2022年中考数学一轮复习习题精选《探索型问题》(含答案)

这是一份2022年中考数学一轮复习习题精选《探索型问题》(含答案)，共73页。试卷主要包含了如图，△ABC是等边三角形等内容，欢迎下载使用。
1．（燕山地区一模）豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：
日期
4月1日
4月2日
4月3日
4月4日
4月5日
4月6日
步行数(步)
10672
4927
5543
6648


步行距离（公里）
6．8
3．1
3．4
4．3


卡路里消耗（千卡）
157
79
91
127


燃烧脂肪（克）
20
10
12
16



（1）4月5日,4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．
(2)豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论： ．（写一条即可）

（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为__________公里．（直接写出结果，精确到个位）
解：（1）填数据 ……………………….2′
(2)写出一条结论:
……………………….4′
（3）预估她一天步行约为__________公里．（直接写出结果，精确到个位）
………………5′
2．（延庆区初三统一练习）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE
于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC=∠CDF．
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．



备用图

图1



（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB =90°．
∴∠CDF+∠E =90°．
∵BF⊥DE，
∴∠FBC+∠E =90°．
∴∠FBC =∠CDF ．……2分
（2）①

……3分
②猜想：数量关系为：BF=DF+CG．
证明：在BF上取点M使得BM=DF连接CM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC．
∵∠FBC =∠CDF，BM=DF，
∴△BMC≌△DFC．
∴CM=CF，∠1=∠2．
∴△MCF是等腰直角三角形．
∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5分
∵点C与点G关于直线DE对称，
∴CF=GF，∠5=∠6．
∵BF⊥DE，∠4=45°，
∴∠5=45°，
∴∠CFG =90°，
∴∠CFG=∠MCF，
∴CM∥GF．
∵CM=CF，CF=GF，
∴CM=GF，
∴四边形CGFM是平行四边形，
∴CG=MF．
∴BF=DF+CG． ……7分
3．（燕山地区一模）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，下表是y与x的几组对应值．

x
…
－3
－2
－1
－
－


1
2
3
…
y
…


－
－
－



m

…

小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)从表格中读出，当自变量是-2时，函数值是 ；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；







(3)在画出的函数图象上标出x=2时所对应的点，并写出m=
(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：___________ ．
.解：(1)当自变量是-2时，函数值是
…………………………………1′
（2）如图,该函数的图象； (略) …………………………………3′
(3)标出x=2时所对应的点 …………………………………4′
且m= …………………………………5′
(4)写出该函数的性质(一条即可)：_____ ．
…………………………………7′
4．（西城区九年级统一测试）如图，为⊙的直径上的一个动点，点在上，连接，过点作的垂线交⊙于点．已知，．设、两点间的距离为，、两点间的距离为．

某同学根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了与的几组值，如下表：



















（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．





（3）结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度均为__________．
解：（1）
x(cm)
0
1
1.8
2.5
3
3.5
4
5
y (cm)
4.0
4.7
5.0
4.8
4.5
4.1
3.7
3.0
………………………………………………………………………………… 3分
（2）如图5．

图5

………………………………………………………………………… 5分
（3）2.42．…………………………………………………………………………… 6分

5．（西城区九年级统一测试）正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接．
（1）如图，当时，
①依题意补全图．
②用等式表示与之间的数量关系：__________．
（2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明．
（3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值．

解：（1）①补全的图形如图7所示．…………………………………………………………1分
② ∠NCE=2∠BAM．………………………………………………………………2分
（2）当45°”、“2时，y随x的增大而增大等（答案不唯一）. …………………………………4分
（5）3.87…………………………………6分
36.（朝阳区二模）在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺
如图1摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，
60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动
过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？
图1
小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们
之间的关系进行了探究．





下面是小林的探究过程，请补充完整：
（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；
如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，D是线段AB上一动点，射线DE⊥BC于点E，∠EDF= °，射线DF与射线AC交于点F．设B，E两点间的距离为x cm，E，F两点间的距离为y cm．







图2

（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
6.9
5.3
4.0
3.3

4.5
6

（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）

（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的
图象；

















（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为 cm.
答案：解：（1）60 ………………………………………………………………………1分
答案不唯一，如：
（2）
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
6.9
5.3
4.0
3.3
3.5
4.5
6

…………………………………………………………………………………………2分





……………5分
（3）



（4）3.22 ……………………………………………………………………………………6分
37.（房山区二模）已知AC=DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连接CB.
（1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系;
（2）① 如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由；
② 如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系；
（3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD=时，直接写出BC的值.

解：（1）相等或互补；……………………………………………………………………2分
（注：每个1分）
（2）① 猜想：BD+AB=…………………………………………………………3分
如图1，在射线AM上截取AE=BD，连接CE.
又∵∠D=∠EAC，CD=AC
∴△BCD≌△ECA
∴BC=EC,∠BCD=∠ECA
∵AC⊥CD
∴∠ACD=90°
即∠ACB+∠BCD=90°
∴∠ACB+∠ECA=90°
即∠ECB=90°
∴BE=
∵AE+AB=BE=
∴BD+AB= ………………………………………………………4分
② AB－BD=……………………………………………………………5分
（3）BC=或……………………………………………………………7分

38.（丰台区二模）数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大.
下面是探究过程，请补充完整：
（1）设小正方形的边长为x dm，体积为y dm3，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式： ；
（2）确定自变量x的取值范围是 ；
（3）列出y与x的几组对应值.
x/dm
…







1


…
y/dm3
…
1.3
2.2
2.7

3.0
2.8
2.5

1.5
0.9
…
（说明：表格中相关数值保留一位小数）
（4）在下面的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为 dm时，
盒子的体积最大，最大值约为 dm3.

解：
（1） .……1分
（2）00，那么 .
（3） 请你利用上述性质计算：.
（1）81的四次方根；………………… 1分
-32的五次方根 -2. ………………… 2分
（2）log327= 3 ； ………………… 3分
= 8 . ………………… 4分
（3）解：log53+log5
= log53………………… 5分
= log51………………… 6分
=0. ………………… 7分
44．（市门头沟区八年级期末）已知：在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
（1） 如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2） 点P，Q是BC边上两动点（不与B，C重合），点P在点Q左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
① 依题意将图2补全；
② 小明通过观察和实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有. 他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：
（Ⅰ）要想证明，只需证△APM为等腰直角三角形；
（Ⅱ）要想证明△APM为等腰直角三角形，只需证∠PAM=90°，PA=AM；
…
请参考上面的思路，帮助小明证明．


解：（1）∵ △ABC为等腰直角三角形，…………………………………………………1分
∴ ∠B=45°.
∴ ∠APC=∠BAP+∠B=65°.
∵ AP=AQ，
∴ ∠AQB=∠APC=65°. ………………………………………………………2分
（2）① 补全图形，如图所示. ………………………………………………………3分




证明：如图，连接CM.
∵ △ABC为等腰直角三角形，
∴ ∠B=∠ACB，∠BAC =90°.
又∵ AP=AQ，
∴ ∠APQ=∠AQB .
∴ ∠APB=∠AQC .
∴ △APB≌△AQC（AAS）. ………………………………………………4分
∴ ∠1=∠2 .
又∵ 点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，CM ．
∴ △AMC≌△AQC. ………………………………………………………5分
∴ ∠2=∠3，AM=AQ .
∴ ∠1=∠3 .
又∵∠BAC =∠PAC +∠1=90°，∠PAM=∠PAC+∠3，
∴ ∠PAM=∠BAC=90°.………………………………………………………6分
又∵ AP=AQ ，AM=AQ .
∴ AP=AM . ……………………………………………………………………7分
∴ △PAM为等腰直角三角形，
∴ 由勾股定理得………………………………………………8分
45．（市西城区八年级期末）在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．
（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC．他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．
①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：
ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与____________全等，判定它们全等的依据是______________；
ⅱ）由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=_______°；
……
②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．
（2）如图2，若∠ABC=40°，求证：BF=CA．





图2
图1



解：（1）①△BMF，边角边，60； ……………………3分
②证明：如图1．
∵由ⅰ）知△BEF≌△BMF，
∴∠2=∠1．
∵由ⅱ）知∠1=60°，
∴∠2=60°，∠3=∠1=60°．
∴∠4=180°－∠1－∠2=60°．
∴∠3=∠4． ………………………………4分
图1
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠5=∠6．
在△CDF和△CMF中，
∠3=∠4
CF=CF，
∠5=∠6，
∴△CDF≌△CMF．
∴ CD=CM．
∴BE+CD= BM+CM=BC． …………………………………………………5分

（2）证明：作∠ACE的角平分线CN交AB于点N，如图2．
∵∠A=60°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠A－∠ABC=80°．
∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2=∠ABC=20°，
∠3=∠ACE=∠ACB=40°．
图2
∵CN平分∠ACE，
∴∠4=∠ACE =20°．
∴∠1=∠4．
∵∠5=∠2+∠3=60°，
∴∠5=∠A．
∵∠6=∠1+∠5，∠7=∠4+∠A，
∴∠6=∠7．
∴CE=CN．
∵∠EBC=∠3=40°，
∴BE=CE．
∴BE=CN．
在△BEF和△CNA中，
∠5=∠A
∠1=∠4，
BE= CN，
∴△BEF≌△CNA．
∴ BF= CA． …………………………………………………………7分

46.（大兴区八年级第一学期期末） (1) 在等边三角形ABC中，
①如图1，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F,则∠BFE的度
数是 度；
②如图2，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于
点F,此时∠BFE的度数是 度；
（2）如图3，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F,若∠ACB=α，求∠BFE的大小.（用含α的代数式表示）．






26．（延庆区八年级第一学区期末）如图-1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，E在线段AC
上，连接AD，BE的延长线交AD于F.
（1）猜想线段BE，AD的数量关系和位置关系：________________________（不必证明）；
（2）当点E为△ABC内部一点时，使点D和点E分别在AC的两侧，其它条件不变．
① 请你在图-2中补全图形；
②（1）中结论成立吗？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由．







解：（1） BE=AD ；BE⊥AD ………………………2分
（2）①如图
………3分




② （1）中结论仍然成立。………………………………4分
证明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°
∴BC=AC，EC=DC
∵∠ACB=∠DCE=90°
∴∠ACB=∠DCE
∴∠BCE=∠ACD ……………………5分
在△BCE和△ACD中
BC=AC
∠BCE=∠ACD
EC=DC
∴△BCE≌△ACD（SAS） ……………………………6分
∴ BE=AD ……………………………………………7分
∠1=∠2
∵∠3=∠4
∴∠AFB=∠ACB=90°……………… 8分
∴BE⊥AD
47. （西城区二模）如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α
（0°＜α＜60°且α≠30°）.
（1）当0°＜α＜30°时，
①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；
②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；
（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.






图1 备用图







解：（1）当0°＜α＜30°时，
①画出的图形如图9所示．…………… 1分
∵ △ABC为等边三角形，
图9
∴ ∠ABC=60°．
∵ CD为等边三角形的中线，
Q为线段CD上的点，
由等边三角形的对称性得QA=QB．
∵ ∠DAQ=α，
∴ ∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵ 线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，
∴ QE = QA．
∴ QB=QE．
可得 ．……… 2分
②．……………………………………………………… 3分
证法一：如图10，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．
∵ ∠BQE=60°+2α，点E在BC上，
∴ ∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．
∵ 点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，
∴ ∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．
∴ ∠QAF=∠QEC．
又∵ AF =CE，QA=QE，
∴ △QAF≌△QEC．
图10
∴ QF=QC．
∵ QH⊥AC于点H，
∴ FH=CH，CF=2CH．
∵ 在等边三角形ABC中，CD为中线，
点Q在CD上，
∴ ∠ACQ==30°，
即△QCF为底角为30°的等腰三角形．
∴ ．
∴ ．
即． ………………………………………… 6分
思路二：如图11，延长CB到点G，使得BG=CE，连接QG，可得
△QBG≌△QEC，△QCG为底角为30°的等腰三角形，与证法一
同理可得．

图11 图12

（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分