2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．ad＞bcB．ac＞bdC．a﹣c＞b﹣dD．a+c＞b+d
2．（3分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
3．（3分）“a＝4”是“直线ax+2y＝0与直线2x+y＝1平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（3分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则其中正确的是（ ）
A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ2
7．（3分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1或a≥3B．a≤1C．a≥2D．a≤2或a≥3
8．（3分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为（ ）
A．150°B．135°C．120°D．30°
9．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
10．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．
11．（4分）若x2+y2+2x+y0表示圆方程，则a的取值范围是 ．
12．（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为 ．
13．（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为 ．
14．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是 ．
15．（4分）设双曲线x21的左，右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ．
16．（4分）已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y＝2，则的最小值是 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”为||P1P2||＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10的点轨迹长为 ．
三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
18．（8分）如图，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l斜率为1，求弦长|AB|；
（Ⅱ）若以OA，OB为邻边，作菱形OACB，求点C的轨迹方程．
19．（10分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）已知B，C为抛物线上的动点，且•0，直线BC与x轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．
20．（12分）如图1，2，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝CF＝1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上
（Ⅰ）求证：CD⊥BE；
（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；
（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m＝0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2y上动点，过点Q作抛物线C1的切线交椭圆于M，N，求△OMN的面积的最大值．
2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．ad＞bcB．ac＞bdC．a﹣c＞b﹣dD．a+c＞b+d
【解答】解：令a＝2，b＝﹣2，c＝3，d＝﹣6，
则2×3＜（﹣5）（﹣6）＝30，可排除A
2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B；
2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）＝4可排除C，
∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d（不等式的加法性质）正确．
故选：D．
2．（3分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
【解答】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：
若x≤﹣1，或x≥1，则x2≥1．
故选：D．
3．（3分）“a＝4”是“直线ax+2y＝0与直线2x+y＝1平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由直线ax+2y＝0与直线2x+y＝1平行，∴，解得a＝4．
∴a＝4”是“直线ax+2y＝0与直线2x+y＝1平行”的充要条件．
故选：C．
4．（3分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①∵m⊥α，m⊥n，∴n∥α或n⊂α，又n⊥β，∴α⊥β成立．
②若m∥α，m⊥n，则n∥α或n与α相交，∴α不一定平行β，∴②错误．
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，若n∥β，则α不一定平行β，∴③错误．
④若m⊥α，α∥β，∴m⊥β，又n∥β，∴m⊥n成立，∴④正确．
故选：B．
5．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：满足条件的四面体如右图，
依题意投影到yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，
故选：B．
6．（3分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则其中正确的是（ ）
A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ2
【解答】解：设三棱锥D﹣ABC是棱长为2的正四面体，
取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，
过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，
则∠DEC＝θ，∠DAO＝θ1，∠MNE＝θ2，
DE＝CE，DC＝2，
∴csθ，
AO＝CO，
∴csθ1，
取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，
又DE∩AE＝E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴θ2＝90°．
∴θ2≥θ≥θ1．
故选：A．
7．（3分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1或a≥3B．a≤1C．a≥2D．a≤2或a≥3
【解答】解：不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，
可得a≤|x﹣a2|+|x﹣2a|的最小值，
由|x﹣a2|+|x﹣2a|≥|x﹣a2﹣x+2a|＝|a2﹣2a|，
当且仅当（x﹣a2）（x﹣2a）≤0，取得等号，
则|a2﹣2a|≥a，
即为a2﹣2a≥a或a2﹣2a≤﹣a，
解得a≥3或a≤1，
故选：A．
8．（3分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为（ ）
A．150°B．135°C．120°D．30°
【解答】解：曲线y为圆x2+y2＝2的上半圆，
由题意可得△AOB的面积S•OA•OB•sin∠AOB•••sin∠AOB＝sin∠AOB，
当sin∠AOB＝1即∠AOB＝90°时，△AOB的面积取到最大值，
此时在RT△AOB中易得O到直线l的距离OD＝1，
在RT△POD中，易得sin∠OPD，可得∠OPD＝30°，
∴直线l的倾斜角为150°
故选：A．
9．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，
在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，
连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为M时，
则MN是△PEQ周长的最小值，
EM＝2，EN，∠MEN＝135°，
∴MN．
∴△PEQ周长的最小值为．
故选：B．
10．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cs，①
在椭圆中，①化简为即4c2＝4a2﹣3r1r2，
即，②
在双曲线中，①化简为即4c2＝4a12+r1r2，
即，③
联立②③得，4，
由柯西不等式得（1）（）≥（1）2，
即（）
即，d当且仅当时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cs（r1）2+（r2）2﹣r1r2，
由，得，
∴，
令m，
当时，，
∴，
即的最大值为，
法3：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，
则a1+a2＝m，
则，
由正弦定理得，
即sin（120°﹣θ）
故选：A．
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．
11．（4分）若x2+y2+2x+y0表示圆方程，则a的取值范围是 （﹣∞，0）∪（，+∞） ．
【解答】解：根据题意，若x2+y2+2x+y0表示圆方程，
则有4+1﹣40，
即0，
解可得：a＜0或a，
即a的取值范围为：（﹣∞，0）∪（，+∞）；
故答案为：（﹣∞，0）∪（，+∞）．
12．（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为 15 ．
【解答】解：由已知约束条件得到可行域如图：
由z＝x+3y得到y，当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，
由，解得B（3，4），
所以z 的最大值为3+12＝15；
故答案为：15
13．（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为 25π ．
【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，
∴长方体底面边长为2．
则长方体外接球半径为r，则2r5．
∴r．
∴长方体外接球的表面积S＝4πr2＝25π．
故答案为：25π．
14．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是 90° ．
【解答】解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点
则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：
设PQ＝a，则∵∠BPM＝∠BPN＝45°
∴QM＝QN＝a
PM＝PNa
又由∠MPN＝60°，易得△PMN为等边三角形
则MNa
解三角形QMN易得∠MQN＝90°
故答案为：90°
15．（4分）设双曲线x21的左，右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 （4，2）∪（8，+∞） ．
【解答】解：由双曲线x21，得a2＝1，b2＝3，
∴c2，
不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，
把x＝2代入x21，得y＝±3，即|PF2|＝3，
此时|PF1|＝|PF2|+2＝5，则|PF1|+|PF2|＝8；
由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，
又|PF1|﹣|PF2|＝2，①
两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|＝4，
∴|PF1|•|PF2|＝6，②
联立①②解得：|PF1|＝1，
|PF2|＝﹣1，
此时|PF1|+|PF2|＝2，
且|PF1|+|PF2|＞2c＝4，
由如图可知，
使△F1PF2为钝角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（4，2）∪（8，+∞）．
故答案为：（4，2）∪（8，+∞）．
16．（4分）已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y＝2，则的最小值是 ．
【解答】解：根据题意，实数满足x＞y＞0且x+y＝2，
则（）[（x+3y）+（x﹣y）]（）
（5）（5+4），
当且仅当（x+3y）＝2（x﹣y）即x，y时等号成立，
则的最小值是；
故答案为：．
17．（4分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”为||P1P2||＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10的点轨迹长为 8+2 ．
【解答】解：设动点的坐标为（x，y），
由平面内动点与A（1，1），
B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）
的“L距离”之和等于10，
可得|x﹣1|+|y﹣1|+|x+1|+|y﹣1|+|x+1||y+1|+|x﹣1|+|y+1|＝10，
化为|x+1|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣1|＝5，
讨论可得x≥1，y≥1时，方程化为x+y＝2.5；x≥1，﹣1＜y＜1时，
即有x＝1.5；x≥1，y≤﹣1，即有x﹣y＝2.5；
﹣1＜x＜1，y≥1时，方程化为y＝1.5；﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1时，方程不成立；﹣1＜x＜1，y≤﹣1，即有y＝﹣1.5；
x≤﹣1，y≥1时，方程化为﹣x+y＝2.5；x≤﹣1，﹣1＜y＜1时，即有x＝﹣1.5；x≤﹣1，y≤﹣1，即有﹣x﹣y＝2.5．
作出动点的轨迹可得：
轨迹的长度为2×44＝8+2，
故答案为：8+2．
三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
18．（8分）如图，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l斜率为1，求弦长|AB|；
（Ⅱ）若以OA，OB为邻边，作菱形OACB，求点C的轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆O：x2+y2＝4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B两点，
直线l斜率为1，
∴直线l的方程为y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0，
圆心O（0，0）到直线的距离d，
∴弦长|AB|2．
（Ⅱ）∵以OA，OB为邻边，作菱形OACB，OA＝OB＝2，点P（1，0），
∴OP＝1，
连结OC，PC，由菱形的性质得：AB⊥OC，
∴OP＝PC＝1，
∴点C的轨迹是以P（1，0）为圆心，以r＝1为半径的圆，且C与圆点O不重合，
∴点C的轨迹方程为：（x﹣1）2+y2＝1，（x≠0）．
19．（10分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）已知B，C为抛物线上的动点，且•0，直线BC与x轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，
抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1，
∴1，解得p＝2．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抛物线方程为y2＝4x，
设直线CB的方程为：x＝my+t，C（，y1），B（），
直线与抛物线联立：，得：y2﹣4my﹣4t＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，…（5分）
∵，，
∴kOC•kOB1，则t＝4，
∴直线CB过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），…（7分）
∴（）+16+y1y2＝﹣16m2﹣16，
∴||•||＝16m2+16≥16，
当且仅当m＝0时，|PC|•|PB|取最小值16．…（10分）
20．（12分）如图1，2，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝CF＝1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上
（Ⅰ）求证：CD⊥BE；
（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；
（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵BH⊥平面CDE，∴BH⊥CD，
又CD⊥DE，BH∩DE＝H，
∴CD⊥平面DBE，
∵BE⊂平面DBE，∴CD⊥BE．…（4分）
（Ⅱ）设BH＝h，EH＝k，过F作FG垂直ED于点G，
∵线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得
，
∴，
解得h＝2，k＝1，∴线段BH的长度为2．
又∵BE，∴HE＝1，又F是DC中点，∴HF∥EC，
∵HF⊄平面ABCE，EC⊂平面ABCE，
∴HF∥平面ABCE．…（8分）
解：（Ⅲ）延长BA交CE于点M，AE＝1，BC＝3，
∵AE：BC＝MA：MB＝1：3，
∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，
∴点A到平面EFCD的距离为，而AF，
故直线AF与平面EFCD正弦值为．…（12分）
21．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m＝0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2y上动点，过点Q作抛物线C1的切线交椭圆于M，N，求△OMN的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，
不过原点的直线l：x+2y+m＝0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
∴，
解得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为：1．…（4分）
（Ⅱ）设抛物线在Q点的切线方程为y＝kx+m，
由，得3x2﹣2kx﹣2m＝0，
△＝4k2+24m＝0，
∴k2＝﹣6m，且m＜0，①…（6分）
由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2，x1x2，
|MN|•|x1﹣x2|
•
•
＝4••，…（8分）
点O到切线距离d，
∴
＝2•，…（10分）
令t，
∵t在m∈[，0）上是减函数，∴0＜t，
在（0，]上递增，
∴t，即m时，S△MND取最大值．…（12分）
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日期：2019/4/17 13:15:06；用户：wangkan；邮箱：wangkan@100tal.cm；学号：20373737