2018-2019学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）　　

A． B． C． D．

2．（5分）设集合，，则的元素个数为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（5分）双曲线的焦距为　　

A． B．4 C． D．12

4．（5分）设，满足约束条件，目标函数，则　　

A．的最大值为3 B．的最大值为2 C．的最小值为3 D．的最小值为2

5．（5分）已知函数，与的部分图象如图所示，则　　

A．， B．， C．， D．，

6．（5分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知为定义在，，上的奇函数，当时，，则的值域为　　

A．，， B．， C．，， D．，

8．（5分）正三棱锥的侧棱两两垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

9．（5分）展开式中的系数为　　

A．1 B． C．31 D．

10．（5分）设，，则　　

A．且 B．且 C．且 D．且

11．（5分）一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数若，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数，在，上的值域为，若的最小值与最大值分别为，，则　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上

13．（5分）已知向量，的夹角为，且，，则　　．

14．（5分）若，则　　．

15．（5分）若椭圆上存在一点，使得，其中，分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为　　．

16．（5分）设为一个圆柱上底面的中心，为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球的表面上．若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球的表面积为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）设为等差数列的前项和，，．

（1）求的通项公式；

（2）若，，成等比数列，求．

18．（12分）如图，在三棱锥中，平面，，且．

（1）证明：平面平面；

（2）设棱，的中点分别为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19．（12分）在直角坐标系中直线与抛物线交于，两点，且．

（1）求的方程；

（2）若为直线外一点，且的外心在上，求的坐标．

20．（12分）某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：

（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手”与性别有关？

（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出，件的部分，累进计件单价为1.2元；超出，件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资定额计件工资超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望．

附：，

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求的单调递增区间；

（2）证明：当时，有两个零点；

（3）若，函数在处取得最小值，证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）讨论和的位置关系．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，，求的取值范围．

2018-2019学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【解答】解：．

故选：．

【解答】解：集合，

，

，6，7，8，，

中的元素个数为5．

故选：．

【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，

其中，

则，

其焦距；

故选：．

【解答】解：由作出可行域如图，

联立，解得，

化目标函数为，由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最小，有最小值为．

故选：．

【解答】解：由图象可知，，，

，，

又，

，

故选：．

【解答】解：，，，

，

．

故选：．

【解答】解：根据题意，当时，，则，

又由函数为定义在，，上的奇函数，则当时，有，

则函数的值域为，，；

故选：．

【解答】解：如图，

设，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，1，，

，，

则．

异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

【解答】解：展开中第项为，其的系数，常数项，的系数分别为，，，

故展开式中的系数为，

故选：．

【解答】解：；

；

又；

即，；

，．

故选：．

【解答】解：由题意知，随机变量，

则方差，

又，则，

解得，

所求的概率为．

故选：．

【解答】解：函数，当时，，

，令，可得，

当时，取得极小值为：．又，可得的图象如图：

由，可得；

由，可得．故；

．

则．

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上

【解答】解：由向量的数量积公式得：

，

故答案为：

【解答】解：，

，

．

故答案为：7．

【解答】解：椭圆上存在一点，使得，其中，分别是的左、右焦点，

，

可得：，

解得．

所以椭圆的离心率为：，．

故答案为：，．

【解答】解：如图，

设该圆柱底面半径为，高为，则，

，解得，，

则球的半径，

故球的表面积为．

故答案为：．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

【解答】解：（1）为等差数列的前项和，，．

，

解得，，

．

（2）由（1）知，．

，，成等比数列，，

即，解得，

．

【解答】证明：（1）平面，平面，

，

，，平面，

平面，平面平面．

解：（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

令，则，2，，，0，，，1，，

则，1，，，，，

设平面的法向量为，，，

则，取，得，0，，

平面的一个法向量，0，，

则．

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

【解答】解：（1）设，，，，联立，可得，

则，，

从而，

，

，解得，

故的方程为，

（2）设线段的中点，，

由（1）可知，，

则线段的中垂线方程为，即，

联立，解得或，

的坐标为或．

【解答】解：（1）列联表：

．

有的把握认为“生产能手”与性别有关．

（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为元．

从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率，女员工实得计件工资不少于3100元的概率．

在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为，1，2，3，

，．

，

．

的分布列：

【解答】解：（1），

当时，由，解得：或，

故在，递增；

（2）证明：当时，在递增，在递减，

则（1），

，，且（2）

（或，，，

故有2个零点；

（3）证明：，

，

设，

，

故在递增，

又（1），（e），

故，，

当时，，当时，，

故且，

，

，，

故．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解答】解：（1）直线的参数方程为为参数），

直线的直角坐标方程为．

曲线的参数方程为为参数），

曲线的直角坐标方程为．

（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，

圆心到直线的距离，

当时，，和相切；

当时，，和相交；

当或时，，和相离．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解答】解：（1）当时，，

故不等式的解集为．

（2），

，

则，解得，

故的取值范围为．

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日期：2019/12/17 21:18:14；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267