广西“韬智杯”2022届高三上学期9月大联考数学（理）试题 含答案

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广西2022 届“韬智杯”高三大联考
理 科 数 学
本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1．已知集合 A = { x Î N | -1 < x < 4} ，集合 B = {x | -2 < x < 3} ，则 A I B = （ ）
A．{0，1，2} B．{1，2}
C．{x | -1< x < 3} D．{x | -2 < x < 4}
2．若 z (1 + i ) = 2i ，则=
A．2 B．
C． D．1
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
4．在△ABC 中，B＝，AB＝2，D 为 AB 中点，△BCD 的面积为，则 AC 等于 （ ）
A．2 B． C． D．
5．已知正项等比数列{an } 中，公比 q > 1 ，前 n 项和为 Sn ，若 a2 ga6 = 64，a3 + a5 = 20，则 S8＝ （ ）
A．127 B．128 C．255 D．256


6．为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内 15 家药店所销售的 A，B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检 10 包口罩（每包 10 只），15 家药店中抽检的 A，B 型号口罩不合格数（Ⅰ，Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不．正．确．的是 （ ）
A．Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差
B．Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数
C．Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数
D．估计 A 型号口罩的合格率小于 B 型号口罩的合格率
7．已知 sin（a + ）＝，则 sin（2a+ ）的值为
A．B．C． - D． -







8．新高考综合改革实施方案将采用“ 3 + 1 + 2 ”模式：“3”为语文、数学、英语所有学生必考；“1”为必 须在物理、历史中选一科；“2”为再选科目，考生须在化学、生物、政治、地理 4 个科目中任选两科．若 不考虑主观因素的影响，选择各科是等可能的，则某同学选择含有地理学科组合的概率为 （ ）
A．B．C． D．



9．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为q1℃，空气温度为q0℃，
则t 分钟后物体的温度q（单位：℃）满足：q = q0 + (q1 - q0 ) e-kt.若常数 k = 0.05 ，空气温度为 30℃，

某物体的温度从 90℃下降到 50℃，大约需要的时间为（参考数据： ln 3 » 1.1 ） （ ）
A．16 分钟 B．18 分钟 C．20 分钟 D．22 分钟
10．已知 F1，F2 是双曲线 (a > 0, b > 0) 的左､右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别
交于点 A，B，若∆ABF2 为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．在三棱锥 A - BCD 中， AB = AD = BC = 3 ，CD = 5 ， BD = 4 ， AC = 3 ，则三棱锥外接球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 y = f (x) 的定义域为 R ， y = f (x +1) 为偶函数，对任意 x1 , x2 ，当 x1 > x2 ≥1时， f (x) 单调
递增，则关于 a 的不等式 f (9a + 1) < f (3a - 5) 的解集为 （ ）
A． (-¥, 1) B． (-¥, log3 2)
C． (log3 2,1) D． (1, + ¥)

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知向量 a = (2, m) ， b = (-1, 2) ，且 a + 2b = 0 ，则 m = .
14．已知曲线 f ( x) = ( x - a)ex 在 x = 1 处的切线方程为 y = 2ex + b ，则 a - b = .
15．已知函数 f (x) = Asin(wx +j) （其中 A > 0 ，w> 0 ，）的部分图像如图所示，则函数的解析式
为 .

第 15 题图 第 16 题图
16．椭圆 C：的上、下顶点分别为 A ， C ，如图，点 B 在椭圆上，平面四边形 ABCD 满足
ÐBAD = ÐBCD = 90o ，且 SDABC = 2SDADC ，则该椭圆的短轴长为 .


三、解答题：本题共 6 小题，第 17～20 题必考，每题 12 分；第 22、23 题为选考题，每题 10 分，考生从 这两题任选一题作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．（本小题满分 12 分）
已知某班的 50 名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：

时间长（小时）
[0, 5)
[5, 10 )
[10, 15)
[15, 20 )
[20,25]
女生人数
4
11
3
2
0
男生人数
3
17
6
3
1
（1）求这 50 名学生本周使用手机的平均时间长；
（2）若时间长为[0，10) 被认定“不依赖手机”，[10，25] 被认定“依赖手机”，根据以上数据完成 2 ´ 2 列 联表：

不依赖手机
依赖手机
总计
女生



男生



总计



能否在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？

P(K 2 ≥ k )
0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


（参考公式： K 2 =， n = a + b + c + d ）


18．（本小题满分 12 分）
已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且 S6 = 36 ， ．
请在① a3 = 5 ；② a2 + a4 + a6 = 21这两个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题．
（1）求数列{an } 的通项公式；
（2）设 bn =，求数列 bn 的前 n 项和 Tn ．





19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ÐABC =， PA ^ 平面 ABCD ，点 M 是
棱 PC 的中点.
（1）证明： PA∥平面 BMD ；
（2）当 PA =时，求直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值．





20．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C∶y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 A，B 两点，三角
形 AOB(点 O 为坐标原点)的面积为 2.
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设不经过原点 O 的直线 l 与抛物线交于 P，Q 两点，设直线 OP，OQ 的倾斜角分别为α和β，证明：
当a+ b = 时，直线 l 恒过定点．







21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x ) = eax - ax （ a Î R 且 a ¹ 0 ）．
（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；
（2）当 < a ≤ 2 时，求证：对任意 x Î ( -1, +¥ ) ， f ( x ) ≥ ( x2 + 1) 恒成立．







（二）选考题：共 10 分，请从第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，那么只能按所做的第一题计分.
22．（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 r= 2 cos
（1）求直线 l 及圆 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点，P 是圆 C 上不同于 A，B 的任意一点，求△PAB 面积的最大值.



23．（本小题满分 10 分）
已知函数 f ( x) =
（1）求不等式 f ( x) ≥ 3 的解集；
（2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且 a + b + c = m ，求 a2+b2+c2 的最小值．