2022年中考数学二轮复习专题12《相似三角形探究》同步测试（含答案）

这是一份2022年中考数学二轮复习专题12《相似三角形探究》同步测试（含答案），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( B )
A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上但有限 D．有无数
【解析】由题意：直角三角形两条边边长为6和8，则边长为6的只可能为直角边，当边长为8的是直角时，斜边为10，如图①.当8为斜边时，另一条边长为2eq \r(7)，如图②.边长为3，4及x的直角三角形与之相似，也只可能出现两种情况．
二、填空题
2．如图，正方形的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__y＝eq \f(15,2)x(0＜x＜10)__．
【解析】
由题条件易知△EBF∽△ECP，且FB＝eq \f(1,2)CP.∴eq \f(S△EBF,S△ECP)＝(eq \f(BF,CP))2＝(eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4)，∴eq \f(S△EBF,SBCPE)＝eq \f(1,3)，而S△EBF＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)x×10＝eq \f(5,2)x，∴SBCPE＝3S△EBF＝eq \f(15,2)x，即y＝eq \f(15,2)x(0＜x＜10)．
三、解答题
3．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(－2，1)，交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P，A，N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的表达式为y＝eq \f(1,3)x2－eq \f(2,3)x＋1
(2)存在点P，使得以点P，A，N为顶点的三角形与△MAO相似．在Rt△MAO中，AO＝3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN＝3AN，∴－eq \f(1,3)m2－eq \f(2,3)m＋1＝3(m＋3)，即m2＋11m＋24＝0.解得m＝－3(舍去)或m＝－8.又－3②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN＝3AN，∴－eq \f(1,3)m2－eq \f(2,3)m＋1＝3(－m－3)，即m2＋11m＝24＝0.解得m＝－3(舍去)或m＝－8.此时点P的坐标为(－8，－15)
③当点P在第四象限时，若AN＝3PN时，则－3(－eq \f(1,3)m2－eq \f(2,3)m＋1)＝m＋3，即m2＋m－6＝0.解得m＝－3(舍去)或m＝2.当m＝2时，此时点P的坐标为(2，－eq \f(5,3))．若PN＝3NA，则－(－eq \f(1,3)m2－eq \f(2,3)＋1)＝3(m＋3)，即m2－7m－30＝0.解得m＝－3(舍去)或m＝10，此时点P的坐标为(10，－39)．所以，满足条件的点P的坐标为(－8，15)，(2，－eq \f(5,3))，(10，－39)
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为每秒1厘米．
(1)设点Q的运动速度为每秒eq \f(1,2)厘米，运动时间为t秒，当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．
(2)设点Q的运动速度为每秒a厘米，问是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图，当∠1＝∠2时，eq \f(OC,OP)＝eq \f(QA,PA)，∴eq \f(6,t)＝eq \f(\f(1,2)t,10－t)，∴eq \f(1,2)t2＋6t－60＝0，解得t1＝－6＋2eq \r(39)，t2＝－6－2eq \r(39)(舍去)，
当∠1＝∠3时，eq \f(6,t)＝eq \f(10－t,\f(1,2)t)，解得t＝7，因此，当t＝－6＋2eq \r(39)或7时，即当Q点的坐标为(10，－3＋eq \r(39))或(10，eq \f(7,2))时，△COP与PAQ相似
(2)设P，Q运动时间为t秒，则OP＝t，AQ＝at.①当∠1＝∠3＝∠4时，eq \f(OC,OP)＝eq \f(PA,AQ)＝eq \f(BC,BQ)，eq \f(6,t)＝eq \f(10－t,at)＝eq \f(10,6－at)，解得t1＝2，t2＝18(舍去)，此时a＝eq \f(4,3)，Q点的坐标为(10，eq \f(8,3))；②当∠1＝∠3＝∠5时，∠CPQ＝∠CQP＝90°不成立；③当∠1＝∠2＝∠4时，eq \f(OC,OP)＝eq \f(AQ,PA)＝eq \f(BC,BQ)，eq \f(6,t)＝eq \f(at,10－t)＝eq \f(10,6－at)，得5t2－36t＋180＝0，Δ＜0，方程无实数解；④当∠1＝∠2＝∠5时，由图可知∠1＝∠PCB＞∠5，故不存在这样的a值；综上所述，存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似，此时a＝eq \f(4,3)，Q点的坐标为(10，eq \f(8,3))