2018-2019学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝3，则边b＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜1，命题q；x≥﹣2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，a4＝8，则a6＝（ ）
A．15B．24C．32D．64
4．（5分）已知实数a＞b，则以下不等式中恒成立的是（ ）
A．a3＞b3B．a2＞b2
C．（）a＞（）bD．
5．（5分）将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a22＝2，则表中所有数之和为（ ）
A．2B．18C．20D．512
6．（5分）已知x，则函数y＝4x取最小值为（ ）
A．﹣3B．2C．5D．7
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值是（ ）
A．0B．4C．5D．6
8．（5分）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足•0，•0，•0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形
9．（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
12．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若{}是等差数列，则（）+（）…+（）＝（ ）
A．4036B．4038C．4030D．4032
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．
13．（5分）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 ．
14．（5分）在等比数列{an}中，a3、a8是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则a1•a10＝ ．
15．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+b的两个零点是﹣2和3，则不等式af（﹣2x）＞0的解集是 ．
16．（5分）已知抛物线C：x2＝8y，F是焦点，点A（﹣2，4），若点P在抛物线上，且|PF|+|PA|的值最小，则点P的坐标为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分共70分；解答要写出证明过程或解题步骤．
17．（10分）给定命题p：关于x的方程x2+ax+a＝0无实根；命题q：函数y在（0，+∞）上单调递减．已知p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝16，a4＝7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求的值．
19．（12分）在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b，c＝1，csB．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．
20．（12分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x．
（1）求方程f（x）＝2的实根；
（2）若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝4，，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P﹣BC﹣D的大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
22．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与直线l1：x6＝0相切，设点A为圆上一动点，AB⊥x轴于B，且动点N满足•，设动点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与直线11垂直且与曲线C交于B，D两点，求△OBD面积的最大值．
2018-2019学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝3，则边b＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：∵B＝135°，C＝15°，
∴A＝180°﹣B﹣C＝30°，
∴由正弦定理，可得：．
故选：C．
2．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜1，命题q；x≥﹣2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：依题意可p⇒q成立，反之不成立．
即p是q的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5分）已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，a4＝8，则a6＝（ ）
A．15B．24C．32D．64
【解答】解：由a1＝1，a4＝8可得公比q＝2，
故．
故选：C．
4．（5分）已知实数a＞b，则以下不等式中恒成立的是（ ）
A．a3＞b3B．a2＞b2
C．（）a＞（）bD．
【解答】解：f（x）＝x3是增函数，易知选项A正确，
当a＝1，b＝﹣1时，a2＞b2不成立
由（）a＞（）b，得a＜b，则C错误，
a＝1，b＝﹣1时，不成立，
故选：A．
5．（5分）将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a22＝2，则表中所有数之和为（ ）
A．2B．18C．20D．512
【解答】解：∵每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，
∴a11+a12+a13＝3a12，
a21+a22+a23＝3a22，
a31+a32+a33＝3a32，
∵每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，
∴a12+a22+a32＝3a22，
∴表中所有数之和为9a22＝9×2＝18，
故选：B．
6．（5分）已知x，则函数y＝4x取最小值为（ ）
A．﹣3B．2C．5D．7
【解答】解：∵x，∴4x﹣5＞0．
则函数y＝4x4x﹣555＝7，当且仅当x时取等号．
∴函数y＝4x取最小值为7．
故选：D．
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值是（ ）
A．0B．4C．5D．6
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，
平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，
直线的截距最大，此时z最大．
由，解得，
即A（2，0），此时zmax＝3×2＝6，
故选：D．
8．（5分）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足•0，•0，•0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形
【解答】解：∵，
∴故∠B是锐角，
同理∠D，∠C都是锐角，故△BCD是锐角三角形，
故选：B．
9．（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
【解答】解：根据图形可知∠ACB＝120°，
在△ABC中，|AC|＝|BC|＝2km，
根据余弦定理得：|AB|2＝22+22﹣2×2×2cs120°＝12，
所以A，B 之间的距离为2km．
故选：A．
10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，
A（1，1，1），C（0，0，1），M，N．
∴，．
∴，．
设异面直线AM与CN所成角为θ．
则csθ．
故选：B．
11．（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
【解答】解：∵椭圆与双曲线有共同的焦点，
∴4+m2﹣m2＝a2+b2，
∴双曲线的焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）
设F＝（2，0）
其渐近线方程为y＝±x，
∵焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，
∴22，
∴，
∴b，
∴a2＝c2﹣b2＝1，
∴e2，
故选：A．
12．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若{}是等差数列，则（）+（）…+（）＝（ ）
A．4036B．4038C．4030D．4032
【解答】解：数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，
可得an＝qn﹣1，an+an+1＝（1+q）•qn﹣1，
则{}为等比数列，
由是等差数列可得q＝1，
故an＝1，．原式共4032项，
故答案为：4032．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．
13．（5分）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 18 ．
【解答】解：由双曲线的方程可得 a＝4，由双曲线的定义可得 点P到右焦点的距离等于 2a
加上点P到左焦点的距离，故点P到右焦点的距离为 8+10＝18，
故答案为：18．
14．（5分）在等比数列{an}中，a3、a8是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则a1•a10＝ ﹣5 ．
【解答】解：由a3、a8是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，可得a3a8＝﹣5，
由等比数列性质可知a1•a10＝a3a8＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+b的两个零点是﹣2和3，则不等式af（﹣2x）＞0的解集是 ．
【解答】解：∵f（x）＝x2+ax+b的两个零点是﹣2，3．
∴﹣2，3是方程x2+ax+b＝0的两根，
由根与系数的关系知，∴，
∴f（x）＝x2﹣x﹣6．
∵不等式af（﹣2x）＞0，即﹣（4x2+2x﹣6）＞0
⇔2x2+x﹣3＜0，
解集为．
故答案为
16．（5分）已知抛物线C：x2＝8y，F是焦点，点A（﹣2，4），若点P在抛物线上，且|PF|+|PA|的值最小，则点P的坐标为 （﹣2，） ．
【解答】解：过点P向抛物线的准线y＝2作垂线PN，则|PF|＝|PN|，
∴|PF|+|PA|＝|PA|+|PN|，
∴当P，A，N三点共线时，|PN|+|PA|的值最小，
显然P点横坐标为xP＝﹣2，代入抛物线方程可得yP．
故答案为：（﹣2，）．
三、解答题：本大题共6小题，满分共70分；解答要写出证明过程或解题步骤．
17．（10分）给定命题p：关于x的方程x2+ax+a＝0无实根；命题q：函数y在（0，+∞）上单调递减．已知p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：由方程x2+ax+a＝0无实根，可得△＝a2﹣4a＜0
解得0＜a＜4
即命题p：0＜a＜4…………………………（3分）
由函数在（0，+∞）上单调递减，可得1﹣4a＞0，解得
即命题q：（6分）
∵p∨q是真命题，p∧q是假命题
∴p、q两个命题真假性相反 …………………………（7分）
∴或（9分）
解得或a≤0
∴实数a的取值范围为（10分）
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝16，a4＝7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由题意得
因为{an}是等差数列
所以当n+m＝k+l时则an+am＝ak+al
所以S4＝a1+a2+a3+a4
＝2（a1+a4）＝16
由∵a4＝7
∴a1＝1
∴d＝2
所以数列{an}的通项公式是an＝2n﹣1．
（2）由（1）得an＝2n﹣1
∴
所以



∴的值是．
19．（12分）在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b，c＝1，csB．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵b，c＝1，csB．
∴sinB，
∴由正弦定理可得：sinC4分
（2）∵c＜b，C为锐角，
∴由（1）可得：csC，
∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
∴S△ABCbcsinA12分
20．（12分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x．
（1）求方程f（x）＝2的实根；
（2）若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值．
【解答】解：（1）方程f（x）＝2，即2x+2﹣x＝2，亦即（2x）2﹣2×2x+1＝0，
所以（2x﹣1）2＝0，于是2x＝1，解得x＝0．
（2）∵f（x）＝3，2x+2﹣x＝3
∴f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2＝32﹣2＝7，
由条件知f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2＝（f（x））2﹣2．
因为f（2x）≥mf（x）﹣6对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，
所以m≤f（x）对于x∈R恒成立．
令g（x）＝f（x）24，
当且仅当f（x）＝2x+2﹣x＝2，即x＝0时取等号．
所以m≤4，故实数m的最大值为4．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝4，，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P﹣BC﹣D的大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
AB＝2AD＝4，，PD⊥底面ABCD．
∴CD2＝BC2+BD2，∴BC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．
解：（2）由（1）所证，BC⊥平面PBD，∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD，
∵BD＝2，∴PD＝2，∵底面ABCD为平行四边形，
∴DA⊥DB，
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），P（0，0，2），
∴（﹣2，0，2），（﹣2，0，0），（0，﹣2，2），
设平面PBC的法向量为（a，b，c），
则，令b＝1，得（0，1，），
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝．
22．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与直线l1：x6＝0相切，设点A为圆上一动点，AB⊥x轴于B，且动点N满足•，设动点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与直线11垂直且与曲线C交于B，D两点，求△OBD面积的最大值．
【解答】解：（1）设动点N（x，y），A（x0，y0），
因为AB⊥x轴于B，所以B（x0，0），
由题意得r3，
所以圆O的方程为x2+y2＝9．…………………………………………………………………………（2分）
由题意，得，所以（0，﹣y0）（x0﹣x，﹣y），
所以，即，
将A（x，）代入圆x2+y2＝9，得动点N的轨迹方程1．………………………………（5分）
（2）由题意可设直线l：，
设直线l与椭圆1交于B（x1，y1），D（x2，y2），
联立方程，得10x2+63m2﹣9＝0，
△＝108m2﹣10×4（3m2﹣9）＞0，解得m2＜30，
x1，2，………………………………………（7分）
又因为点O到直线l的距离d，|BD|＝2|x1﹣x2|＝2，…………………………（9分）
S△OBD．………………………（11分）
（当且仅当m2＝30﹣m2，即m2＝15时取到最大值）
∴△OBD面积的最大值为．…………………………………………………………………………（12分）
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