2022年中考数学总复习第28讲《图形的相似(2)相似形的应用》讲解(含答案) 学案

这是一份2022年中考数学总复习第28讲《图形的相似(2)相似形的应用》讲解(含答案) 学案，共11页。学案主要包含了解后感悟，实际应用题，方法与对策，考题体验，知识引擎，例题精析，变式拓展，热点题型等内容，欢迎下载使用。
第2课时　相似形的应用相似形的应用考试内容考试要求几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等b相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；(2)测量底部可以达到的物体的高度；(3)测量底部不可以达到的物体的高度；(4)测量不可以达到的河的宽度．考试内容考试要求基本思想1.建模思想：相似三角形在实际生活中应用广泛，故建立相似三角形模型解决问题；2．分类讨论：由于三角形相似的对应关系不明确，常常分情况讨论．b1．(·绍兴模拟)如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是____________________m.2．(·衢州模拟)如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.1米，BP＝1.9米，PD＝19米，那么该古城墙CD的高度是____________________米．3．(·新昌模拟)如图1，小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架，如图2是晒衣架的侧面示意图，经测量：OC＝OD＝126cm，OA＝OB＝56cm，且AB＝32cm，则此时C，D两点间的距离是____________________cm.4．(·湖州模拟)如图，AB是斜靠在墙壁上的固定爬梯，梯脚B到墙脚C的距离为1.6m，梯上一点D到墙面的距离为1.4m，BD长0.5m，则梯子的长为(　　)A．3.5m　       B．4m        C．4.5m　　      D．5m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【问题】如图，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.(1)若AB∥CD，则BC的长为________；(2)当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？(3)通过(1)、(2)解答的体验，你认为相似三角形的应用要注意哪些问题？   【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理相似三角形在实际问题中的应用，即如何建立相似三角形模型；复习几何图形中如何寻找相似三角形或构建相似三角形，从而解决问题．类型一　利用相似解决实际生活问题　如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m.当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高(　　)　　A．2m　        B．4m       C．4.5m      D．8m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【解后感悟】此题是相似三角形在实际生活中的运用，通过实际问题构建相似三角形．1．(·新疆)如图，李明打网球，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为　　　　　　　　m.2．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．　　　 　　　   类型二　利用相似测量物体的高(长)度　如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于(　　)A．60m                 B．40m             C．30m              D．20m    【解后感悟】考查相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．3．(1)(·吉林)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝14cm，则楼高CD为　　　　　　　　m.(2)      (·天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是　　　　　　　　米．4．如图是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整地拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？　　　　　　类型三　相似三角形中一个常见的模型　如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝∠C＝60°，P为BC边上一点(不与B，C重合)，过点P作∠APE＝∠B，PE交CD于E.(1)求证：△APB∽△PEC；(2)若CE＝3，求BP的长． 　　　　　　 【解后感悟】如图是基本图形，若B，C，D在同一直线上，且∠ABC＝∠ACE＝∠CDE＝α，则有△ABC∽△CDE，∴＝；此题通过基本图形与四边形、相似三角形以及等边三角形的结合，揭示基本数量关系，利用方程思想求解．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．5．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．　　　 　　　　　类型四　与相似三角形有关的综合问题　(·金华)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为(　　)【解后感悟】本题运用相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．　(·陕西)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连结AF并延长交BC的延长线于点G.求证：(1)FC＝FG；(2)AB2＝BC·BG.    【解后感悟】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题(2)的关键．6．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°.动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°.设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为(　　)(2)如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间t为　　　　　　　　s.7．(·杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于____________________．【实际应用题】某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？     【方法与对策】这是实际应用性问题，通过题意，构造几何图形，揭示基本图形是相似三角形，这样把实际问题建模为相似三角形的问题，从而求解．这种设置是中考命题的方向．【忽视三角形相似的对应关系】如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________.        参考答案第2课时　相似形的应用【考题体验】1．1　2.11　3.72　4.B【知识引擎】【解析】(1)∵AB∥CD，∵∠BAC＝∠ACD，又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△CAD，∴＝.在Rt△ADC中，∵AC＝，AD＝2，∴CD＝＝.∴BC＝＝2.  (2)要使这两个直角三角形相似，有＝或＝，∴AB＝＝＝3，或AB＝＝＝3.故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．　(3)证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等问题时，要想到相似三角形的应用；投影、平行线、标杆等问题以及测量物体的高度、宽度都需要构建相似三角形．当相似三角形对应边不明确时，需要分类讨论．【例题精析】例1　设长臂端点升高x米，则＝，∴x＝4.故选B.　例2　B　例3　(1)∵∠B＝∠C，而∠APB＋∠EPC＝180°－∠APE，∠APB＋∠PAB＝180°－∠B，又∠APE＝∠B，∴∠PAB＝∠EPC，∴△APB∽△PEC.　(2)过A作AF⊥BC于F，过D作DH⊥BC于H则△ABF≌△DCH，∵AD＝3，BC＝7，∴BF＝CH＝2，在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，AB＝＝＝＝4，∵△APB∽△PEC，∴＝，∴＝，∴BP＝3或4.　例4　∵DH垂直平分AC，∴DA＝DC，AH＝HC＝2，∴∠DAC＝∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DAH＝∠BAC，∵∠DHA＝∠B＝90°，∴△DAH∽△CAB，∴＝，∴＝，∴y＝，∵AB＜AC，∴x＜4，∴图象是D.故选D.例5　(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠DCB＝90°，∴∠DCB＝∠G，∵∠DCB＝∠GCF，∴∠GCF＝∠G，∴FC＝FG；　(2)连结AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB＝∠CAB，∵∠DCB＝∠G，∴∠CAB＝∠G，∵∠CBA＝∠GBA＝90°，∴△ABC∽△GBA，∴＝，∴AB2＝BC·BG.【变式拓展】1．1.4　2.梯形ABCD中AD∥BC，∴∠DAM＝∠BCM，∠ADM＝∠CBM，∴△DAM∽△BCM，∵AD＝10，BC＝20∴＝()2＝，∵S△AMD＝500÷10＝50m2，∴S△BMC＝4×50＝200m2.还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500元＜2000元，所以资金不够用．　      (1)12　(2)8　      根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴＝.(1)∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，∴＝，解得：LD＝7，∴拍摄点距离景物7米；　(2)拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，∴＝，解得：LC＝70，∴相机的焦距应调整为70mm.　      ∵四边形ABCD是矩形，AB＝6.∴∠A＝∠D＝90°，DC＝AB＝6.又∵AE＝9，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝3.∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝.∴EF＝＝.　6.(1)A　      (2)3或4.8　7.78【热点题型】【分析与解】根据题意∠BAD＝∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形△BAD和△BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．由题意得，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△BCE，∴＝，即＝，解得BD＝13.6米．答：河宽BD是13.6米．【错误警示】答案：2或4.5.　分情况讨论，①当△ABC∽△AEF时，＝，∴＝，∴AF＝2；②当△ABC∽△AFE时，＝，∴＝，∴AF＝4.5.