专题05 函数对称性、周期性的应用（解析版）

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高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.
（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）
（2）关于轴对称
在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：
若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.
2、中心对称的等价描述：
（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）
（2）关于中心对称
在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：
若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有
② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
（二）函数的周期性
1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等
3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数
5、函数周期性的判定：
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.
【经典例题】
例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数，则（ ）
A．的最小值为 B．的图像关于轴对称
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于直线对称
【答案】D
【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C，D．
【解析】可以为负，所以A错；关于原点对称；
故B错；关于直线对称，故C错，D对，故选：D．
【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．
例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为定义域为的函数的图像关于原点对称，所以，
因为，，两式相减可得，，故，故；
因为，故所求切线方程为，
故选：B．
例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.则方程根的个数为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】D
【解析】对任意，恒成立,
故，又为偶函数，
所以，
，
且当时，
，
设，
则为偶函数，
求方程根的个数转化为求与的交点个数，
画出当时与的图像，如图：
可知两图像有8个交点，又与都为偶函数，
所以与有16个交点，
即方程根的个数为16.故选：D.
例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知：
与的图像
在的交点至少有3对，可知，
如图所示，
当时，，则
故实数a的取值范围为故选：A
例5．（2020·启航中学三模）已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵函数的图象关于对称，
∴函数的图象关于对称，令，
∴，即，∴ …⑴
令，∵其图象关于直线对称，∴，
即，∴ …⑵
由⑴⑵得，，∴ …⑶
∴，
由⑵得,∴；∴A对；
由⑶，得，即，∴B对；
由⑴得，，又，
∴，∴C对；
若，则，∴，
由⑶得，又，∴，即，与题意矛盾，∴D错.故选：D.
例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则( )
A．0B．6C．12D．18
【答案】D
【解析】，由此的图像关于点中心对称，是奇函数，由此，所以关于点中心对称，，，所以
，故选D
例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集上的函数满足，且当时，是增函数，则，，的大小关系正确的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，关于对称，
又时，是增函数，，，
.故选：C.
例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，，现有下列结论，其中正确的是：（ ）
①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③在区间上是减函数；④在区间内有8个零点.
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解析】由，得，
结合为偶函数，得，
则曲线关于直线对称，则①正确；
无法推出，则②不一定正确；
由曲线可得曲线，
即得曲线，恰好是在一个周期内的图象；
再根据是以2为周期的函数，得到曲线，
因为在在上是减函数，在上是减函数，则③正确；
因为在上是减函数，，，
所以在上有唯一的一个零点，
根据对称性，在区间内有8个零点.故选：C.
例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设为上的奇函数，满足，且当时，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由得：关于对称
又为上的奇函数 是以为周期的周期函数
且
，故选：
例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为的奇函数满足，且当时，.则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】是奇函数且满足，
，
，
是以3为周期的函数，且，
.
故选：B.
【精选精练】
1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】已知定义域为的奇函数满足，
，的周期为3.
时，，
,
故选D．
2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在上的函数满足，，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得函数的周期是.
由，则在上是奇函数，
且当时，，
，
所以
.故选：B
3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数满足和，且在时，，则关于的方程在上解的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】由题意可得，函数为偶函数，且是周期为2的周期函数．
方程在，上解的个数，
即函数的图象与函数的图象在，上的交点个数，
再根据当，时，，
设.
因为，
数形结合可得，函数的图象与函数的图象在，内存在两个交点，
画出函数在，上的图象，如图，
故函数的图象与函数的图象在，上的交点个数为5.
（在内有2个，在有1个，在有2个），故选：D．
4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在上的函数满足时，，则（ ）
A．6B．4
C．2D．0
【答案】D
【解析】根据题意，函数满足，则，
即是周期为4的周期函数，
当时，，则，，
又由，则，
所以，
所以．故选：D．
5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，，
当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
，，又，函数关于对称，且是偶函数，所以，所以，
所以函数周期，关于的不等式在上有且只有150个整数解，即在上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：.
故选：B.
6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵f（x）是奇函数；
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）；∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
∴f（x）的周期为4；∴f（2018）=f（2+4×504）=f（2）=f（0），, ∵x∈[0，1]时，f（x）=2x-csx单调递增；∴f(0)＜ ＜ ∴,故选C.
7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，，所以函数的图象如图所示.
再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．
8．（2020·全国高三三模）已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】：∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）-f（x1）]（x2-x1）＜0恒成立，
∴ ，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，
又∵函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴a=f（）=f(),∵e>>2>1, ∴f(e)即b>a>c,故选：C.
9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数的图象关于点对称，当时，，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的图象关于点对称且在上单调递增，所以在上单调递增，所以对称轴，即.故选：C
10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程的曲线有下列说法：
①该曲线关于对称；
②该曲线关于点对称；
③该曲线不经过第三象限；
④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.
其中正确的是（ ）
A．②③B．①④C．②④D．①③
【答案】D
【解析】因为曲线方程为，而恒成立，
故等价于.
①因为，故该曲线关于对称；
②要该曲线关于对称，则需满足，
而由①中所求，显然不是常数，故该曲线不关于对称；
③当时，，且，则恒成立，
故该曲线不经过第三象限；
④容易知，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点.
事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：
，
则容易知该曲线的各种性质.
故选：D.
11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】C
【解析】由，得的图象关于y轴对称.
由，得的图象关于直线对称.
当时，，所以在上的图象如图.
令，得，
两函数与的图象在上的交点有5个.
故选：C.
12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵函数满足，∴=，
∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），
又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），
又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，
且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）
即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5），故选B．
13．（2020·福建高三三模）已知定义在上的函数的对称中心为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意知图象关于点对称，
作出图象如图，可知在上为减函数，
由图象可得时，，
由或(舍去)，
由图象可知的解为，故选：D.
14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数（）满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数（）满足，
即函数（）满足，
所以是关于点对称，
函数等价于，
所以函数也关于点对称，
所以函数与图像的交点为，，…，也关于点对称，
故交点，，…，成对出现，且每一对点都关于对称，
故.
故选：C.