝(6，－2)．则P2017(1，－1)＝( )
A．(0，21008) B．(0，－21008)
C．(0，－21009) D．(0，21009)
4．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x＋eq \f(1,x)(x＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是eq \f(1,x)，矩形的周长是2(x＋eq \f(1,x))；当矩形成为正方形时，就有x＝eq \f(1,x)(x＞0)，解得x＝1，这时矩形的周长2(x＋eq \f(1,x))＝4最小，因此x＋eq \f(1,x)(x＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子eq \f(x2＋9,x)(x＞0)的最小值是( )
A．2 B．1 C．6 D．10
5．定义eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(p，q))为一次函数y＝px＋q的特征数．
(1)若特征数是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，m＋1))的一次函数为正比例函数，求m的值；
(2)已知抛物线y＝(x＋n)(x－2)与x轴交于点A、B，其中n>0，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且△OAC的面积为4，O为原点，求图象过A、C两点的一次函数的特征数．

6．(2015·杭州)如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
第6题图

7．点P是双曲线y＝eq \f(k,x)(x＞0)上一点，以点P为圆心，2为半径的圆与直线y＝x的交点为A、B，则称线段AB是双曲线y＝eq \f(k,x)(x＞0)的径长．如图，线段AB是双曲线y＝eq \f(k,x)(x＞0)的径长．
(1)当⊙P与x轴和y轴都相切时，求双曲线y＝eq \f(k,x)(x＞0)的径长及k的值；
(2)若点P在双曲线y＝eq \f(4,x)(x>0)上运动，当径长等于2eq \r(3)时，求点P的坐标．
第7题图


8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝eq \f(底边,腰)＝eq \f(BC,AB).容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad 60°＝____________________；
(2)对于0°(3)如图2，已知sin A＝eq \f(3,5)，其中∠A为锐角，试求sad A的值．
第8题图

B组
9．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称矩形ABCD为方形．
(1)设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值(一组即可)；
(2)在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．
①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

第9题图
10．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图1，∠BAB′ ＝θ，eq \f(AB′,AB)＝eq \f(B′C′,BC)＝eq \f(AC′,AC)＝n，我们将这种变换记为[θ，n]．
(1)如图1，对△ABC作变换[60°，eq \r(3)]得△AB′C′，则S△AB′C′∶S△ABC＝____________________；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为____________________度；
(2)如图2，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值；
(3)如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．
第10题图

11．(2016·绍兴)对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，已知点A的坐标为(1，0)．
(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标；
(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M对称的点为点B，点B关于直线l对称的点为点C.
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由；
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(7，6)，求出点B的坐标及n的值．
第11题图

12．(2017·衢州)定义：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．
第12题图
(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；
(2)如图2，已知抛物线C∶y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，eq \r(3))是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．

C组
13．(2016·广东模拟)定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：(1)如图1，已知A、B、C在格点(小正方形的顶点)上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
(2)如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC＝BD.求证：四边形ABCD是对等四边形；
(3)如图3，在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，BC＝11，tan∠PBC＝eq \f(12,5)，点A在BP边上，且AB＝13.用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
第13题图
参考答案
课后练习38 阅读理解型问题
A组
1．A 2.D 3.D 4.C
5. (1)由题意得 m＋1＝0.∴ m＝－1. (2)由题意得点A的坐标为(－n，0)，点C的坐标为(0，－2n)．∵ △OAC的面积为4，∴ eq \f(1,2)×n·2n＝4，∴ n＝2.∴ 点A的坐标为(－2，0)，点C的坐标为(0，－4)．设直线AC的解析式为 y＝kx＋b.∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－2k＋b，,－4＝b.))∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝－4.))∴ 直线AC的解析式为 y＝－2x－4. ∴ 图象过A、C两点的一次函数的特征数为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－4)).
6．∵OA′·OA＝16，OA＝8，∴OA′＝2，同理可得OB′＝4，即B点的反演点B′与B重合，设OA交圆于点M，连结B′M，∵∠BOA＝60°，OM＝OB′，∴△OB′M为正三角形，又∵点A′为OM的中点，∴A′B′⊥OM，根据勾股定理，得：OB′2＝OA′2＋A′B′2，即16＝4＋A′B′2，解得：A′B′＝2eq \r(3).
7．(1)∵⊙P与x轴和y轴都相切，半径为2，∴点P到x轴和y轴的距离都是2，∴点P(2，2)，∴线段AB经过圆心，2＝eq \f(k,2)，∴径长AB＝4，k＝4. (2)设点P(m，n)，点P在直线l上方时，如图，作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D，PD与AB交于点E，连结PB，∴C是AB中点， ∴BC＝eq \r(3)，∴PC＝eq \r(PB2－BC2)＝eq \r(4－3)＝1，∵点E在直线y＝x上， ∴OD＝ED＝m，∴∠OED＝45°，∴∠PEC＝45°，∴PE＝eq \r(2)PC＝eq \r(2)，∴n＝PD＝DE＋PE＝m＋eq \r(2)，∵点P在双曲线y＝eq \f(4,x)上，∴mn＝4，∴m(m＋eq \r(2))＝4，解得m1＝eq \r(2)，m2＝－2eq \r(2)，∵点P在第一象限，∴m＝eq \r(2)，∴n＝2eq \r(2)，∴点P(eq \r(2)，2eq \r(2))，类似地求出点P在直线l下方时坐标为(2eq \r(2)，eq \r(2))，∴点P的坐标为(eq \r(2)，2eq \r(2))或(2eq \r(2)，eq \r(2))．

第7题图 第8题图
8．(1)1 (2)0(3)设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a.如图，在AC延长线上取点D使AD＝AB＝5a，连结BD.则CD＝a.BD＝eq \r(CD2＋BC2)＝eq \r(a2＋（3a）2)＝eq \r(10)a.∴sad A＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(\r(10),5).
B组
(1)答案不唯一，如a＝2，b＝4； (2)①以B1C1为一边的矩形不是方形．理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，∴eq \f(B1C1,BC)＝eq \f(AE,AM)，eq \f(B2C2,BC)＝eq \f(AH,AM)，eq \f(B3C3,BC)＝eq \f(AG,AM)，eq \f(B4C4,BC)＝eq \f(AN,AM)，∵AM＝20，BC＝25，∴B1C1＝5，B2C2＝10，B3C3＝15，B4C4＝20，AE＝4，AH＝8，AG＝12，AN＝16，∴MN＝GN＝GH＝HE＝4，∴B1Q＝B2O＝B3Z＝B4K＝4，即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，∴以B1C1为一边的矩形不是方形； ②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM＝h，∴△ABC∽△AB3C3，∴eq \f(B3C3,BC)＝eq \f(AG,AM)＝eq \f(3,5)，则AG＝eq \f(3,5)h，∴MN＝GN＝GH＝HE＝eq \f(1,5)h，当B3C3＝2×eq \f(1,5)h时，eq \f(BC,AM)＝eq \f(2,3)；当B3C3＝eq \f(1,2)×eq \f(1,5)h时，eq \f(BC,AM)＝eq \f(1,6).综合上述：BC与BC边上的高之比是eq \f(2,3)或eq \f(1,6).
第9题图
10．(1)3 60 (2)∵四边形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′＝90°.∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°.在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°， ∠BAB′＝60°，∴n＝eq \f(AB′,AB)＝2. (3)∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′，又∵∠BAC＝36°，∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°∴∠C′AB′＝∠AB′B＝∠BAC＝36°，而∠B＝∠B，∴△ABC∽△B′BA，∴AB2＝CB·B′B＝CB·(BC＋CB′)，而CB′＝AC＝AB＝B′C′， BC＝1, ∴AB2＝1·(1＋AB)，∴AB＝eq \f(1±\r(5),2)，∵AB＞0，∴n＝eq \f(B′C′,BC)＝eq \f(1＋\r(5),2).
11．(1)∵点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，点A的坐标为(1，0)，∴点A经1次斜平移后得到的点的坐标为(2，2)，点A经2次斜平移后得到的点的坐标为(3，4)； (2)①连结CM，如图1：由中心对称可知，AM＝BM，由轴对称可知：BM＝CM，∴AM＝CM＝BM，∴∠MAC＝∠ACM，∠MBC＝∠MCB，∵∠MAC＋∠ACM＋∠MBC＋∠MCB＝180°，∴∠ACM＋∠MCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图2：∵A(1，0)，C(7，6)，∴AF＝CF＝6，∴△ACF是等腰直角三角形，由①得∠ACE＝90°，∴∠AEC＝45°，∴E点坐标为(13，0)，设直线BE的解析式为y＝kx＋b，∵C，E点在直线上，可得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(13k＋b＝0，,7k＋b＝6，))解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝13，))∴y＝－x＋13，∵点B由点A经n次斜平移得到，∴点B(n＋1，2n)，由2n＝－n－1＋13，解得：n＝4，∴B(5，8)．
第11题图
12．(1)抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标为(0，1)； (2)抛物线y＝ax2＋bx过原点，即点A(0，0)，如图，作PG⊥x轴于点G，∵点P的坐标为(1，eq \r(3))，∴AG＝1，PG＝eq \r(3)，PA＝eq \r(AG2＋PG2)＝eq \r(12＋（\r(3)）2)＝2，∵tan∠PAB＝eq \f(PG,AG)＝eq \r(3)，∴∠PAG＝60°，在Rt△PAB中，AB＝eq \f(PA,cs∠PAB)＝eq \f(2,\f(1,2))＝4，∴点B坐标为(4，0)，设y＝ax(x－4)，将点P(1，eq \r(3))代入得：a＝－eq \f(\r(3),3)，∴y＝－eq \f(\r(3),3)x(x－4)＝－eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(4\r(3),3)x； (3)当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为eq \r(3)，则有－eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(4\r(3),3)x＝eq \r(3)，解得：x1＝3，x2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q的坐标为(3，eq \r(3))；当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－eq \r(3)，则有－eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(4\r(3),3)x＝－eq \r(3)，解得：x1＝2＋eq \r(7)，x2＝2－eq \r(7)，∴点Q的坐标为(2＋eq \r(7)，－eq \r(3))或(2－eq \r(7)，－eq \r(3))；综上，满足条件的点Q有3个：(3，eq \r(3))或(2＋eq \r(7)，－eq \r(3))或(2－eq \r(7)，－eq \r(3))．
第12题图
C组
13．(1)如图1所示(画2个即可)．
第13题图
(2)如图2，连结AC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BA，,BD＝AC，))∴Rt△ADB≌Rt△BCA，∴AD＝BC，又∵AB是⊙O的直径，∴AB≠CD，∴四边形ABCD是对等四边形． (3)如图3，点D的位置如图所示：①若CD＝AB，此时点D在D1的位置，CD1＝AB＝13；②若AD＝BC＝11，此时点D在D2、D3的位置，AD2＝AD3＝BC＝11，过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，设BE＝x，∵tan∠PBC＝eq \f(12,5)，∴AE＝eq \f(12,5)x，在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)x))eq \s\up12(2)＝132，解得：x1＝5，x2＝－5(舍去)，∴BE＝5，AE＝12，∴CE＝BC－BE＝6，由四边形AECF为矩形，可得AF＝CE＝6，CF＝AE＝12，在Rt△AFD2中，FD2＝eq \r(ADeq \\al(2,2)－AF2)＝eq \r(112－62)＝eq \r(85)，∴CD2＝CF－FD2＝12－eq \r(85)，CD3＝CF＋FD3＝12＋eq \r(85)，综上所述，CD的长度为13，12－eq \r(85)或12＋eq \r(85).