2022年中考数学一轮复习习题精选《课题研究》(含答案)

这是一份2022年中考数学一轮复习习题精选《课题研究》(含答案)，共27页。

1．（燕山地区一模）在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD是AB边的中线，DE⊥BC于E, 连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）．
（1）如果∠A=30°
①如图1，∠DCB= °
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF,连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
( 2 )如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A= （0°<<90°） ，连结DP, 将线段DP绕点逆时针旋转 得到线段DF,连结BF, 请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．
















解：(1) ①∠DCB=60°…………………………………1′

②补全图形
CP=BF …………………………………3′

△ DCP≌△ DBF …………………………………6′

（2）BF-BP=2DEtan…………………………………8′










2．（西城区九年级统一测试）某同学所在年级的名学生参加“志愿”活动，现有以下个志愿服务项目：．纪念馆志愿讲解员．．书香社区图书整理．．学编中国结及义卖．．家风讲解员．．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个个项目的情况，该同学随机对年级中的名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：
收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．


选择各志愿服务项目的人数统计表
志愿服务项目
划记
人数
．纪念馆志愿讲解员
正

．书香社区图书整理


．学编中国结及义卖
正正

．家风讲解员


．校内志愿服务
正

合计





选择各志愿服务项目的人数比例统计图

．纪念馆志愿讲解员
．书香社区图书整理
．学编中国结及义卖
．家风讲解员
．校内志愿服务

分析数据、推断结论：
：抽样的个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填的字母代号）
：请你任选中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目．
解：B项有10人，D项有4人，划记略．……………………………………………… 2分
选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B占25%，D占10%．………………4分
分析数据、推断结论
a. 抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是 C ．………………5分
b. 根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．
A：（人）．
B：（人）．
C：（人）．
D：（人）．
E：（人）．……………………………………………………… 6分
3．（延庆区初三统一练习）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆
上的动点，AB=6cm，设弦AP的长为cm，
△APO的面积为cm2，（当点P与点A或
点B重合时，y的值为0）．
小明根据学习函数的经验，对函数y随
自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整；
（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0.5
1
2
3
3.5
4
5
5.5
5.8
y/cm2
0.8
1.5
2.8
3.9
4.2
m
4.2
3.3
2.3
那么m= ；（保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出
以表中各组对应值为坐标的点，
画出该函数图象．





（3）结合函数图象说明，当△APO的面积是4时，则AP的值约为 ．
（保留一位小数）
解：(1)m= 约4.3 ； ……1分
(2)









（画此函数图象时要体现出x约为4.2时，y有最大值，为4.5）
……4分
(3) 3.1或是5.1 ……6分


4.（市大兴区检测）在平面直角坐标系中，过轴上一点作平行

于轴的直线交某函数图象于点，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线交轴于点（在线段上，不与点重合），则称为点，,的“平横纵直角”.图1为点，,的“平横纵直角”的示意图. 图1
如图2，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象与轴交于点，与轴分别交于点（，0），（12，0）. 若过点F作平行于轴的直线交抛物线于点.







（1）点的横坐标为 ；
图2
（2）已知一直角为点的“平横纵直角”，
若在线段上存在不同的两点、，使相应的点
、都与点重合，试求的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为点，连接与交于点,当时，求的取值范围．
（1）9 ………………………………………………………………… 1分
（2）方法一:
MK⊥MN，
要使线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合，也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点，即．
，
．
又，
． ………………………………………………4分
方法二：
，
点K在x轴的上方．
过N作NW⊥OC于点W，设，，
则 CW＝OC－OW＝3，WM＝．
由△MOK∽△NWM，
得，
∴．
∴．
当时，
，
化为．
当△=0，即，
解得时，
线段OC上有且只有一点M，使相应的点K与点F重合．
，
∴ 线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合时，的取值范围为． …………………………………………………4分

（3）设抛物线的表达式为：(a≠0)，

又抛物线过点F（0，），
．．
．…………5分
过点Q 做QG⊥x轴与FN 交于点R
FN∥x轴
∠QRH=90°
，，
，
又，

当时，可求出，……………………… 6分
当时，可求出． …………………… 7分
的取值范围为． …………………… 8分

5．（东城区一模）给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O
的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.
（1）如图2， ，.在A（1，0），B（1，1），
三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是 ；
（2）如图3， M（0，1），N，点D是线段 MN关于点O的关联点.
①∠MDN的大小为 °；
②在第一象限内有一点E，点E是线段MN关于点O的关联点，
判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；
③点F在直线上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标的取值范围．
解：（1）C； --------------2分
（2）① 60°；
② △MNE是等边三角形，点E的坐标为；--------------5分
③ 直线交 y轴于点K（0，2），交x轴于点.
∴，.
∴.
作OG⊥KT于点G,连接MG.
∵，
∴OM=1.
∴M为OK中点 .
∴ MG =MK=OM=1.
∴∠MGO =∠MOG=30°，OG=.
∴
∵,
∴ .
又，，
∴.
∴.
∴G是线段MN关于点O的关联点.
经验证，点在直线上.
结合图象可知， 当点F在线段GE上时 ，符合题意.
∵，
∴ .--------------8分

6．（平谷区中考统一练习）如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．

小新根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小新的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x（s）
0
1
2
3
4
5
6
7
y（cm）
0
1.0
2.0
3.0
2.7
2.7
m
3.6
经测量m的值是 （保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．

解：（1）3.0； 1
（2）如图所示； 4

（3）如图 5


7. （通州区一模）




答案：



8.（朝阳区第一学期期末检测）如图，直线AM和AN相交于点A，∠MAN＝30°，在射线AN上取一点B，使AB＝6cm，过点B作BC⊥AM于点C，D是线段AB上的一个动点（不与点B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．






（1）确定点B的位置，在线段AB上任取一点D，根据题意，补全图形；
（2）设AD=x cm，CE=y cm，探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.
① 通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
5.2
4.4
3.8
3.5

8.1
（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）
② 建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出
该函数的图象；
③ 结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt△CDE斜边CE上的中线时，AD的长度约为 cm（结果保留一位小数）．

解：（1）如图

.









……………………………………………………………1分
（2）答案不唯一，如：
① ………………………………………………………………………………………2分
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
5.2
4.4
3.8
3.5
4.0
8.1
② 如图.






















………………………………………………………………………5分
③ 5.2. …………………………………………………………………………………7分
9.（大兴第一学期期末）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.
在平面直角坐标系中，设锐角的顶点与坐标原点O重合，的一边与轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点,且点P在第一象限.
（1） =_ __ (用含的式子表示);
=____ _ (用含的式子表示) ;
（2）将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.
①判断
②的取值范围是:_ ___.








答案：（1）cos；……………………………….……………………….1分
;……………………..……………………………………2分
（2）①
；……………….…3分
证明：过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E.





=1
∴△QOE≌△OPF…………………………………………5分

, Q

∵Q在第二象限，P在第一象限
∴>0, <0
∴=…………………………………………………6分
②.……………………………………………8分



10.（大兴第一学期期末）如图，AB = 6cm，∠CAB = 25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，
P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）
小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．








下面是小海的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0.00
0.60
1.00
1.51
2.00
2.75
3.00
3.50
4.00
4.29
4.90
5.50
6.00
y/cm
0.00
0.29
0.47
0.70

1.20
1.27
1.37
1.36
1.30
1.00
0.49
0.00
（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；


（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的值的个数是 .
答案：25. 解：（1）（答案不唯一）……………1分
（2）














…………………………………………………………4分
（3）两个. ………………………………………………………5分
11.（怀柔区第一学期期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F.已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为x cm，CF的长为y cm.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.
下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
2.5
1.1
0
0.9
1.5
1.9
2
1.9

0.9
0
(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)
(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；




































































































































(3)结合画出的函数图象，解决问题: 当BE=CF时，BE的长度约为 cm.
答案：25.
解：(1)1.5……………………………………… ..1分
(2)如图………………………………4分
(3)0.7(0.6~0.8均可以) .………………………….5分






12.（平谷区第一学期期末）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．

小冬根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
1
1.9
2.6
3
m
0
经测量m的值是 （保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）在（2）的条件下，当函数图象与直线相交时（原点除外），∠BAC的度数是 ．
解：（1）m=2.76； 1
（2）如图； 4
（3）如图． 5
∠BAC =30°． 6


13.（顺义区初三上学期期末）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．
（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB= ；

（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF=90°，EF=2DE，求出DF的长；

（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．
答案：27．
（1）AB=；……………………….2分
（2）
解：过点E作横线的垂线，交l1，l2于点
M，N，……………………………..….3分
∴∠DME=∠EDF= 90°，
∵∠DEF=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△DME∽△ENF ，………….…….4分
∴，
∵EF=2DE，
∴，
∵ME=2，EN=3，
∴NF=4，DM=1.5，
根据勾股定理得DE=2.5，EF=5，．……………………….5分
（3）EG=2.5．…………………………………………………………..…….7分
14.（通州区第一学期期末）如图1，在矩形中，点为边中点，点为边中点；点，为边三等分点，，为边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形的面积与图3中四边形的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下

在图2中，小瑞发现， ；
在图3中，小瑞对四边形面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整：
设，
∵
∴，且相似比为，得到
∵
∴，且相似比为，得到
又∵，
∴
∴，，
∴，则（填写“”，“”或“”）
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形对边上的点.则.

答案：


15.（东城区二模）小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.
小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整：
建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为米，篱笆长为米.则关于的函数表达式为 ;
列表（相关数据保留一位小数）：
根据函数的表达式，得到了与的几组值，如下表：

描点、画函数图象：
如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，
根据描出的点画出该函数的图象；
观察分析、得出结论：
根据以上信息可得，当= 时，有最小值.
由此，小强确定篱笆长至少为 米.
答案. 解：；----------------------------------------------1分
； --------------------------------------------------------3分
如图； ----------------------------------------------------------4分
. -----------------------------------------------------------5分

16.（房山区二模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ;
(2) 下表是y与x的几组对应值

x
…
﹣4
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
4
…
y
…








m


…
则m的值为 ；
(3) 如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）观察图象，写出该函数的两条性质 ．
答案. （1）任意实数； …………………………………………………………………………1′
（2）； ………………………………………………………………………………2′
（3）略 ……………………………………………………………………………………4′
（4）答案不唯一 …………………………………………………………………………6′


17.（海淀区二模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：

收费项目
收费标准
3公里以内收费
13元
基本单价
2.3元/公里
……
……
备注：出租车计价段里程精确到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入。
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为（单位：公里），相应的实付车费为（单位：元）.
（1）下表是y随x的变化情况
行驶里程数x
0
0＜x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x＜4.5
4.5≤x＜5
5≤x＜5.5
…
实付车费y
0
13
14
15


…
（2）在平面直角坐标系中，画出当时随变化的函数图象；

（3）一次运营行驶公里（）的平均单价记为（单位：元/公里），其中.
①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是____________；（用“＜”连接）
②若一次运营行驶公里的平均单价不大于行驶任意（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数.请在上图中轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围.

答案（1）
行驶里程数x
0
0＜x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x＜4.5
4.5≤x＜5
5≤x＜5.5
…
实付车费y
0
13
14
15
17
18
…

（2）如图所示：

（3）① ；
②如上图所示.
18、（海淀区二模）在平面直角坐标系中，已知点，，，其中，以点为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，如图所示.
（1）若，则点的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；
（2）是否存在点，使得点在同一条抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.




答案26．解：（1）（-3，3），（1，3），（-3，-1）
（2）不存在. 理由如下：
假设满足条件的C点存在，即A，B，，，在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线即为这条抛物线的对称轴，而，在直线上，则的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）.
由题意得：（-4，n），（0，n），（-2，）.
注意到在抛物线的对称轴上，故为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是.
当时，，代入得.
所以.
令，得，解得，与矛盾.
所以 不存在满足条件的C点.

19.（延庆区八年级第一学区期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有
怎样的数量关系呢？




图1 图2 图3

（1）通过观察、实验提出猜想:∠ACB与∠ABC的数量关系，用等式表示为： ．
（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1:如图2，延长AC到F，使CF=CD，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知
识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
想法2：在AB上取一点E，使AE=AC，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识
进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中∠ACB与∠ABC的数量关系（一种方法即可）.

解：（1）∠ACB=2∠ABC…………1分
（2）想法1
∵ AD是∠BAC的平分线
∴∠ BAC=∠ CAB …………2分
∵AF=AC+CF，且CD=CF
∴AF=AC+CD
又∵AB=AC+CD
∴AB=AF …………3分
又∵AD=AD
∴△ABD≌△AFD …………4分
∴∠B=∠F …………5分
∵CD=CF
∴∠F=∠CDF …………6分
又∵∠ACB＝∠F+∠CDF
∴∠ACB＝2∠F …………7分
∴∠ACB＝2∠B …………8分


解：想法2
∵ AD是∠BAC的平分线
∴∠ BAC=∠ CAB …………2分
又∵AC=AE,AD=AD
∴△AED≌△ACD …………3分
∴ED=CD，∠C＝∠AED …………4分
又∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC
∴CD=BE …………5分
∴DE=BE …………6分
∴∠B=∠EDB …………7分
又∵∠AED＝∠B+∠EDB
∴∠AED＝2∠B
又∵∠C＝∠AED
∴∠C＝2∠B …………8分