2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷（理科），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，1}B．{﹣3，﹣1，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）一路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．当你到达此路口时，看见的不是绿灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p是（ ）
A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
4．（5分）小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）
A．1%B．2%C．3%D．5%
5．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．f（x）＝x3+3x2B．f（x）＝2x+2﹣x
C．f（x）＝xsinxD．f（x）＝ln
6．（5分）函数f（x）＝sinx﹣csx在下列哪个区间上是单调递减的（ ）
A．[﹣π，0]B．[0，π]C．D．
7．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（5分）“a”是“ln（2a﹣1）＞0”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
9．（5分）已知点M（3，8）在双曲线C：1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为6，则它的离心率为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x的最大值为（ ）
A．7B．1C．10D．0
11．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC＝l，则（ ）
A．l∥CDB．l∥BC
C．l与直线AB相交D．l与直线DA相交
12．（5分）若曲线与直线y＝kx﹣1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知地球表面及约是火星表面积的4倍，则地球体积是火星体积的 ．
14．（5分）已知向量，间的夹角为π，若（2，3），||，则 ．
15．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵“的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为 ．
16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为 ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为且a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝6，sinB＝2sinC，求△ABC的面积．
18．（12分）已知圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝1求：
（1）斜率为3且与圆相切直线的方程；
（2）过定点（2，﹣3）且圆相切的直线的方程．
19．（12分）已知正项的等比数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝lg2an+3，数列的前n项和为Tn，求满足的正整数n的最小值．
20．（12分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝ADCD＝a，PDa，M为PA中点．
（1）求证：AC∥平面MDE；
（2）求直线ME与平面PBC所成角的正弦值．
21．（12分）设函数f（x）．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求不等式f（x）＞0的解集．
22．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点P是椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值是4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，且AC与BD垂直，又|AC|+|BD|，求此时直线AC的方程．
2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，1}B．{﹣3，﹣1，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}为奇数集，
B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
则A∩B＝{﹣1，1}．
故选：A．
2．（5分）一路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．当你到达此路口时，看见的不是绿灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒；
到达此路口时看见的不是绿灯的概率为P＝1．
故选：C．
3．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p是（ ）
A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；
命题p的否定是¬p：
∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0．
故选：C．
4．（5分）小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）
A．1%B．2%C．3%D．5%
【解答】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，
由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的，
∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%3%．
故选：C．
5．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．f（x）＝x3+3x2B．f（x）＝2x+2﹣x
C．f（x）＝xsinxD．f（x）＝ln
【解答】解：对于A，∵f（﹣1）＝2，f（1）＝4，f（﹣1）≠﹣f（1），
∴函数不是奇函数；
对于B，函数定义域为R，f（﹣x）＝2﹣x+2﹣（﹣x）＝2x+2﹣x＝f（x），
∴函数为偶函数；
对于C，函数定义域为R，f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），
∴函数为偶函数；
对于D，由0，得﹣3＜x＜3，函数定义域为（﹣3，3），
而f（﹣x），
∴函数为奇函数．
故选：D．
6．（5分）函数f（x）＝sinx﹣csx在下列哪个区间上是单调递减的（ ）
A．[﹣π，0]B．[0，π]C．D．
【解答】解：函数f（x）＝sinx﹣csxsin（x），
令2kπ≤x2kπ，k∈Z；
解得2kπ≤x2kπ，k∈Z；
令k＝0，得x，
∴f（x）在区间[，]上是单调减函数．
故选：D．
7．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：当S＝0时，满足继续循环的条件，故S＝1，k＝1；
当S＝1时，满足继续循环的条件，故S＝3，k＝2；
当S＝3时，满足继续循环的条件，故S＝11，k＝3；
当S＝11时，满足继续循环的条件，故S＝2059，k＝4；
当S＝2049时，不满足继续循环的条件，
故输出的k值为4，
故选：A．
8．（5分）“a”是“ln（2a﹣1）＞0”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵ln（2a﹣1）＞0，
∴2a﹣1＞1，∴a＞1，
∵a推不出a＞1，
a＞1⇒a，
∴“a”是“ln（2a﹣1）＞0”的必要不充分条件．
故选：C．
9．（5分）已知点M（3，8）在双曲线C：1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为6，则它的离心率为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：点M（3，8）在双曲线C：1（a＞0，b＞0）上，
可得1，①
C的焦距为6，即2c＝6，可得c＝3，即a2+b2＝9②
由①②解得a＝1，b＝2，
则e3，
故选：B．
10．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x的最大值为（ ）
A．7B．1C．10D．0
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
A（10，0），
化目标函数z＝x为y＝﹣2x+2z，由图可知，当直线y＝﹣2x+2z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．
故选：C．
11．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC＝l，则（ ）
A．l∥CDB．l∥BC
C．l与直线AB相交D．l与直线DA相交
【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD．∴AD与CB必相交于点M，
则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD∩平面PBC＝l．
∴P∈l．l与直线DA相交．
故选：D．
12．（5分）若曲线与直线y＝kx﹣1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：作出曲线 y的图象如图：
直线y＝kx﹣1过定点（0，﹣1），
当k＝0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，
当k＜0时，两个函数有2个交点，满足条件，
当k＞0时，直线y＝kx﹣1与y在x＞1相切时，
两个函数只有一个交点，
此时kx﹣1，即kx2﹣（1+k）x+3＝0，
判别式△＝（1+k）2﹣12k＝0，解得k2﹣10k+1＝0，
k＝5﹣2或k＝5+2（舍去）
综上满足条件的k的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，5﹣2），
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知地球表面及约是火星表面积的4倍，则地球体积是火星体积的 8倍 ．
【解答】解：设地球的半径为R，火星的半径为r，由已知条件得4πR2＝4×4πr2，所以，R＝2r，
所以，地球的体积为，
因此，地球体积是火星体积的8倍，
故答案为：8倍．
14．（5分）已知向量，间的夹角为π，若（2，3），||，则 ．
【解答】解：，且，间的夹角为；
∴．
故答案为：．
15．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵“的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为 6+4 ．
【解答】解：根据几何体的三视图，
如图所示：
转换为几何体为：底面为腰长为的等腰直角三角形，高为2的三棱柱．
故：6+4
故答案为：6+4．
16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为 11 ．
【解答】解：F（1，0），|AF|5，
过M向抛物线的准线x＝﹣1作垂线，垂足为B，则|MF|＝|MB|，
∴当A，B，M三点共线时，|MA|+|MB|取得最小值5+1＝6，
即|MF|+|MA|的最小值为6，
∴△MAF周长的最小值为为11．
故答案为：11．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为且a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝6，sinB＝2sinC，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为且a，b，c，且．
则：，
整理得：，
则：tanA，
由于：0＜A＜π，
解得：A．
（2）a＝6，sinB＝2sinC，
所以：b＝2c，
所以：a2＝b2+c2﹣2bccsA，
整理得：36＝4c2+c2﹣2c2，
解得：c．
所以b．
则：．
18．（12分）已知圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝1求：
（1）斜率为3且与圆相切直线的方程；
（2）过定点（2，﹣3）且圆相切的直线的方程．
【解答】解：（1）圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝1，
设斜率为3且与圆相切的直线方程为y＝3x+b，
则圆心C（1，0）到该直线的距离为
d1，
解得b＝﹣3±，
∴y＝3x﹣3或y＝3x﹣3；
（2）设过定点（2，﹣3）且与圆相切的直线方程为y+3＝k（x﹣2），
即kx﹣y﹣2k﹣3＝0，
则圆心C到该直线的距离为d1，
解得k，
∴切线方程为y+3（x﹣2），
即4x+3y+1＝0；
又当斜率k不存在时，直线x＝2也是圆的切线；
综上，所求圆的切线为x＝2或4x+3y+1＝0．
19．（12分）已知正项的等比数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝lg2an+3，数列的前n项和为Tn，求满足的正整数n的最小值．
【解答】解：（1）正项的等比数列{an}的公比为q（q＞0），
，
可得2a1q＝a1+a1q，a1q2＝2，
解得a1，q＝2，
则an＝a1qn﹣1＝2n﹣2；
（2）bn＝lg2an+3＝lg22n﹣2+3＝n﹣2+3＝n+1，
，
前n项和为Tn
，
满足，可得，
解得n＞4，
满足的正整数n的最小值为5．
20．（12分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝ADCD＝a，PDa，M为PA中点．
（1）求证：AC∥平面MDE；
（2）求直线ME与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）连结PC，交DE于N，连结MN，
在△PAC中，∵M，N分别为PA，PC的中点，∴MN∥AC，
∵AC⊄平面MDE，MN⊂平面MDE，
∴AC∥平面MDE．
解：（2）以D为原点，DA，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），B（a，a，0），C（0，2a，0），A（a，0，0），M（），E（0，2a，），
（a，a，），（﹣a，a，0），
设平面PBC的法向量（x，y，z），
则，取z＝1，得（，1），
（，2a，a），
设直线ME与平面PBC所成角为θ，
则sinθ＝|cs|，
∴直线ME与平面PBC所成角的正弦值为．
21．（12分）设函数f（x）．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求不等式f（x）＞0的解集．
【解答】解：（1）a＝﹣2时，；
∴根据一次函数和二次函数的单调性得，f（x）在（﹣∞，1]，（1，+∞）上单调递减；
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1]，（1，+∞）；
（2）a＞0时，不等式转化为，或；
若0＜a≤1时，解①得，x＜a；解②得，x＞1，∴不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1，+∞）；
若a＞1时，解①得，x≤1；解②得，x＞a，∴不等式的解集为（﹣∞，1]∪（a，+∞）．
22．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点P是椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值是4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，且AC与BD垂直，又|AC|+|BD|，求此时直线AC的方程．
【解答】解：（1）由题意可得e，当P位于椭圆的短轴的端点时，
△PF1F2面积的最大值是4，即有•b•2c＝4，
又a2﹣b2＝c2，解得a＝4，b＝2，
则椭圆方程为1；
（2）由（1）知F1（﹣2，0），AC⊥BD，
①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|＝14，不合题意；
②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y＝k（x+2），
将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48＝0，
若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，
∴|AC||x1﹣x2|•；
直线BD的方程为y（x+2），同理可得|BD|；
∴|AC|+|BD|，解得k2＝1，
即直线AC的方程为y＝±（x+2）．
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日期：2019/12/27 12:16:50；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265