2017-2018学年新疆兵团二中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年新疆兵团二中高二（上）期末数学试卷（理科），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年新疆兵团二中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2017秋•天山区校级期末）若f（x）＝2+xcos2x，则函数f（x）的导函数f'（x）＝（　　）
A．1﹣2sin2x B．x﹣sin2x
C．sin2x+xcos2x D．cos2x﹣2xsin2x
2．（5分）（2017春•大连期末）下面几种推理中是演绎推理的序号为（　　）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列{an}的通项公式为（n∈N+）
C．半径为r圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2+（z﹣c）2＝r2
3．（5分）（2017秋•天山区校级期末）设n是自然数，f（n）＝1，经计算可得，f（2），f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32）．观察上述结果，可得出的一般结论是（　　）
A．f（2n） B．f（n2）
C．f（2n） D．
4．（5分）（2018春•咸阳期末）积分（　　）
A． B． C．πa2 D．2πa2
5．（5分）（2010•西城区校级模拟）已知函数y＝f（x）在定义域[﹣4，6]内可导，其图象如图，记y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），则不等式f'（x）≥0的解集为（　　）

A．[，1]∪[，6] B．[﹣3，0]∪[，5]
C．[﹣4，]∪[1，] D．[﹣4，3]∪[0，1]∪[5，6]
6．（5分）（2012•余杭区校级模拟）函数y＝xlnx的单调递减区间是（　　）
A．（e﹣1，+∞） B．（﹣∞，e﹣1） C．（0，e﹣1） D．（e，+∞）
7．（5分）（2018春•孝义市期末）当函数y＝x•2x取极小值时，x＝（　　）
A． B． C．﹣ln2 D．ln2
8．（5分）（2015秋•鹰潭期末）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）≤0．对任意正数a，b，若a＜b，则必有（　　）
A．bf（a）≤af（b） B．af（b）≤bf（a）
C．bf（a）≤f（a） D．af（a）≤f（b）
9．（5分）（2017秋•天山区校级期末）已知点A（l，2）在函数f（x）＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f（x）的切线方程是（　　）
A．6x﹣y﹣4＝0 B．x﹣4y+7＝0
C．6x﹣y﹣4＝0或x﹣4y+7＝0 D．6x﹣y﹣4＝0或3x﹣2y+1＝0
10．（5分）（2017秋•天山区校级期末）f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1时有极值为10，那么a+b的值为（　　）
A．﹣7 B．0 C．﹣7或0 D．以上都不对
11．（5分）（2017•重庆模拟）若函数f（x）＝x2+ax在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
12．（5分）（2017秋•天山区校级期末）已知函数f（x）＝a（x）﹣2lnx（a∈R），g（x），若至少存在一个x0∈[1，e]，使f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（　　）
A．[λ，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（G（x），+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2014•福建模拟）（文）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝　 　．

14．（5分）（2016春•周口期末）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r＝　 　．
15．（5分）（2017秋•天山区校级期末）由直线y＝4﹣x，曲线以及x轴所围图形的面积为　 　
16．（5分）（2014•文峰区校级一模）若函数f（x）（a＞0）在[1，+∞）上的最大值为，则a的值为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．（10分）（2017秋•天山区校级期末）已知a＞0，b＞0且a＞b，求证：．
18．（12分）（2018春•龙岗区期末）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c在x＝1及x＝2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．
19．（12分）（2017秋•天山区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．

20．（12分）（2013•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．

21．（12分）（2009•重庆）设函数f（x）＝ax2+bx+k（k＞0）在x＝0处取得极值，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1＝0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．
22．（12分）（2015•南开区二模）设函数f（x）＝lnxbx
（Ⅰ）当a＝b时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）＝f（x）x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

2017-2018学年新疆兵团二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2017秋•天山区校级期末）若f（x）＝2+xcos2x，则函数f（x）的导函数f'（x）＝（　　）
A．1﹣2sin2x B．x﹣sin2x
C．sin2x+xcos2x D．cos2x﹣2xsin2x
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数公式求出函数的导数即可．
【解答】解：∵f（x）＝2+xcos2x，
∴f′（x）＝cos2x﹣2xsin2x，
故选：D．
【点评】本题考查了导数公式的应用，熟练掌握导数公式是解题的关键．
2．（5分）（2017春•大连期末）下面几种推理中是演绎推理的序号为（　　）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列{an}的通项公式为（n∈N+）
C．半径为r圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2+（z﹣c）2＝r2
【考点】F5：演绎推理．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．
【解答】解：选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，
选项B是由特殊的n的值：1，2，3，…到一般的值n的推理过程，为归纳推理，
对于C：半径为r圆的面积S＝πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S＝π中
半径为r圆的面积S＝πr2，是大前提
单位圆的半径为1，是小前提
单位圆的面积S＝π为结论．
C是演绎推理；
选项D是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，
故选：C．
【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．
判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．
判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．
3．（5分）（2017秋•天山区校级期末）设n是自然数，f（n）＝1，经计算可得，f（2），f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32）．观察上述结果，可得出的一般结论是（　　）
A．f（2n） B．f（n2）
C．f（2n） D．
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】5M：推理和证明．
【分析】已知的式子可化为f（22），f（23），f（24），f（25），由此规律可得f（2n）
【解答】解：∵f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32）．
∴f（22），f（23），f（24），f（25），
以此类推，可得f（2n）．（n＞1）
∵f（2）
∴f（2n）．
故选：C．
【点评】本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题．
4．（5分）（2018春•咸阳期末）积分（　　）
A． B． C．πa2 D．2πa2
【考点】67：定积分、微积分基本定理；69：定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．
【解答】解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为a的圆的上半圆的面积，
故．
故选：B．
【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．
5．（5分）（2010•西城区校级模拟）已知函数y＝f（x）在定义域[﹣4，6]内可导，其图象如图，记y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），则不等式f'（x）≥0的解集为（　　）

A．[，1]∪[，6] B．[﹣3，0]∪[，5]
C．[﹣4，]∪[1，] D．[﹣4，3]∪[0，1]∪[5，6]
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【分析】由图象求函数的单调区间，据单调性与导数符号的关系求解．
【解答】解：由函数y＝f（x）在定义域[﹣4，6]图象知，y＝f（x）的单调递增区间为[﹣4，]和[1，]
所以不等式f′（x）≥0的解集为[﹣4，]∪[1，]
故选：C．
【点评】函数单调递增时导数大于零，函数单调递减时导数小于零．
6．（5分）（2012•余杭区校级模拟）函数y＝xlnx的单调递减区间是（　　）
A．（e﹣1，+∞） B．（﹣∞，e﹣1） C．（0，e﹣1） D．（e，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】求出该函数的导函数，由导数小于0列出不等式，解此不等式求得正实数x的取值范围即为所求．
【解答】解：函数y＝xlnx的导数为 y′＝（x）′lnx+x•（lnx）′＝lnx+1，
由 lnx+1＜0 得，0＜x，故函数y＝xlnx 的减区间为（0，），
故选：C．
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及对数函数的定义域与单调区间．注意函数的定义域．
7．（5分）（2018春•孝义市期末）当函数y＝x•2x取极小值时，x＝（　　）
A． B． C．﹣ln2 D．ln2
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】对函数求导，由y′＝2x+x•2xln2＝（1+xln2）•2x＝0，即可得出结论．
【解答】解：y′＝2x+x•2xln2＝（1+xln2）•2x＝0，
即1+xln2＝0，x．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．
8．（5分）（2015秋•鹰潭期末）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）≤0．对任意正数a，b，若a＜b，则必有（　　）
A．bf（a）≤af（b） B．af（b）≤bf（a）
C．bf（a）≤f（a） D．af（a）≤f（b）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；52：导数的概念及应用．
【分析】由已知条件令F（x），判断出F′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出F（a）与F（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），
令F（x），则F′（x），
∵xf′（x）﹣f（x）≤0，
∴F′（x）≤0，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递减或常函数
∵对任意的正数a、b，a＜b
∴，
∵任意的正数a、b，a＜b，
∴af（b）≤bf（a）
故选：B．
【点评】函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减．
9．（5分）（2017秋•天山区校级期末）已知点A（l，2）在函数f（x）＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f（x）的切线方程是（　　）
A．6x﹣y﹣4＝0 B．x﹣4y+7＝0
C．6x﹣y﹣4＝0或x﹣4y+7＝0 D．6x﹣y﹣4＝0或3x﹣2y+1＝0
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】由A在曲线上，求出a，再求导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到方程，解出切点的横坐标，得到斜率，再由点斜式方程，即可得到切线方程．
【解答】解：由于点A（l，2）在函数f（x）＝ax3的图象上，
则a＝2，即y＝2x3，
y′＝6x2，
设切点为（m，2m3），则切线的斜率为k＝6m2，
由两点的斜率公式得，6m2，
即有2m2﹣m﹣1＝0，解得m＝1（舍去）或，
则切线的斜率为k＝6，
则过点A的曲线C：y＝f（x）的切线方程是：
y﹣2（x﹣1），即3x﹣2y+1＝0．
检验若A为切点，可得k＝6，可得
切线方程为y﹣2＝6（x﹣1），即6x﹣y﹣4＝0．
故选：D．
【点评】本题考查导数的应用：求切线的方程，注意考虑切点，同时考查直线方程的形式，考查运算能力，属于易错题．
10．（5分）（2017秋•天山区校级期末）f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1时有极值为10，那么a+b的值为（　　）
A．﹣7 B．0 C．﹣7或0 D．以上都不对
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】f′（x）＝3x2+2ax+b，又∵在x＝1时f（x）有极值10，可得f′（1）＝0，f（1）＝10，解得a，b并且验证即可得出．
【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，又∵在x＝1时f（x）有极值10，
∴f′（1）＝3+2a+b＝0，f（1）＝1+a+b+a2＝10，
解得，或，
验证知，当a＝﹣3，b＝3时，在x＝1无极值，
故 a+b的值﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）（2017•重庆模拟）若函数f（x）＝x2+ax在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
【考点】3V：二次函数的性质与图象；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案
【解答】解：由f（x）＝x2+ax，得f′（x）＝2x+a，
令g（x）＝2x3+ax2﹣1，
要使函数f（x）＝x2+ax在（，+∞）是增函数，
则g（x）＝2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，
g′（x）＝6x2+2ax＝2x（3x+a），
当a＝0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得1≥0，a≥3（舍）；
当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得1≥0，a≥3；
当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）＝x2+ax在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．
12．（5分）（2017秋•天山区校级期末）已知函数f（x）＝a（x）﹣2lnx（a∈R），g（x），若至少存在一个x0∈[1，e]，使f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（　　）
A．[λ，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（G（x），+∞）
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即在[1，e]上有解，令h（x），求出h（x）的导数，由此利用导数性质能求出a的取值范围．
【解答】解：由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即在[1，e]上有解，
令h（x），则h′（x），
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴h（1）＝0，
∴a＞0．
∴a的取值范围是（0，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2014•福建模拟）（文）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝　2　．

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论．
【解答】解：由题意，f（5）＝﹣5+8＝3，f′（5）＝﹣1
∴f（5）+f′（5）＝2
故答案为：2
【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．（5分）（2016春•周口期末）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r＝　　．
【考点】F3：类比推理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5M：推理和证明．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r
∴r．
故答案为：．

【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
15．（5分）（2017秋•天山区校级期末）由直线y＝4﹣x，曲线以及x轴所围图形的面积为　　
【考点】69：定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；52：导数的概念及应用．
【分析】由题意画出图形，数形结合把曲边梯形的面积用定积分表示，求定积分得答案．
【解答】解：由得两曲线交点为（2，2），
S（4﹣yy2）dy＝（4yy2y3），
故答案为：．

【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是中档题．
16．（5分）（2014•文峰区校级一模）若函数f（x）（a＞0）在[1，+∞）上的最大值为，则a的值为　1　．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】对函数f（x）（a＞0）进行求导，讨论a研究函数在[1，+∞）上的极值从，而求出最大值，反求出a．
【解答】解：，
x时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
当x时，f′（x）＞0，f（x）单调增，
当x时，f（x），1，不合题意．
∴f（x）max＝f（1），a1，
故答案为
【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题的反求问题，属于研究最值问题的中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．（10分）（2017秋•天山区校级期末）已知a＞0，b＞0且a＞b，求证：．
【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．
【分析】运用分析法证明，要证原不等式成立，可以运用两边平方，结合不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：要证，由于a＞0，b＞0且a＞b，
只要证（）2＜（）2，
只要证，只要证，
只要证b2＜ab，只要证b＜a，
而此式显然成立，
所以原不等式成立．
【点评】本题考查不等式的证明，运用分析法证明注意解题步骤，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
18．（12分）（2018春•龙岗区期末）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c在x＝1及x＝2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）方法一：根据已知条件可得关于a，b的方程组，解出并验证即可；
方法二：由题意可得：则1，2是方程6x2+6ax+3b＝0的两个根，根据韦达定理即可求得a和b的值；
（2）利用导数先求出函数f（x）在区间[0，3]上的极大值，再求出区间端点的函数值，进行比较，得出最大值．又已知要求的问题：对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2，x∈[0，3]．进而解出即可．
【解答】解：（1）方法一：∵函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c，求导，f′（x）＝6x2+6ax+3b．
∵函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值，则，则，
∴，解得．
∴f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．
经验证当a＝﹣3，b＝4时，函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值．
∴a＝﹣3，b＝4；
方法二：由函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c，求导，f′（x）＝6x2+6ax+3b．
∵函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值，
则1，2是方程6x2+6ax+3b＝0的两个根，则，则a＝﹣3，b＝4，
f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．
经验证当a＝﹣3，b＝4时，函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值．
∴a＝﹣3，b＝4；
（2）由（1）可知：f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．
令f′（x）＝0，解得x＝1，2，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故函数f（x）在区间[0，1），（2，3]上单调递增；在区间（1，2）上单调递减．
∴函数f（x）在x＝1处取得极大值，且f（1）＝5+8c．
而f（3）＝9+8c，∴f（1）＜f（3），
∴函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）＝9+8c．
对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2，x∈[0，3]⇔9+8c＜c2，
由c2﹣8c﹣9＞0，解得c＞9或c＜﹣1．
∴c的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用，考查求函数单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．
19．（12分）（2017秋•天山区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．

【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得OD∥PA，再由线面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和直线OD的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线OD与平面PBC所成角的正弦值
【解答】证明：（1）∵点O，D分别是AC，PC的中点，
∴OD∥PA
又∵OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB
∴OD∥平面PAB；
（2）连接OB，
∵AB＝BC，点O是AC的中点，
∴OB⊥AC
又∵OP⊥底面ABC．
故可以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
令AB＝BCPA＝1，AB⊥BC，
则OA＝OB＝OC，OP
则O（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（0，，）
∴（0，，），（，，0），（0，，）
设（x，y，z）是平面PBC的一个法向量
则，即
令z＝1，则（，，1）
直线OD与平面PBC所成角θ满足：
sinθ
故直线OD与平面PBC所成角的正弦值为

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的求法，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答（1）的关键．建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答（2）的关键．
20．（12分）（2013•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．

【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．
【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC＝4，BC＝5，AB＝3．
∴AC2+AB2＝BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴，，．
设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为（x2，y2，z2）．
则，令y1＝4，解得x1＝0，z1＝3，∴．
，令x2＝3，解得y2＝4，z2＝0，∴．
．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，
∴，（0，3，﹣4），
∵，∴，
∴，解得t．
∴．

【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．
21．（12分）（2009•重庆）设函数f（x）＝ax2+bx+k（k＞0）在x＝0处取得极值，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1＝0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）因为”函数在x＝0处取得极值“，则有f'（0）＝0，再由“曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1＝0相互垂直”，则有f'（1）＝2，从而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）＝0，有x2﹣2x+k＝0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△＝4﹣4k＜0，函数g（x）在R上为增函数，（2）当△＝4﹣4k＝0，g（x）在R上为增函数（3）△＝4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）因f（x）＝ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）＝2ax+b
又f（x）在x＝0处取得极值，故f'（0）＝0，
从而b＝0，
由曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1＝0相互垂直可知该切线斜率为2，
即f'（1）＝2，有2a＝2，从而a＝1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
、
令g'（x）＝0，有x2﹣2x+k＝0（8分）
（1）当△＝4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）
（2）当△＝4﹣4k＝0，即当k＝1时，，k＝1时，g（x）在R上为增函数（12分）
（3）△＝4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等实根
当时g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数
当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数
当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数（14分）
【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．
22．（12分）（2015•南开区二模）设函数f（x）＝lnxbx
（Ⅰ）当a＝b时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）＝f（x）x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，知导函数恒成立，再转化为所以a≥（，x02+x0）max求解．
（III）先把程f（x）＝mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当a＝b时，f（x）＝lnxx2x，
f′（x）x．（2分）
令f′（x）＝0，解得x＝1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）F（x）＝lnx，x∈（0，3]，
所以k＝F′（x0），在x0∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥（x02+x0）max，x0∈（0，3]（7分）
当x0＝1时，x02+x0取得最大值 ．所以a．（9分）
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，f（x）＝lnx+x，
因为方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x＝mx有唯一实数解．
∴，
设g（x），则g′（x）．
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；
g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，
g（1）＝1，g（e2）＝11，g（e）＝1，
所以m＝1，或1≤m＜1．
【点评】本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．

考点卡片
1．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
⇒a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
2．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x；最值为：f（）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2，x1•x2；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．

题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．

【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
5．定积分、微积分基本定理
【定积分】
　定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．

【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．

例1：定积分
解：
∫12|3﹣2x|dx

＝（3x﹣x2）|（x2﹣3x）|

通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
6．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．
例1：定积分|sinx|dx的值是．
解：|sinx|dx
＝﹣cosxcosx
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．

【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积


2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为

3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
7．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
8．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
10．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
11．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，

2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（　　）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（　　）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3　 　
32＝1+3+5　　
42＝1+3+5+7
23＝3+5　 　
33＝7+9+11 　　
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+1136，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
12．类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式．
2．类比推理的形式：

3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：

解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
由以上分析可知：

故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．
【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．
13．演绎推理
【知识点的认识】
1．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理，叫做演绎推理．规则符号表示为：
若p⇒q，p为真，则q为真．
*演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．

2．三段论推理：是演绎推理的一般模式．可表示为：
若b⇒c，而a⇒b，则a⇒c
三段论包括三要素：
（1）大前提：已知的一般原理
（2）小前提：所研究的特殊情况
（3）结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．
（4）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构
①大前提﹣﹣已知的一般原理；
②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；
③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示
①大前提﹣﹣M是P．
②小前提﹣﹣S是M．
③结论﹣﹣S是P．
【例题解析】
例：关于演绎推理的说法正确的是（　　）
A：演绎推理是由一般到一般的推理 B：只要大前提正确，由演绎推理得到的结果必正确 C：演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确 D：演绎推理不能用于命题的证明
解答：解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故A不正确，
演绎推理得到的结论不一定是正确的，还要取决于小前提是否真实，故B不正确，
演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确，故C正确，
演绎推理不能用于命题的证明，故D不正确，
总上可知有C是正确的，
故选：C．
本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．
14．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
15．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
16．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
17．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
18．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1⇒a＞b；b＜0，1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：

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