专题06 函数的图象（原卷版）

专题06  函数的图象

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高考对函数图象的考查，主要有作图、识图、用图，考查数形结合思想的应用.命题形式有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、方程问题、不等式问题等，常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质等．常常与导数结合考查.

（一）基础知识

1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

2、做草图需要注意的信息点：

   做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：

（1）一次函数：,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线.

特点：两点确定一条直线.

信息点：与坐标轴的交点.

（2）二次函数：，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确.

特点：对称性

信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点.

（3）反比例函数：,其定义域为，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线.

特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线.

信息点：渐近线

注：

（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，轴是渐近线，那么当，曲线无限向轴接近，但不相交，则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。

（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若（或）时，常数，则称直线为函数的水平渐近线

例如： 当时，，故在轴正方向不存在渐近线

             当时，，故在轴负方向存在渐近线

（3）竖直渐近线的判定：首先在处无定义，且当时，（或），那么称为的竖直渐近线

例如：在处无定义，当时，，所以为的一条渐近线.

综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线.

2、函数图象变换：设函数，其它参数均为正数

（1）平移变换：

：的图象向左平移个单位

：的图象向右平移个单位

：的图象向上平移个单位

：的图象向下平移个单位

（2）对称变换：

：与的图象关于轴对称

：与的图象关于轴对称

：与的图象关于原点对称

（3）伸缩变换：

：图象纵坐标不变，横坐标变为原来的

：图象横坐标不变，纵坐标变为原来的

（4）翻折变换：

：即正半轴的图象不变，负半轴的原图象不要，换上与正半轴图象关于轴对称的图象

：即轴上方的图象不变，下方的图象沿轴对称的翻上去.

（二） 方法与技巧：

1、在处理有关判断正确图象的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：

（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图象位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间

（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分

（3）极值点

（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察

（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分.

2、利用图象变换作图的步骤：

（1）寻找到模板函数（以此函数作为基础进行图象变换）

（2）找到所求函数与的联系

（3）根据联系制定变换策略，对图象进行变换.

3、如何制定图象变换的策略

（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：

① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换

② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：

① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求

② 横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化

例如：可有两种方案

方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即

方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位

③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行

例如：有两种方案

方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即

方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）

4、变换作图的技巧：

（1）图象变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图象的精确性

（2）图象变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等

【经典例题】

例1.【2020年高考天津卷3】函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

例2.【2020年高考全国Ⅰ卷文理数7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为 （   ）

A．                B．                C．                D．

例3.【2020年高考浙江卷4】函数在区间的图像大致为 （   ）

A．                B．                C．                D．

例4.【2020年高考山东卷10】右图是函数的部分图像，则 （   ）

A．         B．         C．         D．

例5．（2020·安徽省定远中学高三三模）已知函数，则的大致图象为

A． B．

C． D．

例6．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是

A． B．

C． D．

例7．（2020·陕西新城·西安中学高三三模）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

例8．（2020·贵州六盘水·高三三模）已知定义在上的奇函数满足 ，当时， ，则函数 在区间上所有零点之和为(    )

A． B． C． D．

【精选精练】

1．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）函数的图象不可能是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020·浙江杭州·高三三模）函数（其中为自然对数的底数）的图象可能是（    ）

A．     B． 

C．                     D．

3．（2020·辽宁高三三模）已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·陕西西安·高三三模）定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（2020·陕西西安·高三三模）函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2020·河南南阳·高三三模）已知函数，将此函数图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（    ）

①绕着x轴上一点旋转；②以x轴为轴，作轴对称；

③沿x轴正方向平移；④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④

7．（2020·河北新华·石家庄二中高三三模）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

8．（2020·浙江省富阳中学高三三模）函数的图象不可能是(    )

A． B．

C． D．

9．（2020·天津北辰·高三三模）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．（2020·梅河口市第五中学高三三模）已知如下六个函数：，，，，，，从中选出两个函数记为和，若的图像如图所示，则（     ）

A．

B．

C．

D．

11．（2020·安徽池州·高三三模）函数的部分图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

12．（2020·山东聊城·高三三模）函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．