专题64 离散型随机变量分布列与数字特征（解析版）学案

专题64  离散型随机变量分布列与数字特征

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，离散型随机变量的分布列及其数字特征是高考命题的热点.往往以实际问题为背景考查离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.有时概率统计问题一同考查.难度控制在中等．

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

（一）离散型随机变量分布列：

1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量

（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件.例如：在扔硬币的试验中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，则提到1，即代表正面向上的事件.将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以简洁的表示事件

（2）量化的事件之间通常互为互斥事件

（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的代表元素.它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果.例如：在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为，则“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，

（4）随机变量的记法：随机变量通常用等表示

（5）随机变量的概率：记为取所代表事件发生的概率

2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集

3、分布列：一般地，若离散型随机变量可能取得不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：

称该表格为离散型随机变量的分布列，分布列概率具有的性质为：

（1）

（2），此性质的作用如下：

① 对于随机变量分布列，概率和为1，有助于检查所求概率是否正确

② 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为1的特征，求出其他较为简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率

（二）常见的分布：

1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：

（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.

（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布

2、常见的分布

（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：

则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率

（2）超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中

即：

则称随机变量服从超几何分布，记为

（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即：

则称随机变量符合二项分布，记为

（三）数字特征——期望与方差

1、期望：已知离散性随机变量的分布列为：

则称的值为的期望，记为

（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望.例如：连续投篮三次，设投进篮的次数为随机变量，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如次），统计每次试验中的取值，则这个值的代数平均数将很接近期望

（2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有

① 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：

则的分布列为：

② 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系.在某些直接求期望的题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望

2、方差：已知离散性随机变量的分布列为：

且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：

（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计.方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）

（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则

（3）方差的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有：

3、常见分布的期望与方差：

（1）两点分布：则

（2）二项分布：若，则

（3）超几何分布：若，则

注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期望（或方差），则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系.从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差）

【经典例题】

例1．【2020年高考浙江卷16】一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，

拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则                 ；                 ．

【答案】；

【思路导引】先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果．

【解析】表示第一次拿到的是红球，设为事件A，或第一次是绿球，第二次是红球，设为事件B，则；

表示拿出红球时已经拿出了一个黄球，即第一次拿到黄球，第二次拿到红球，概率，或是前两次拿到的是一个黄球一个是绿球，，∴ ；

，表示拿到红球时已经拿出了两个黄球，即前两次黄球，第三次红球，，说是第四次拿到红球，，∴，

，故答案为：；．

【专家解读】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力．

例2．（2020·湖北省麻城市第一中学高三三模）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件为“恰有2名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】事件AB为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.

,

所以

故选：A

例3．（2020·湖南益阳·高三三模）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为随机变量服从正态分布，

所以正态曲线的对称轴为，

因为，

所以，

所以，

故选：D

例4．（2020·四川成都·高三三模）已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，则，则，则，

故选：D.

例5．（2020·湖南益阳·高三三模）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：

芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，

∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.

故选：A.

例6．（2020·浙江宁波·高三三模）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】可能的取值为；可能的取值为，

，，，

故，.

，，

故，,

故，.故选B.

例7．（2020·江西上高二中高三三模）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）

（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，

．）

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%

【答案】B

【解析】由题意故选B．

例8．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三三模）我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，．

∴若，则．

那么

．

设．

．

∴．

∴时，．

∴．

故选：A．

【精选精练】

1．（2020·湖南长沙·高三三模）随机变量的分布列如表：

若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由分布列的性质以及期望公式可得，解得.

.

故选：A.

2．（2020·浙江高三三模）袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，则的数学期望（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，能取的值为，，，，

则，，

，

，

则的数学期望.

故选：A.

3．（2020·福建高三三模）某校在一次三模中共有800人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（    ）

A．60 B．70 C．80 D．90

【答案】C

【解析】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，

则数学成绩小于等于90分对应的概率约为，

又数学考试成绩近似服从正态分布，

所以，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为人，因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.

故选：C.

4．（2020·内蒙古集宁一中高三三模）随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为,所以,解得.即等于.故选B.

5．（2020·陕西高三三模）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ）

A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等

B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙

C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙

D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好

【答案】B

【解析】由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，

由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平，越小，正态曲线越尖陡，

故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，

故选：B.

6．（2020·山东莱州一中高三三模）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.

（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；

（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.

则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

，

，，故，，，由上面比较可知，故选A

7．（2020·江苏淮阴中学高三三模）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设事件 “4个人去的景点不相同”，

事件 “小赵独自去一个景点”，

则（A），

（B），

，

则

故选：A

8．（2020·浙江高三三模）已知随机变量，的分布列如下表所示，其中．

若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由分布列知，，

即，，即

所以，，

，

故选：

9．（2020·河北衡水中学高三三模）在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（     ）

A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2

【答案】B

【解析】

,选B.

10．（2020·浙江高三三模）设，则随机变量的分布列为：

设，则当内增大时：（    ）

A．递减，递增 B．递减，递减

C．递增，先递减再递增 D．递减，先递增再递减

【答案】B

【解析】根据题意可得

.

则当内增大时，=单调递减；

又，故的分布列如下所示：

故

令，

故当时，单调递减，即单调递减.

故选：.

11．（2020·湖北黄冈中学高三三模）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在某局双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在比分为后甲先发球的情况下，甲以赢下此局分两种情况：

①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为；

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，

所以，所求事件概率为：，

故选：C.

12．（2020·全国高三三模）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为， 乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（   ）

A．         B．         C．          D．

【答案】B

【解析】依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，，故，故选B.