2022年中考数学二轮复习专题《相似三角形》练习册 (含答案)

这是一份2022年中考数学二轮复习专题《相似三角形》练习册 (含答案)，共14页。试卷主要包含了 下列说法等内容，欢迎下载使用。
1. (2017连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )
第1题图
A. eq \f(BC,DF)＝eq \f(1,2) B. eq \f(∠A的度数,∠D的度数)＝eq \f(1,2)
C. eq \f(△ABC的面积,△DEF的面积)＝eq \f(1,2) D. eq \f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq \f(1,2)
2. (2017重庆B卷)已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 1∶4 B. 4∶1 C. 1∶2 D. 2∶1
3. (2017张家界)如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

第3题图 第4题图
4. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO＝2，DO＝4，BO＝3，则BC的长为( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
5. eq \a\vs4\al(关注数学文化)(2017眉山)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )
A. 1.25尺 B. 57.5尺
C. 6.25尺 D. 56.5尺
第5题图
6. (2017永州)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若
∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第6题图
7. (2017哈尔滨)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是( )
A. eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,EC) B. eq \f(AG,GF)＝eq \f(AE,BD)
C. eq \f(BD,AD)＝eq \f(CE,AE) D. eq \f(AG,AF)＝eq \f(AC,EC)
第7题图
8. (2015株洲)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A. eq \f(1,3) B. eq \f(2,3) C. eq \f(3,4) D. eq \f(4,5)
第8题图
9. 下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一组底角相等的两个等腰三角形相似；③有一组角相等的两个等腰三角形相似；④有一组角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是( )
A. ②④ B. ①③ C. ①②④ D. ②③④
10. (2017泰安)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( )
第10题图
A. 18 B. eq \f(109,5) C. eq \f(96,5) D. eq \f(25,3)
11. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
第11题图
12. 如图，路灯C距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为________米．

第12题图
13. (2017甘肃省卷)如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于________cm.
第13题图
14. (eq \a\vs4\al(源自人教八上56页))如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，BA交EC于点F.已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．
第14题图
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
第15题图
能力提升拓展
1. (2017新疆内高)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则eq \f(DE,BC)等于( )
第1题图
A. 1 B. eq \f(\r(2),2)
C. eq \f(1,2) D. eq \f(1,4)
2. (2017随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
3. (2016舟山)如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是________．
第3题图
4. (2017攀枝花)如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，DB＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则eq \f(CF,CE)＝________．

第4题图
5. (2017杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求eq \f(AF,AG)的值．
第5题答案
基础达标训练
1. D
2. A 【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得△ABC与△DEF的面积比为(1∶2)2＝1∶4.
3. B 【解析】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1∶2，∵△ADE的周长为6，∴△ABC的周长为12.
4. B 【解析】∵AB∥CD，∴eq \f(BO,CO)＝eq \f(AO,DO)，∵AO＝2，DO＝4，BO＝3，∴eq \f(3,CO)＝eq \f(2,4)，解得CO＝6，∴BC＝BO＋CO＝3＋6＝9.
5. B 【解析】设井深x尺，则AD＝(x＋5)尺，∵BC∥DE，∴eq \f(0.4,5)＝eq \f(5,x＋5)，解得x＝57.5，经检验，x＝57.5是原分式方程的解，∴井深57.5尺．
6. C 【解析】∵在△ACD和△ABC中，∠DAC＝∠CAB，∠ACD＝∠ABC，∴△ACD∽△ABC，∴eq \f(S△ABC,S△ADC)＝(eq \f(AC,AD))2＝4，∵S△ADC＝1，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.
7. C 【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，故A错误；∵DE∥BC，∴eq \f(AG,GF)＝eq \f(AE,EC)，故B错误；∵DE∥BC，∴eq \f(BD,AD)＝eq \f(CE,AE)，故C正确；∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴eq \f(AG,AF)＝eq \f(AE,AC)，故D错误．
8. C 【解析】∵AB⊥BD，EF⊥BD，∴△EFD∽△ABD，∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(FD,BD)，同理，eq \f(EF,CD)＝eq \f(BF,BD)，∴eq \f(EF,AB)＋eq \f(EF,CD)＝eq \f(FD,BD)＋eq \f(BF,BD)＝eq \f(FD＋BF,BD)＝1，∵AB＝1，CD＝3，∴eq \f(EF,1)＋eq \f(EF,3)＝1，解得EF＝eq \f(3,4).
9. A 【解析】①中等腰三角形角不确定，所以①错误；②中有一组底角相等即所有角都对应相等，②正确；③中可能是一底角和一顶角相等，所以③错误；④中两组角对应相等，④正确，故选A.
10. B 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD＝AB＝12，AD∥BC，∵AB＝12，BM＝5，由勾股定理得AM＝13，∵AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB，∵∠AME＝∠B＝90°，∴△EAM∽△AMB，∴eq \f(EA,AM)＝eq \f(AM,MB)，即eq \f(DE＋12,13)＝eq \f(13,5)，解得DE＝eq \f(109,5).
11. DF∥AC(答案不唯一) 【解析】∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)，∵∠A为公共角，∴△ADE与△ACB相似，可以将原问题转化为，要使△FDB与△ACB相似，则DF∥AC即可．
12. 5 【解析】根据题意，易得△MBA∽△MCO，∴eq \f(AB,OC)＝eq \f(AM,OM)＝eq \f(AM,OA＋AM)，即eq \f(1.6,8)＝eq \f(AM,20＋AM)，解得AM＝5.则小明的影长为5米．
13. eq \f(15,4) 【解析】如解图①，折痕为MN，在Rt△ABC中，AB＝eq \r(62＋82)＝10，由折叠性质得AM＝BM＝5，∵∠A＝∠A，∠AMN＝∠C＝90°，∴△AMN∽△ACB，∴eq \f(AM,AC)＝eq \f(MN,BC)，∴MN＝eq \f(AM·BC,AC)＝eq \f(5×6,8)＝eq \f(15,4).
图①

图②
第13题解图
一题多解：在Rt△ABC中，AB＝eq \r(62＋82)＝10，如解图②，折痕为MN，连接BN，由折叠性质得∠BMN＝∠AMN＝90°，AN＝BN，AM＝BM＝5，设AN＝BN＝x，则CN＝8－x，在Rt△BMN和Rt△BCN中，由勾股定理得52＋MN2＝x2，62＋(8－x)2＝x2，解得x＝eq \f(25,4)，∴MN＝eq \r(x2－52)＝eq \r(（\f(25,4)）2－52)＝eq \f(15,4).
14. 解：∵AD⊥CE，
∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
在△ACD和△CBE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴CE＝AD＝4，
∴BE＝CD＝CE－DE＝4－1＝3，
∵∠E＝∠ADF，∠BFE＝∠AFD，
∴△BEF∽△ADF，
∴eq \f(BE,AD)＝eq \f(EF,DF)，
设EF＝x，则DF＝1－x，
∴eq \f(3,4)＝eq \f(x,1－x)，解得x＝eq \f(3,7)，
即EF的长为eq \f(3,7).
15. (1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APD＝∠B，
∴∠APD＝∠C，
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∠APC＝∠APD＋∠DPC，
∴∠B＋∠BAP＝∠APD＋∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，
又∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴eq \f(BP,CD)＝eq \f(AB,PC)，
∵AB＝AC，
∴AC·CD＝CP·BP；
(2)解：∵PD∥AB，
∴∠BAP＝∠APD，
∵∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠BAP＝∠C，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABP∽△CBA，
∴eq \f(BP,AB)＝eq \f(AB,BC)，
∵AB＝10，BC＝12，
∴eq \f(BP,10)＝eq \f(10,12)，
∴BP＝eq \f(10×10,12)＝eq \f(25,3).
能力提升拓展
1. B 【解析】∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，∴△ADE与△ABC的面积比为1∶2，∵DE∥BC，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(\r(2),2).
2. eq \f(5,3)或eq \f(12,5) 【解析】先根据题意画出图形，然后分为△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB两种情况：如解图①，∵∠A＝∠A，∴当eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)时，△ADE∽△ABC，∴eq \f(2,6)＝eq \f(AE,5)，解得AE＝eq \f(5,3)；如解图②，∵∠A＝∠A，∴当eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)时，△ADE∽△ACB，∴eq \f(2,5)＝eq \f(AE,6)，解得AE＝eq \f(12,5).
第2题解图
3. 7 【解析】∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF＝9，AB＝12，∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(9,12)＝eq \f(3,4)，∴eq \f(S△CEF,S△CBA)＝eq \f(9,16)，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k，∴S△CDF＝7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴它们的面积比等于底边比，∴eq \f(S△CDF,S△CEF)＝eq \f(DF,EF)＝eq \f(7k,9k)，∴DF＝7.
4. eq \f(5,4) 【解析】由题易知∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴
∠AED＝∠FDB，∴△AED∽△BDF，∴eq \f(ED,DF)＝eq \f(AE,BD)＝eq \f(AD,BF)，∴eq \f(ED,DF)＝eq \f(AE＋ED＋AD,DF＋BF＋DB)，由翻折易知EC＝ED，FC＝FD，∴eq \f(CE,CF)＝eq \f(AE＋EC＋AD,FC＋BF＋BD)，即eq \f(CE,CF)＝eq \f(AC＋AD,BC＋BD)，∵AD＝2，BD＝4，∴AB＝BC＝AC＝6，∴eq \f(CE,CF)＝eq \f(6＋2,6＋4)＝eq \f(4,5)，∴eq \f(CF,CE)＝eq \f(5,4).
5. (1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠C，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC，
∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(3,5)，
又∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC，
∴△AEF∽△ACG，
∴eq \f(AF,AG)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(3,5).