2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科），共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）不等式x2+3x﹣4＞0的解集为（ ）
A．{x|x＞1或x＜﹣4}B．{x|x＞﹣1或x＜﹣4}
C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞4}
2．（5分）已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（ ）
A．a+c＞b+cB．ac＞bcC．ac＜bD．bc＜a
3．（5分）已知等差数列{an}的公差是3，且a6+a8＝16，则a10＝（ ）
A．16B．17C．18D．20
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，c，C＝60°，则角B＝（ ）
A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°
5．（5分）双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，则它的渐近线为（ ）
A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±x
6．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，）是椭圆C上一点．则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知各项为正的等比数列{an}，其公比为q，且对任意n∈N*有an+2＝an+1+2an，则q＝（ ）
A．B．C．2D．1
8．（5分）如图，在四面体O﹣ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若xyz，则（x，y，z）为（ ）
A．（）B．（）C．（）D．（）
9．（5分）已知x，y∈R*，xy＝2x+y，则x+y取得最小值时，x＝（ ）
A．B．1C．1D．1
10．（5分）已知抛物线x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，点Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则△PFQ的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）设f（x）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足4034，则m＝（ ）
A．2016×2017B．20172C．2017×2018D．2018×2019
12．（5分）如图，四边形ABCD中，CE平分∠ACD，AE＝CE＝2，DE，若∠ABC＝∠ACD，则四边形ABCD周长的最大值为（ ）
A．24B．12+3C．18D．3（5）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上)
13．（5分）已知向量（k，1，﹣1），（2，1，﹣2），若⊥，则实数k＝ ．
14．（5分）实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最小值是 ．
15．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则椭圆的短轴为 ．
16．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0．q：实数t满足曲线1为双曲线．
（1）若a＝1，且￢p为假，求实数t的取值范围；
（2）若a＞0，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为，且，求c的值．
19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：bn＝lg3an+1，{bn}的前n项和为Tn，求的值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝ABCD＝2．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）线段PC上是否存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为？如存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
21．（12分）2018年10月23日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海放游线路增添新亮点，某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会，据市场调查，当每张门票售价定为x元时，销售量可达到（15﹣0.1x）万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元（每张门票的销售利润＝售价﹣供货价格）
（1）求出每张门票所获利润f（x）关于售价x的函数关系式，并写出定义域；
（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．
22．（12分）已知椭圆C1：1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）设椭圆C1上一动点T满足：2，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为，若N（λ，μ）为一动点，点P满足，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．
2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）不等式x2+3x﹣4＞0的解集为（ ）
A．{x|x＞1或x＜﹣4}B．{x|x＞﹣1或x＜﹣4}
C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞4}
【解答】解：由x2+3x﹣4＞0得（x﹣1）（x+4）＞0得x＞1或x＜﹣4，
即不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}，
故选：A．
2．（5分）已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（ ）
A．a+c＞b+cB．ac＞bcC．ac＜bD．bc＜a
【解答】解：∵0＜a＜b，0＜c＜1，
∴ac＜bc＜b
故选：C．
3．（5分）已知等差数列{an}的公差是3，且a6+a8＝16，则a10＝（ ）
A．16B．17C．18D．20
【解答】解：根据题意，数列{an}时等差数列，故a6+a8＝2a7＝16，所以a7＝8，又因为d＝3，
所以a10＝a7+3d＝8+3×3＝17，
故选：B．
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，c，C＝60°，则角B＝（ ）
A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°
【解答】解：由正弦定理得，得，得sinB，
又b＜c，∴B＜C，∴B＝45°，
故选：A．
5．（5分）双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，则它的渐近线为（ ）
A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±x
【解答】解：由双曲线的离心率为，
则e，即ca，
ba，
由双曲线的渐近线方程为yx，
即有yx．
故选：B．
6．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，）是椭圆C上一点．则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：2a4，解得a＝2．
又c＝1，∴e．
故选：A．
7．（5分）已知各项为正的等比数列{an}，其公比为q，且对任意n∈N*有an+2＝an+1+2an，则q＝（ ）
A．B．C．2D．1
【解答】解：数列{an}是等比数列，
故a1•q≠0，
又因为对任意n∈N*有an+2＝an+1+2an，
即，
所以q2﹣q﹣2＝0，
解得q＝2或q＝﹣1（舍）．
故选：C．
8．（5分）如图，在四面体O﹣ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若xyz，则（x，y，z）为（ ）
A．（）B．（）C．（）D．（）
【解答】解：∵22（），∴（）（）（）（），
即，根据空间向量基本定理可得x＝y＝z，
故选：D．
9．（5分）已知x，y∈R*，xy＝2x+y，则x+y取得最小值时，x＝（ ）
A．B．1C．1D．1
【解答】解：因为x，y∈R*，xy＝2x+y，所以1，
则x+y＝（）（x+y）＝33，（当且仅当时取等号），
又xy＝2x+y，解得x，
故选：B．
10．（5分）已知抛物线x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，点Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则△PFQ的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），
抛物线x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2，对称轴为y轴，
∴|PF|＝y0y0+2＝6，Q（0，﹣2），
∴y0＝6，|FQ|＝4，
∴x0＝±4
∴S△PFQ|FQ|•|x0|4×48，
故选：D．
11．（5分）设f（x）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足4034，则m＝（ ）
A．2016×2017B．20172C．2017×2018D．2018×2019
【解答】解：由1，1，2个
，，，，4个
，，，，，，6个
，，，8个
…
，
∴1×2462n＝4034，
则4034，则2n＝4034，则n＝2017，
∴总共有2017个，
则f（），
故m的值为2017×2018；
故选：C．
12．（5分）如图，四边形ABCD中，CE平分∠ACD，AE＝CE＝2，DE，若∠ABC＝∠ACD，则四边形ABCD周长的最大值为（ ）
A．24B．12+3C．18D．3（5）
【解答】解：设∠ABC＝∠ACD＝θ，则由CE平分∠ACD，可得：∠ACE＝∠ECD，
∵AE＝CE＝2，DE，设CD＝x，
∴由，可得：，可得：AC＝2x，
∴在△DEC中，由余弦定理DE2＝CD2+CE2﹣2CD，可得：3＝x2+12﹣2cs，可得：﹣9＝x2﹣4x•cs，①
在△AEC中，由余弦定理AE2＝AC2+CE2﹣2CE•AC•cs，可得：12＝（2x）2+12﹣22x×cs，可得：0＝4x2﹣8x•cs，②
∴由①②联立解得：x＝3，可得：CD＝3，AC＝6，
∴在△ACD中，由余弦定理可得：csθ，
∴在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•csθ，可得：36＝AB2+BC2﹣2AB•BC•AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC，当且仅当AB＝BC时等号成立，
∴（AB+BC）2＝36+3AB•BC≤36+3×36＝144，解得：AB+BC≤12，当且仅当AB＝BC时等号成立，
∴四边形ABCD周长AB+BC+CD+DA＝33+AB+BC≤33（5），当且仅当AB＝BC时等号成立．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上)
13．（5分）已知向量（k，1，﹣1），（2，1，﹣2），若⊥，则实数k＝ ．
【解答】解：向量（k，1，﹣1），（2，1，﹣2），
若⊥，
则：2k+1+2＝0，
解得：k，
故答案为：．
14．（5分）实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最小值是 1 ．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．
故答案为：1．
15．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则椭圆的短轴为 2 ．
【解答】解：由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2|PF1|•|PF2|，
∴|PF1|•|PF2|＝4．
再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a．
再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2PF1•PF2•cs120°＝（|PF1|+|PF2|）2﹣PF1•PF2＝4a2﹣4，
∴b2＝1，
即椭圆的短轴为2b＝2，
故答案为：2．
16．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则 ．
【解答】解：如图所示，
由题意可得：c＝3，e，b2＝a2﹣c2．
联立解得：解得a＝5，b＝4．
∴1．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．D（x0，y0）．
由1，1．
相减可得：0，∴0，
可得：kOD，
同理可得：kOE，kOM．
∴（kOD+kOE+kOM）．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0．q：实数t满足曲线1为双曲线．
（1）若a＝1，且￢p为假，求实数t的取值范围；
（2）若a＞0，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，因为￢p为假，即命题p为真，
即实数t满足t2﹣5t+4＜0．解得1＜t＜4，
故实数t的取值范围为：（1，4）
（2）当a＞0时，
当命题p为真时，得命题p：a＜t＜4a，命题q：（2﹣t）（6﹣t）＜0，即命题q：2＜t＜6，
又q是p的充分不必要条件，
得：，解得，
故实数a的取值范围：[]
18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为，且，求c的值．
【解答】解：（1）由题意知，
根据正弦定理得，得sinC，
∵C是锐角三角形的内角，
∴C．
（2）因为S△ABCabsinC，
∴ab＝4，
又∵，∴a+b＝4，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcsC＝（a+b）2﹣3ab＝48﹣12＝36，
∴c＝6．
19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：bn＝lg3an+1，{bn}的前n项和为Tn，求的值．
【解答】解：（1）a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1（n∈N*）．
可得Sn﹣3Sn﹣1＝1，n≥2，
相减可得an+1＝3an，
则数列{an}为首项为1，公比为3的等比数列，
可得an＝3n﹣1；
（2）bn＝lg3an+1＝lg33n＝n，
前n项和为Tnn（n+1），
2（），
可得2（1）
＝2（1）．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝ABCD＝2．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）线段PC上是否存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为？如存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
【解答】证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成角为45°，
∴∠PAD＝45°，∴AD＝PD＝2，
在Rt△BAD中，BD2＝BA2+AD2＝8，
过B作CD的垂线BF，则在Rt△BFC中，
BC2＝BF2+CF2＝8，
在△BCD中，BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，
∵BD∩PD＝D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．
解：（2）∵PD⊥平面ABCD，且AD⊥DC，
∴以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），C（0，4，0），
（2，2，﹣2），（2，2，0），（0，2，1），
由（1）知平面PBD的法向量（﹣2，2，0），
设（0，4λ，﹣2λ），（λ∈（0，1）），∴E（0，4λ，2﹣2λ），
（0，4λ，2﹣2λ），92，2，0），
令平面BDE的法向量（x，y，z），
则，即，
取z＝1，得（，，1），
∵二面角P﹣BD﹣E的余弦值为，
∴|cs|，
由λ∈（0，1），解得，此时1．
∴线段PC上存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为，1．
21．（12分）2018年10月23日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海放游线路增添新亮点，某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会，据市场调查，当每张门票售价定为x元时，销售量可达到（15﹣0.1x）万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元（每张门票的销售利润＝售价﹣供货价格）
（1）求出每张门票所获利润f（x）关于售价x的函数关系式，并写出定义域；
（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．
【解答】解：（1）当每张门票售价定为100元时，销售量可达到（15﹣0.1×100）＝5万张．
令每张门票的浮动价格为（k＞0）元．则每张门票供货价格为30元．
故旅游公司获得的总利润为5350﹣k＝340，解得k＝10．
∴f（x）＝x﹣（30），x＜150，x∈N．
（2）由（1）可知：
f（x）＝x30120≤﹣2120＝100，当且仅当150﹣x＝10，解得x＝140时取等号，
因此每张门票售价定为140元时，每张门票所获利润最大，并求出该最大值为100．
22．（12分）已知椭圆C1：1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）设椭圆C1上一动点T满足：2，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为，若N（λ，μ）为一动点，点P满足，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2（，0），
∴Q（），
∵过Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2，
∴，
得p，
∴，
又，
∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C1的方程为：；
（2）设T（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
则由，
得x＝λx1+2μx2，y＝λy1+2μy2，
∵点T，A，B在椭圆C1上，
∴x2+4y2＝4，
，
，
∴x2+4y2＝（λx1+2μx2）2
4λμ（x1x2+4y1y2）
＝4，
由直线OA，OB的斜率之积为可得，
，
即x1x2+4y1y2＝0，
∴λ2+4μ2＝1，
故N（λ，μ）在椭圆上，
由Q，，
可得P（），
∴P，Q为椭圆的左右焦点，
由椭圆定义可知|NP|+|NQ|＝2为定值．
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