重庆市第八中学2022届高三上学期9月高考适应性月考卷（一）数学试题 含答案

重庆市第八中学2022届高考适应性月考卷(一)

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若全集，2，3，4，5，，集合，3，，3，，，则=

A． B．， C．， D．，

2．已知命题，，则命题为

A．， B．， 

C．， D．，

3．若，则

A． B． C． D．

4．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，已知“牛郎星”的星等是，“心宿二”的星等是，“牛郎星”的亮度是“心宿二”的倍，则与最接近的是当较小时，          

A. B. C. D.

5． 函数的图象大致是

A．                 B． 

C．                 D．

6．定义在上的偶函数满足，且时，，则

A． B． C．1 D．

7．在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为

A．9米 B．27米 

C．米 D．米

8．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为

A．， B．， C．， D．，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数，以下对该函数的说法正确的是

A．最小正周期为                            B．在上单调递增 

C．为一条对称轴                        D．点为一个对称中心

10．若函数f(x)在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记．若在D上恒成立，则称f(x)在D上为凹函数．以下四个函数在是凸函数的是

A．                               B．
C．                               D．  

11．已知非零向量，，下列说法中正确的是

A. 若，则与共线且反向         B. 若，则
C. 若，则与的夹角为       D. 若，则的最大值为

12．已知函数，，则下列命题正确的是

A. 函数，当时，有最小值

B. 函数在区间上单调递减

C. 若函数有两个极值点，则实数

D. 若不等式，对于任意的恒成立，则的最大值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．

13. 已知，，则“”是“”的 　　　　　　条件.

14．已知函数的图象在点处的切线方程是，则　　　　　　．

15．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则　　　　．

16．定义非零向量之间的一种运算“”，记，（其中θ是非零向量，的夹角），若，均为单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值为　　　　　　　　 ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知是等差数列的前项和，若， .

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

18．（本小题满分12分）

的内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）设为边的中点，若且，求的值．

19．（本小题满分12分）

消费者物价指数（CPI）是反映与居民生活有关的消费品及服务价格水平的变动情况的重要宏观经济指标. CPI涵盖全国城乡居民生活消费的食品、烟酒及用品、衣着、家庭设备用品及维修服务、医疗保健和个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住等八大类的商品与服务价格. CPI增幅的计算方法是：（一组固定商品按今年价格计算的价值除以一组固定商品按去年价格计算的价值再减去1）.当CPI增幅大于时称为通货膨胀.我国1981年到2020年（40年）通货膨胀的年数为12年.图1是CPI增幅的频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图估计我国1981年到2020年间发生通货膨胀的年数，并解释估计值与实际值不一样的原因；

（2）某研究员为了研究我国1981年到2020年居住的价值增幅大于是否是造成通货膨胀的显著因素，绘制了如下列联表：

已知，，判断是否有的把握认为居住的价值增幅大于与发生通货膨胀有关？

,．

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体中，，，点在棱上移动．

（1）证明：；                                                                                        

（2）当时，求二面角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

与椭圆（，且）相关的两条直线称为椭圆的准线，拥有丰富的几何性质. 已知直线是位于椭圆右侧的一条准线，椭圆上的点到的距离的最大值为，最小值为.

（1）求椭圆的标准方程及直线的方程；

（2）设椭圆的左右两个顶点分别为，，为直线上的动点，且不在轴上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值.

22．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若，求的取值范围.

重庆市第八中学2022届高考适应性月考卷（一）

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

【解析】

1．选D．

2．命题，，则命题为：，，故选B．

3．∵，∴，可得，∴，故选A．

4．设“牛郎星”的星等是，“心宿二”的星等是，“牛郎星”的亮度是，“心宿二”的亮度是，则，，，因为两颗星的星等与亮度满足，∴，即，∴

     ，∴与最接近的是，故选C．

5．根据题意，函数，其定义域为且，有

      ，函数为奇函数，排除B，D，在区间上，，，则，排除，故选A．

6．根据题意，为定义在上的偶函数，则；满足

     ，则，所以，故是的一个周期，所以

    ，而，则，所以，故，故选D．

7．如图1所示，依题意可知，   

     ，

     ∴，

      由正弦定理可知，∴米，∴在中，米，故选B．

8．不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，则等价于在上恒成立．令，，当时，，所以单调递减，所以，所以，所以只需在上单调递减，即，恒成立，即．又因为，所以，即实数的取值范围是，，故选B．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

【解析】

9．由题意可得，故正确；令，，解得，，∴当时，的单调递增区间为，故错误；又因为，故错误，正确，故选AD．

10．对：，，，当时，，故为凸函数；对：，，，当时，，故为凸函数；对：，，，当时，，故为凸函数；对：，，，当时，，故不是凸函数，故选ABC．

11．对于：对非零向量，，由，当且仅当与共线且反向时取等号，可知正确；对于：∵，∴，化简得，故正确； 对于：如图所示，，，且，以线段，为邻边作菱形，则，，又因为，即，所以，，所以与的夹角为，故C错误；对于：∵，∴，解得或（舍），所以，当时，取得最大值，故正确，故选ABD．

12．由题意，， ，∴，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以，故A，B正确；对于C：有两个极值点等价于有两个零点，即有两个不等实根，即．，当时，单调递增；当时，，单调递减，所以．又因为当时，，当时，，所以，即故C错误；对于D：．

         法一：有，当且仅当时取等号，所以，故D正确．

         法二：，令，则，令，即，解得．又因为在上恒成立，所以在上单调递增，所以，当时，，则，所以单调递减，当时，，则，所以单调递增，所以，所以，故D正确，故选ABD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．当时，有，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．

14．由题意得，，所以．

15．根据函数，，的部分图象，可得．，可得．又因为，所以，，解得，，已知，则令，可得，所以，所以．

16．∵（其中是非零向量，的夹角），，均为单位向量，且，∴，∴，∴，

       ，∴

      ．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

        解：（1）设等差数列的首项为，公差为，

由题意得：．

       ………………………………………………………………………………………（5分）

      （2）由（1）知，

．

     ………………………………………………………………………………………（10分）

18．（本小题满分12分）

        解：（1）由正弦定理可得：．

又在三角形中，，

∴，………………（3分）

∴．

又在三角形中，，∴，∴． …………………（5分）

∵，∴． ……………………………………………………………（6分）

      （2）法一：如图3，倍长中线至，连接，

在中，，，．

由余弦定理得：，

又，∴．…………………………………………………………………（12分）

法二：设，

在中，；

在中，；

在中，；

联立可得．   ……………………………………………………………………（12分）

法三：将中线向量平方可得．

19．（本小题满分12分）

解：（1）根据频率分布直方图可知，CPI增幅大于的频率为，

估计我国1981年到2020年（40年）间发生通货膨胀的年数为11年．

因为在绘制频率分布直方图时，数据信息被压缩了．（在区间里．）

           ……………………………………………………………………………………（5分）

      （2）根据，，，得到列联表：

则，

由于，故有的把握认为居住的价值增幅大于与发生通货膨胀有关．

         ……………………………………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

      （1）证明：解法一：由题意易知平面，

因为平面，所以．

又因为，，

∴平面．

又因为平面，所以．………………………………………（5分）

解法二：分别以，，为，，轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以．

设，

所以，，∴．  

       ………………………………………………………………………………………（5分）

      （2）解：由题意易知：，所以，，

∵，故，

所以．  ……………………………………………………………………（7分）

设平面的法向量是，

设平面的法向量是，

因为，，，

由，，得．

由，，得，  …………………………………（9分）

所以，

故二面角的正弦值．……………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

      （1）解：由题知

由知，，

所以椭圆C的标准方程为，直线的方程为．  …………………（4分）

（2）证明：题意可知，，，为直线上一点．

设，，直线的方程为，直线的方程为，

联立方程组可得，

可得，

所以，故．  ……………………………………（6分）

同理可得， ………………………………………………………（8分）

故直线的方程为，   ………………（9分）

化简得，即，

故直线过定点．   …………………………………………………………（11分）

     （若没有化简直线方程但得到定点判10分，若学生先猜到过定点回代检验的，视是否化简判分，没有化简结果判10分）．

所以的周长为定值8．

当时，是椭圆的通径，经过焦点，此时的周长为定值，

综上可得，的周长为定值8．………………………………………………（12分）

法二：如图5，同法一得到，

 ， …………………………………………………………………（8分）

取，，，

，所以三点共线，

所以直线恒过   ……………………………………………………………（11分）

余下同法一．

22．（本小题满分12分）

解：（1）由题，

令，则，令，则有，

从而在上递减，在上递增，故，

从而，故在上递增，在上递减，

在处取极大值，无极小值．……………………………………（5分）

（2）法一：由（1）可知，当时，只需，则，

而，无解，舍去．

当时，由（1）可知，

又当时，有．

又由（1）可知，，从而，

则时，则．

故存在有，则有，

故在上递增，上递减，上递增，上递减，

要使，只需，将代入有：

，解得，

对同理可得，故的取值范围为．  ……………………………（12分）

法二：，令，

则，令，则，

则在上递减，在上递增，故，

而，，

故存在有，则有

从而故在上递减，上递增，上递减，上递增，

则．

又，故． ……………………………………………（12分）

法三：，

令，从而只需，，

令则，由递减，则在上递增，在上递减，

当，即时，在上递增，只需，

则，而，无解，舍去；

当，即时，在上递增，在上递减，

只需，解得，

综上，的取值范围为．………………………………………………（12分）

法四：由，则必有，从而有．

下证其充分性，

当时，，

令，下证令，

由于，令则，由递减，

则在上递增，在上递减，故，证毕．

         ……………………………………………………………………………………（12分）