专题42 点、线、面的位置关系（原卷版）学案

专题42  点、线、面的位置关系

【热点聚焦与扩展】

平面的基本性质、点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，关于平行关系、垂直关系的证明，多是解答题的一问．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，因此，要加强基本判定定理、性质定理的理解与记忆.本专题通过例题说明点、直线、平面之间的位置关系问题求解方法,为解答更为复杂的问题提供坚实基础.

（一）直线与直线位置关系：

1、线线平行的判定

（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行

（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行

（3）面面平行性质：

2、线线垂直的判定

（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直

直线与平面位置关系：

（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直

（二）直线与平面的位置关系

1、线面平行判定定理：

（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则

（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行

2、线面垂直的判定：

（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则

（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直

（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直

（三）平面与平面的位置关系

1、平面与平面平行的判定：

（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行

（2）平行于同一个平面的两个平面平行

2、平面与平面垂直的判定

如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直

（四）利用空间向量判断线面位置关系

1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量

                             平面：法向量

2、向量关系与线面关系的转化：(下面两个专题专门探讨“空间向量方法”)

设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其中在外）

（1）∥∥

（2）

（3）∥

（4）

（5）

（6）

3、有关向量关系的结论

（1）若，则   平行+平行→平行

（2）若，则  平行+垂直→垂直

（3）若，则的位置关系不定.

4、如何用向量判断位置关系命题真假

（1）条件中的线面关系翻译成向量关系

（2）确定由条件能否得到结论

（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假

【经典例题】

例1．【2020年高考浙江卷6】已知空间中不过同一点的三条直线，则“在同一平面”是“两两相交”的 （   ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

例2．【2020年高考上海卷15】在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平行的直线相交的面是（    ）

A．     B．   C．    D．

例3．（2020·云南师大附中高三三模）在正四面体中，，分别为，的中点，则下列命题不正确的是（    ）

A． B．

C．与所成角为 D．与所成角为

例4．（2020·江苏南通·高三三模）当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（   ）

A． B． C． D．

例5．（2020·河南高三三模）如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

例6．（2020·全国高三三模）如下图，梯形中，∥,,, ,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题：

①；②三棱锥的体积为；③平面；

④平面平面.其中正确命题的序号是（  ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

例7．（2020·辽宁辽阳·高三三模）在正方体中，点，分别是线段，的中点，以下结论：①直线与直线是异面直线；②直线与平面无公共点；③直线平面；④直线平面．其中正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例8．（2020·浙江高三三模）如图，在正方体中，点是棱的中点，（非端点）是棱上的动点．过点作截面四边形交棱于（非端点）．设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为，则（    ）

A． B．

C． D．

【精选精练】

1．（2020·四川达州·三模）如图，S是圆锥的顶点，是底面圆的直径，，M是线段上的点（不与端点A，S重合），N是底面圆周上的动点，则直线与不能（    ）

A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直

2．（2020·广东汕头·高三三模）在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（    ）

①若直线，平面，则.

②若平面平面，平面平面，，则.

③有3个角是直角的四边形是矩形.

④若平面平面，平面，平面，且，则.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．（2020·肥东县综合高中高三三模）如图，已知P是矩形所在平面外一点，平面，E、F分别是，的中点.若，则与平面所成角的大小是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·内蒙古呼和浩特·高三三模）如图，已知正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·浙江高三三模）已知矩形满足，将沿对角线AC向上翻折形成三棱锥，使得顶点的射影落在内，记与平面所成角的平面角为，与平面所成角的平面角为，二面角的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·浙江高三三模）如图，在正四面体（所有棱长均相等）中，平面分别交于点，其中分别为棱的中点，不是棱的中点，则（    ）

A． B． C． D．以上都有可能

7．（2020·浙江高三三模）如图，在边长为2的正方形中，分别是线段的中点，现将沿翻折至的位置，使在平面内的投影在上，设直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

8．（2020·浙江绍兴·高三三模）如图，三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，二面角的平面角为，则不可能是(    )

A． B． C． D．

9．（2020·广东东莞·高三三模）在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，经过点，，的平面交于，则（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·全国高三三模）如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（    ）

A．与是异面直线 B．平面

C．AE，为异面直线，且 D．平面

11．（2020·湖南高三三模）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（    ）

A．在点F的运动过程中，存在EF//BC1

B．在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AE

C．四面体EMAC的体积为定值

D．四面体FA1C1B的体积不为定值

12．（2020·浙江高三三模）如图，在三棱台中，是棱上的点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）

A．， B．，

C．， D．，