2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科），共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知命题p：∀x＞0，ex≥ex，写出命题p的否定： ．
2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为 ．
3．（5分）已知f（x）＝ex•sinx，则f′（0）的值为 ．
4．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是 ．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为 ．
6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为 ．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为 ．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•15，则PO的最大值是 ．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是 ．
12．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，λ．若MN⊥AD，则实数λ＝ ．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2，求点P到y轴的距离．
16．（14分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为1，求：
（1）直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；
（2）平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．
18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．
（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．
19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．
（1）若点A的坐标为 （0，），求点B坐标；
（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；
（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．
20．（16分）已知函数f（x）＝alnx，a∈R．
（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；
（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且h（x2）﹣h（x1），求a的取值范围．
2018-2019学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．（5分）已知命题p：∀x＞0，ex≥ex，写出命题p的否定： ∃x＞0，ex＜ex ．
【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x＞0，ex≥ex，的否定是：∃x＞0，ex＜ex．
故答案为：∃x＞0，ex＜ex．
2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为 x ．
【解答】解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．
抛物线的准线方程为：x．
故答案为：x
3．（5分）已知f（x）＝ex•sinx，则f′（0）的值为 1 ．
【解答】解：f（x）＝ex•sinx，f′（x）＝（ex）′sinx+ex．（sinx）′＝ex•sinx+ex•csx，∴f'（0）＝0+1＝1
故答案为：1
4．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是 3 ．
【解答】解：由（z﹣2）i＝1+i得，z3﹣i，
所以复数的实部为：3．
故答案为：3．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为 ．
【解答】解：椭圆C：y2＝1，可得e，
由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，
d．
故答案为：．
6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为 1 ．
【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．
化z＝x+2y为yx，由图可知，当直线yx过B（3，﹣1）时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．
故答案为：1．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的 必要不充分 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，
又“m＞0”是“”的必要不充分条件，
所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为 ．
【解答】解：双曲线y2＝1的一个顶点为A（2，0），
双曲线的一条渐近线为yx，即x﹣2y＝0，
则点到直线的距离公式d，
故答案为：．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•15，则PO的最大值是 3 ．
【解答】解：设P（x，y），则（4﹣x，﹣y），（﹣x，2﹣y）
∵•15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，
即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，
∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，
∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．
故答案为：3．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 （1，1） ．
【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，
过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），
∵△AF1B是锐角三角形，
∴∠AF1F2＜45°，∴tan∠AF1F2＜1，
∴1，
整理，得b2＜2ac，
∴a2﹣c2＜2ac，
两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，
解得e1，或e1，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．
故答案为：（1，1）．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是 [﹣2，1] ．
【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，
圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，
若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，
变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，
解可得：﹣2≤a≤1，
即a的取值范围为[﹣2，1]；
故答案为：[﹣2，1]．
12．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，λ．若MN⊥AD，则实数λ＝ 4 ．
【解答】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），
（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），
∵λ，∴﹣2，∴b，
∴N（0，，0），（，，），（，0），
∵MN⊥AD，∴10，
解得实数λ＝4．
故答案为：4．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是 3 ．
【解答】解：设P（x，y），可得y2＝2x，
圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，
|PB||x|，
即|PB|为P到y轴的距离，
抛物线的焦点F（，0），准线方程为x，
可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK||PA|+|PF|，
过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|，
即有|PA|+|PB|的最小值为3．
故答案为：3．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是 （1，2） ．
【解答】解：令f'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，
其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：
x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．
因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，
结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：
f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，
整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），
故答案为：（1，2）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2，求点P到y轴的距离．
【解答】解（1）因为椭圆E：1（a＞b＞0）经过点A（4，0），
所以 a＝4． …………………（2分）
又椭圆E的离心率e，所以c＝2． …………………（4分）
所以b2＝a2﹣c2＝4．
因此椭圆E的方程为 …………………（6分）
（2）：由椭圆E的方程为．知F1（﹣2，0），F2（2，0）．设P（x，y）．
因为∠F1PF2，所以•0，所以x2+y2＝12． …………………（10分）
由解得x2． …………………（12分）
所以|x|，即P到y轴的距离为． …………………（14分）
16．（14分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为1，求：
（1）直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；
（2）平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．
【解答】（本题满分14分）
解：如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 ，侧棱长为1，
故以 {，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz．
则D（0，0，0），A（，0，0），A1（，0，1），
C（0，，0），D1（0，0，1）．
（1）因为（0，，0）﹣（，0，1）＝（，，﹣1），
（0，0，1）﹣（，0，0）＝（，0，1），……………（2分）
所以（）×（）+（﹣1）×1＝1，
||，||，
从而 cs． …………………（5分）
又异面直线所成的角的范围是（0，]，
所以直线A1C与直线AD1所成角的余弦值为． …………………（6分）
（2）（，，0），（，0，1），
设平面D1AC的一个法向量为n＝（x，y，z），
则，取x＝1，可得（1，1，）． …………………（9分）
在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DA⊥平面ABB1A1，
又（，0，0）（1，0，0），
所以（1，0，0）为平面ABB1A1的一个法向量． …………………（11分）
因为cs，，且0，π，
所以．
因此平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值为．…………………（14分）
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，﹣6），
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得，
所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．
方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
令y＝0，得x2+Dx+F＝0．
因为圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点，
所以 x2+Dx+F＝0与方程x2﹣x﹣6＝0同解，
所以D＝﹣1，F＝﹣6．
因此圆C：x2+y2﹣x+Ey﹣6＝0．
因为抛物线y＝x2﹣x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），
又所以点（0，﹣6）也在圆C上，所以36﹣6E﹣6＝0，解得E＝5．
所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．
（2）由（1）可得，圆C：（x）2+（y）2，
故圆心C（，），半径r．
因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB．
所以C到直线l的距离d．
①当直线l的斜率不存在时，l：x＝﹣2，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x+2），即kx﹣y+（2k+5）＝0，
所以，解得k，
所以直线l：y﹣5（x+2），即4x+3y﹣7＝0．
综上，所求直线l的方程为x＝﹣2和4x+3y﹣7＝0．
18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．
（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．
【解答】解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．
因为半圆形铁皮的面积为15π，所以πr2＝15π，即r2＝30．
因为 2πr1＝2，所以r1，
同理2πr2＝2，即r2．
所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f（x）＝（πr12+πr22）x（60x﹣5x3）．
因为0＜2x＜r，所以x的取值范围是（0，）．
（2）由f（x）（60x﹣5x3），得f′（x）（60﹣15x2），
令f′（x）＝0，因为x∈（0，），故x＝2．
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，）上为减函数，
所以当x＝2时，f（x）取得极大值，也是最大值．
因此f（x）的最大值为f（2）．
答：两个圆柱体积之和V的最大值为．
19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．
（1）若点A的坐标为 （0，），求点B坐标；
（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；
（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．
【解答】（1）解：∵直线l经过点F2（1，0），A（0，），
∴直线l的方程为y（x﹣1）．
由，解得或．
∴B（）；
（2）证明：∵直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x＝ty+1．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，
∴y1+y2，y1y2，
∵A，B在直线l上，∴x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，
∴k1，k2，
从而 k1+k2．
∵2ty1y2﹣3（y1+y2）＝2t•（）﹣3•（）＝0，
∴k1+k2＝0；
（3）解：△AF1B的面积S|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|．
由（2）知，y1+y2，y1y2，
故S12
．
设函数f（x）＝9x （x≥1）．
∵f'（x）＝90，∴f（x）＝9x在[1，+∞）上单调递增，
∴当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）取最小值10．
即当t＝0时，△AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x＝1．
因此，△AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x＝1．
20．（16分）已知函数f（x）＝alnx，a∈R．
（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；
（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且h（x2）﹣h（x1），求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx，f′（x）．
设直线y＝x+m与曲线y＝f（x）相切于点 （x0，2lnx0），
则 1，即2x0+1＝0，
解得 x0＝1，即切点为（1，1），
因为切点在y＝x+m上，所以1＝1+m，解得m＝0． …………………（3分）
（2）不等式f（x）＞1可化为alnx1＞0．
记g（x）＝alnx1，则g（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立．
考察函数g（x）＝alnx1，x＞0，g′（x）．
当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝0，
所以g（2）＜g（1）＝0，不合题意； …………………（5分）
当a＞0时，x∈（0，），g′（x）＜0；x∈（，+∞），g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
若1，即a≥1时，g（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝0，符合题意； …………………（7分）
若1，即0＜a＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，
所以当x∈（1，）时，g（x）＜g（1）＝0，不符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）． …………………（9分）
（3）方法一：h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，h′（x）1，
因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
所以h′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0的两实数根为x1，x2，0＜x1＜x2，
所以x1+x2＝a，x1x2＝1，△＝a2﹣4＞0，所以a＞2，0＜x1＜1＜x2，
从而h（x2）﹣h（x1）＝（alnx2x2）﹣（alnx1x1）＝2（alnx2x2）
＝2[（x2）lnx2x2]． …………………（12分）
记m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1．
则m′（x）＝2[（1）lnx+（x）•1]＝2（1）lnx≥0 （当且仅当x＝1时取等号），
所以m（x）在[1，+∞）上单调递增，又m（e），
不等式h（x2）﹣h（x1） 可化为m（x2）≤m（e），所以1＜x2≤e．…………（14分）
因为a＝x2，且y＝x在（1，+∞）上递增，所以2＜a≤e，
即a的取值范围为（2，e]． …………………（16分）
方法二：h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，h′（x）1．
因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
所以h′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0的两实数根为x1，x2，0＜x1＜x2，
所以x1+x2＝a，x1x2＝1，△＝a2﹣4＞0，所以a＞2，0＜x1＜1＜x2．
设t2（t＞1），则x1+t2x1＝a，t21，所以x1，a＝t，x2＝t，
从而h（x2）﹣h（x1） 等价于 h（t）＝（t）lntt，t＞1．……………（12分）
记m（x）＝（x）lnxx，x≥1．
则m′（x）＝（1）lnx（x）1＝（1）lnx≥0 （当且仅当x＝1时取等号），
所以m（x）在[1，+∞）上单调递增．
又t＞1，m（e），所以1＜t≤e． …………………（14分）
因为a＝t，且y＝x在（1，+∞）上递增，所以2＜a≤e，
即a的取值范围为（2，e]． …………………（16分）
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日期：2019/12/27 12:22:15；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265