2017-2018学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）复数z（i是虚数单位）的虚部为（　　）
A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2
2．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）已知函数y＝x3﹣3x，则它的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣1，1）
C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
3．（5分）（2015•天津校级模拟）设函数f（x）lnx，则（　　）
A．为f（x）的极小值点 B．x＝2为f（x）的极大值点
C．为f（x）的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点
4．（5分）（2011•安徽）在极坐标系中，点（2，）到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
5．（5分）（2009•安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）
A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x＝x2
D．p：a＞1，q：f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数
6．（5分）（2016•河南二模）双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．1 D．1
7．（5分）（2017春•大连期末）用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1（a≠1，n∈N*），在验证n＝1成立时，左边的项是（　　）
A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a4
8．（5分）（2017•阳山县校级一模）下面使用类比推理恰当的是（　　）
A．“若a•3＝b•3，则a＝b”类推出“若a•0＝b•0，则a＝b”
B．“若（a+b）c＝ac+bc”类推出“（a•b）c＝ac•bc”
C．“（a+b）c＝ac+bc”类推出“（c≠0）”
D．“（ab）n＝anbn”类推出“（a+b）n＝an+bn”
9．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣2x﹣1（其中e为常用对数的底数），则y＝f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）（2015•兰州一模）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）＝1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，e4） D．（e4，+∞）
11．（5分）（2014•鹿城区校级模拟）已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（　　）
A．x＝p B．x＝3p C． D．
12．（5分）（2018•铁东区校级一模）函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（　　）
A．20 B．18 C．3 D．0
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）计算定积分dx＝　 　．
14．（5分）（2014秋•信阳期末）设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为　 　．
15．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是　 　
16．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）已知f（x）＝xlnx+ax2，a∈R，若函数f（x）在区间（0，1）上不单调，则a的取值范围为　 　
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2017秋•东湖区校级期末）（1）已知a，b∈R+，求证：；
（2）已知复数z满足：，是纯虚数，且z对应的点在第二象限，求复数z．
18．（12分）（2018•玉溪模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．
（1）当m＝0时，求A∩B；
（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19．（12分）（2014•呼伦贝尔一模）已知函数f（x）lnx，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）＜4﹣at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）（2017春•桂林期末）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．
21．（12分）（2017秋•东湖区校级期末）已知抛物线与直线y＝x所围成图形的面积为，点P在抛物线上，过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，
（1）求p的值；
（2）F为抛物线C1的焦点，当点P在抛物线C2上运动时，求|AF|•|BF|的取值范围．
22．（12分）（2017秋•东湖区校级期末）已知函数．
（1）当a＜0时，试讨论f（x）的单调性；
（2）令，若函数g（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），求证：．

2017-2018学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）复数z（i是虚数单位）的虚部为（　　）
A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z，
∴复数z的虚部为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）已知函数y＝x3﹣3x，则它的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣1，1）
C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，解f'（x）＜0，即可求函数的单调递减区间．
【解答】解：∵y＝f（x）＝x3﹣3x，
∴f'（x）＝3x2﹣3，
由f'（x）＜0得，f'（x）＝3x2﹣3＜0，
解得x2＜1，即﹣1＜x＜1，
即函数的单调递减区间为（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的计算，以及利用导数求函数的单调区间，要求熟练掌握函数的单调性与导数之间的关系．
3．（5分）（2015•天津校级模拟）设函数f（x）lnx，则（　　）
A．为f（x）的极小值点 B．x＝2为f（x）的极大值点
C．为f（x）的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】求导数f′（x），令f′（x）＝0，得x＝2可判断在2左右两侧导数符号，由极值点的定义可得结论．
【解答】解：f′（x），
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时f′（x）＞0，
所以x＝2为f（x）的极小值点，
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属基础题．
4．（5分）（2011•安徽）在极坐标系中，点（2，）到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】在直角坐标系中，求出点 的坐标和圆的方程及圆心坐标，利用两点间的距离公式求出所求的距离．
【解答】解：在直角坐标系中，点即（1，），圆即 x2+y2＝2x，即 （x﹣1）2+y2＝1，
故圆心为（1，0），故点（2，）到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为 ，
故选：D．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，两点间的距离公式的应用．
5．（5分）（2009•安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）
A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x＝x2
D．p：a＞1，q：f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断，从而求解．
【解答】解：A、∵q：a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件，故A正确；
B、∵p：a＞1，b＞1，∴f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b＝1，a＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；
C、∵x＝1，∴x＝x2，但当x＝0时，x＝x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；
D、∵a＞1，∴f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q的充要条件，故D错误；
故选：A．
【点评】本小题主要考查了命题的基本关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．
6．（5分）（2016•河南二模）双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．1 D．1
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】将x＝c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．
【解答】解：将x＝c代入双曲线的方程1（a＞0，b＞0）得y，
即M（c，）．
在△MF1F2中tan45°1
即，解得e1．
故选：C．

【点评】本题考查双曲线离心率的计算，根据双曲线中三参数的关系：c2＝a2+b2，建立方程关系是解决本题的关键．
7．（5分）（2017春•大连期末）用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1（a≠1，n∈N*），在验证n＝1成立时，左边的项是（　　）
A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a4
【考点】RG：数学归纳法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；36：整体思想；4F：归纳法；5M：推理和证明．
【分析】在验证n＝1时，左端计算所得的项．把n＝1代入等式左边即可得到答案．
【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1（a≠1，n∈N*），
在验证n＝1时，把当n＝1代入，左端＝1+a+a2．
故选：C．
【点评】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题．
8．（5分）（2017•阳山县校级一模）下面使用类比推理恰当的是（　　）
A．“若a•3＝b•3，则a＝b”类推出“若a•0＝b•0，则a＝b”
B．“若（a+b）c＝ac+bc”类推出“（a•b）c＝ac•bc”
C．“（a+b）c＝ac+bc”类推出“（c≠0）”
D．“（ab）n＝anbn”类推出“（a+b）n＝an+bn”
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型．
【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．
【解答】解：对于A：“若a•3＝b•3，则a＝b”类推出“若a•0＝b•0，则a＝b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，
对于B：“若（a+b）c＝ac+bc”类推出“（a•b）c＝ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，
对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c＝ac+bc”类推出“”是正确的，
对于D：“（ab）n＝anbn”类推出“（a+b）n＝an+bn”是错误的，如（1+1）2＝12+12
故选：C．
【点评】归纳推理与类比推理不一定正确，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．
9．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣2x﹣1（其中e为常用对数的底数），则y＝f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】找出四个选项的区别，用特值法验证．
【解答】解：∵f（0）＝e0﹣2×0﹣1＝0，f（1）＝e﹣2﹣1＝e﹣3＜0；
则函数图象过（0，0）点，且在y轴右侧，x轴下方有图象；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的特征，选择题时，首先观察四个选项的区别，利用特值法或基本初等函数的性质排除，从而简化运算步骤．
10．（5分）（2015•兰州一模）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）＝1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，e4） D．（e4，+∞）
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】令，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得h（0）＝1，即可得出．
【解答】解：设，
∵f′（x）＜f（x），∴h′（x）＜0．
所以函数h（x）是R上的减函数，
∵函数f（x+2）是偶函数，
∴函数f（﹣x+2）＝f（x+2），
∴函数关于x＝2对称，
∴f（0）＝f（4）＝1，
原不等式等价为h（x）＜1，
∴不等式f（x）＜ex等价h（x）＜1⇔h（x）＜h（0），
．∵h（x）在R上单调递减，
∴x＞0．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用．
11．（5分）（2014•鹿城区校级模拟）已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（　　）
A．x＝p B．x＝3p C． D．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于﹣1，求出A、B坐标即可解决．
【解答】解：由A、B是抛物线y2＝2px（p＞0）的两点，|AO|＝|BO|，
及抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．
设直线AB的方程是 x＝m，则 A（ m，）、B（m，）
|△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F（ ，0 ）
∴AF⊥OB，KAF•KOB＝﹣1，
∴•1
∴m，∴直线AB的方程是 x
故选：D．

【点评】本小题主要考查抛物线的简单性质、三角形垂心性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与转化思想．属于基础题．
12．（5分）（2018•铁东区校级一模）函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（　　）
A．20 B．18 C．3 D．0
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】5：高考数学专题；53：导数的综合应用．
【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．
【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，
∵f（x）＝x3﹣3x﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），
∵x∈[﹣3，2]，
∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减
∴f（x）max＝f（2）＝f（﹣1）＝1，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣19
∴f（x）max﹣f（x）min＝20，
∴t≥20
∴实数t的最小值是20，
故选：A．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）计算定积分dx＝　　．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；53：导数的综合应用．
【分析】定积分dx的几何意义是圆x2+y2＝1的个圆的面积，计算可得
【解答】解：定积分dx的几何意义是圆x2+y2＝1的个圆的面积，
∴dxπ×12，
故答案为：
【点评】本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题
14．（5分）（2014秋•信阳期末）设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为　　．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据题意构造函数y＝f（x）﹣g（x），利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．
【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx（x＞0），
则y′＝2x，
令y′＝0得，x或x舍去，
所以当时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，
当时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数，
所以当x时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：，
则所求t的值为，
故答案为：．
【点评】本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题．
15．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是　　
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．
【解答】解：设p（x，y），则 F1（，0），F2（ ，0），
且∠F1PF2是钝角
⇔PPF1⇔（x）2+y2+（x）2+y2＜12
⇔x2+3+y2＜6
⇔x2+（1）＜3
⇔x2⇔x．
故点P的横坐标的取值范围．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式，∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22，是解题关键．
16．（5分）（2017秋•东湖区校级期末）已知f（x）＝xlnx+ax2，a∈R，若函数f（x）在区间（0，1）上不单调，则a的取值范围为　　
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】f（x）＝xlnx+ax2，a∈R，f′（x）＝lnx+1+2ax．x∈（0，1）．令f′（x）＝0，解得a，令g（x）．x∈（0，1）．根据函数f（x）在区间（0，1）上不单调，可得函数y＝a与g（x）的图象有交点．利用导数研究函数g（x）的单调性即可得出．
【解答】解：f（x）＝xlnx+ax2，a∈R，f′（x）＝lnx+1+2ax．x∈（0，1）．
令f′（x）＝0，解得a，
令g（x）．x∈（0，1）．
g′（x）0，
∴函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减．
∴g（x）＞g（1）．
∵函数f（x）在区间（0，1）上不单调，
∴函数y＝a与g（x）的图象有交点．
则a的取值范围为：a．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2017秋•东湖区校级期末）（1）已知a，b∈R+，求证：；
（2）已知复数z满足：，是纯虚数，且z对应的点在第二象限，求复数z．
【考点】A5：复数的运算；R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）运用基本不等式和可加性，即可得证；
（2）设z＝a+bi，（a＜0，b＞0），运用复数的乘法运算和纯虚数的概念，可得a，b的方程组，解方程可得a，b，进而得到所求复数．
【解答】解：（1）证明：∵a，b∈R+，∴，，
∴，
∴；
（2）复数z满足：，是纯虚数，且z对应的点在第二象限，
可设z＝a+bi，（a＜0，b＞0），
则a2+b2＝5，（1+2i）（a﹣bi）＝a+2b+（2a﹣b）i，
可得a+2b＝0且2a﹣b≠0，
解得a＝﹣2，b＝1，
则z＝﹣2+i．
【点评】本题考查不等式的证明，以及复数的概念和运算，合理运用基本不等式和方程思想是解题的关键，属于基础题．
18．（12分）（2018•玉溪模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．
（1）当m＝0时，求A∩B；
（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；35：转化思想．
【分析】（1）分别求出A，B，再根据集合的交集运算，求出A与B的交集即可；
（2）由于q是p的必要不充分条件，再由判断充要条件的方法，我们可知AB，再根据集合关系求出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，…（2分）
B＝{x|（x+1）（x﹣1）≥0}＝{x|x≥1或x≤﹣1}．…（4分）
∴A∩B＝{x|1≤x＜3}． …（6分）
（2）由于命题p为：（﹣1，3），…（7分）
而命题q为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…（9分）
又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…（10分）
所以 m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得 m≥4或m≤﹣2
即实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． …（12分）
【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，同时考查了一元二次不等式的解法，集合的运算．
由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则AB．
19．（12分）（2014•呼伦贝尔一模）已知函数f（x）lnx，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）＜4﹣at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）直接求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，判断函数的单调性，利用最值定理求出f（x）的最大值与最小值；
（2）利用（1）的结论，f（x）＜4﹣at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，转化为4﹣at对任意t∈[0，2]恒成立，通过，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数f（x）lnx，
所以f′（x），令f′（x）＝0得x＝±2，
因为x∈[1，3]，
当1＜x＜2时 f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x＝2处取得极小值f（2）ln2；
又f（1），f（3），
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x＝1时 f（x）的最大值为，
x＝2时函数取得最小值为ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x），
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣at恒成立，
只要4﹣at对任意t∈[0，2]恒成立，即at恒成立
记 g（t）＝at，t∈[0，2]
∴，解得a，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，）．
【点评】本题考查函数与导数的关系，函数的单调性的应用，考查函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查计算能力，恒成立问题的应用，考查转化思想，计算能力．
20．（12分）（2017春•桂林期末）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】（1）由x＝5时，y＝11，代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
【解答】解：（1）因为x＝5时，y＝11，
y10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．
所以10＝11，故a＝2；
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y10（x﹣6）2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）＝（x﹣3）[10（x﹣6）2]
＝2+10（x﹣3）（x﹣6）2，3＜x＜6．
从而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4），
于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：
x
（3，4）
4
（4，6）
f'（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【点评】本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，求出利润的函数式和正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017秋•东湖区校级期末）已知抛物线与直线y＝x所围成图形的面积为，点P在抛物线上，过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，
（1）求p的值；
（2）F为抛物线C1的焦点，当点P在抛物线C2上运动时，求|AF|•|BF|的取值范围．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意联立抛物线与直线方程，消去y求得x的值，再利用定积分求出抛物线与直线所围成图形的面积，得p的值；
（2）由p的值写出抛物线的方程，设出A、B和P点的坐标，写出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用根与系数的关系，写出|AF|•|BF|，求出它的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，联立，
消去y解得x1＝0，x2＝2p，
∴抛物线与直线所围成的区域面积为
，
解得p＝4；…………5分
（2）由（1）知p＝4，
∴，，
设，，P（x0，y0），
由F（0，2），切线方程为，
则；
又点P（x0，y0）在上，
即；
同理，
即x1，x2是方程的两个根，
∴x1x2＝8y0，x1+x2＝2x0；…………9分
且点P（x0，y0）在上，
有，
∴，
又∵y0＜0，
∴|AF|•|BF|∈（4，+∞）．…………12分
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了利用定积分求区域面积的问题，是难题．
22．（12分）（2017秋•东湖区校级期末）已知函数．
（1）当a＜0时，试讨论f（x）的单调性；
（2）令，若函数g（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），求证：．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类分析原函数的单调性；
（2）写出g（x）的解析式，由g（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），
可得2lnx1﹣x1﹣a＝0和2lnx2﹣x2﹣a＝0，联立可得，则，令，可得，即证：2tlnt﹣t2+1＜0，构造函数h（t）＝2tlnt﹣t2+1，h′（t）＝2+2lnt﹣2t，利用导数可得h（t）在（1，+∞）单调递减，则h（t）＜h（1）＝0，即2tlnt﹣t2+1＜0．
【解答】（1）解：．
①当△＝a2﹣4≤0，即﹣2≤a＜0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当△＝a2﹣4＞0，即a＜﹣2时，，
当x∈∪时，f′（x）＞0，
当x∈时，f′（x）＜0，
∴f（x）在上单调递增，
在上单调递减，在单调递增；
（2）证明：．
∵g（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），
∴2lnx1﹣x1﹣a＝0，①
2lnx2﹣x2﹣a＝0，②
由①②得，，
∴，
令，则，下证，即证：2tlnt﹣t2+1＜0．
设h（t）＝2tlnt﹣t2+1，h′（t）＝2+2lnt﹣2t，h“（t）2，
∵t＞1，∴h''（t）＜0，即h′（t）在（1，+∞）单调递减，
∴h′（t）＜h′（1）＝0，
∴h（t）在（1，+∞）单调递减，则h（t）＜h（1）＝0，
即2tlnt﹣t2+1＜0，∴．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明函数不等式，属难题．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．

【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．

解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
3．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
4．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
5．定积分、微积分基本定理
【定积分】
　定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．

【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．

例1：定积分
解：
∫12|3﹣2x|dx

＝（3x﹣x2）|（x2﹣3x）|

通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．

【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：
0⇔f（x）•g（x）＞0；

0⇔f（x）•g（x）＜0；

0⇔；

0⇔．
10．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

11．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，

2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（　　）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（　　）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3　 　
32＝1+3+5　　
42＝1+3+5+7
23＝3+5　 　
33＝7+9+11 　　
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+1136，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
12．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
13．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

14．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
15．直线与抛物线的综合
v．
16．圆的参数方程
【知识点的认识】
直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y﹣y0＝tan α（x﹣x0）
（t为参数）
圆
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2
（θ为参数）
椭圆
1（a＞b＞0）
（θ为参数）
双曲线
1
（θ为参数）
抛物线
y2＝2px（p＞0）
（t为参数）
【解题思路点拨】
1．选取参数时的一般原则是：
（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；
（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；
（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．
2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：
（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；
（2）选择适当的参数；
（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；
（4）证明（常常省略）．
3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；
（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；
（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝tM．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则tP．
4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．
5．参数方程与普通方程互化时，要注意：
（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；
（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；
（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．
6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．
7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．
8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．
17．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1⇒a＞b；b＜0，1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：

18．数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．

3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
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